1、人工智能學院 School of Artificial Intelligence1提綱第 3 章 量子學習人工智能學院 School of Artificial Intelligence3.3 量子貝葉斯網絡3.2 量子神經網絡 3.2.1 量子M-P模型 3.2.2 量子Hopfield網絡2提綱第 3 章 量子學習3.1 量子聚類 3.1.1 基于優化的量子聚類 3.1.2 基于量子力學機制的聚類3.4 量子小波變換人工智能學院 School of Artificial Intelligence3.3 量子貝葉斯網絡3.2 量子神經網絡 3.2.1 量子M-P模型 3.2.2 量子Hopf

2、ield網絡3提綱第 3 章 量子學習3.1 量子聚類 3.1.1 基于優化的量子聚類 3.1.2 基于量子力學機制的聚類3.4 量子小波變換人工智能學院 School of Artificial Intelligence43.1量子聚類 聚類分析在數據挖掘領域中扮演著非常重要的角色，是數據分析與知識發現的重要工具。聚類分析的目的是將抽象出來的對象或數據集合分成若干具有特殊意義的團或者類，而這種劃分的依據就是樣本對象之間的相似程度，相似度高的樣本歸為一類，而相似度低的樣本則分別屬于不同類。聚類分析揭示了數據間的差異與聯系，發現樣本的分布情況，在海量的數據面前，這尤為重要。一般情況下，聚類并不需

3、要使用訓練數據進行學習，是一種無監督學習，它可以作為獨立的工具來使用，也可以作為一種前期預處理步驟，為進一步的科學研究做準備。人工智能學院 School of Artificial Intelligence53.1量子聚類 作為一類新興的聚類算法，量子聚類吸引著越來越多研究者的研究熱情，并產生了一批優秀的理論成果并在很多領域中取得了廣泛的成功。Nasios 1等人得出勢能場與數據的分布相關的結論，因此他們采用K近鄰統計分布來估計波函數尺度參數，并將量子聚類與局部Hessian、區域生長法相結合，應用于SAR圖像的分割上。Li 2等人提出了一種改進的量子聚類方法對核寬度調節參數進行估計，以及基于

4、度量距離改變的量子聚類3，以克服量子聚類的缺陷，獲得更好的聚類效果。隨后，Zhang等4人在距離函數中采用指數形式，取代原算法中的歐氏距離，提高了量子聚類的迭代效率，并獲得比原算法好的聚類效果。Gou等5人將量子聚類與多精英免疫算法相結合，避免了算法陷入局部最優。6和7分別將量子聚類應用于SAR圖像分割和醫學圖像的分割。人工智能學院 School of Artificial Intelligence63.1量子聚類Niu 8等提出基于量子機制的復雜網絡社團檢測方法。Sun等9將量子聚類應用于模糊神經網絡模型。 Buccio等10利用動態的量子聚類算法進行關聯文本的提取。 根據算法設計思想的不同

5、，量子機制的聚類算法，大體又可以分為基于優化的量子聚類算法和受量子力學啟發的量子聚類算法。1）在基于優化的量子聚類算法中，我們需要預先設定尋優目標函數，利用量子搜索機制搜索目標函數的極值點。這種搜索機制與傳統的基于優化的聚類方法截然不同，它能夠增強解空間的遍歷性，種群的多樣性，并能夠將最優解在搜索空間中的多種表述形式用量子位的概率幅表述，進一步增加獲得全局最優解的概率。這類算法將聚類作為一個優化問題，利用量子優化算法來得到最優解。人工智能學院 School of Artificial Intelligence73.1量子聚類2) 在基于量子力學啟發的聚類算法中，基本的思想是：聚類研究的是樣本在

6、尺度空間中的分布，而量子力學研究的是粒子在量子空間的分布，可以以量子力學的方式研究聚類問題。基本的思路為：已知波函數，用薛定鍔方程求解勢能函數，從勢能能量點的角度來確定聚類中心。相較于傳統的聚類算法，11中總結了量子力學啟發的聚類算法的若干優勢如下i) 算法的重點放在聚類中心的選取而不是聚類邊界的查找上；ii) 聚類的中心并非簡單的幾何中心或隨機確定，而是完全取決于數據自身的潛在信息; iii) 樣本分布模型和聚類類別數等都不需要預先假定。人工智能學院 School of Artificial Intelligence83.1.1基于優化的量子聚類 首先，我們討論基于優化的量子聚類。這種思路認

7、為聚類問題屬于無監督學習問題，在聚類過程中對于聚類效果沒有了解，所以為了更好地描述聚類過程的劃分效果，我們通常需要采用一些評價標準評價算法聚類效果和真實類別的相似程度。這樣聚類問題就轉化為如下的優化問題:(3- 1)其中， 是可行的聚類結果集合， 是對給定數據集的一個劃分， 是準則函數，通常是對數據點間的相似性或不相似性程度的反映。通過尋找聚類過程中的 的最小值，將它作為最終劃分結果。這樣分類問題就被轉換為優化問題。通常情況下，在基于優化的量子聚類算法中，第二章講到的量子優化算法會被用來處理如3-1所示的優化問題。得到的最優解即為分類結果。 *minCP CP CCP人工智能學院 School

8、 of Artificial Intelligence93.1.2基于量子力學機制的聚類 接著，我們討論基于量子力學機制的聚類算法。量子力學描述了微觀粒子在量子空間的分布，而這同聚類是研究數據樣本在尺度空間中的分布情況是等價的。聚類過程相當于：在波函數已知時，利用薛定鍔方程反過來求解勢能函數，而這個勢能函數決定著粒子的最終分布，這就是量子聚類的物理思想依據。該算法中，不顯含時間的薛定諤方程被表述為如3-2形式：(3- 2)其中， 為波函數； 為勢能函數； 為Hamilton算子； 為算子 的能量特征值； 為劈形算子； 為波函數寬度調節參數。 在量子聚類中，我們使用帶有Parzen窗的高斯核函數

9、估計波函數（即樣本點的概率分布），如3-3所示： EVHp222- p pVHEH人工智能學院 School of Artificial Intelligence103.1.2基于量子力學機制的聚類(3- 3)上式對應于尺度空間中的一個觀測樣本集 ， 高斯函數可以看作是一個核函數，它定義了一個由輸入空間到Hilbert空間的非線性映射。因此也可以認為 是一個核寬度調節參數。 因此，當波函數 已知時，若輸入空間只有一個單點 ，即 ，通過求解薛定諤方程，勢能函數可以表示為3-4：(3- 4)根據量子理論可知，上式是粒子在諧振子中的調和勢能函數的表達形式，此時 算子的能量特征值為 ，其中 為算子 的

10、可能的最小特征值，可以用樣本的數據維數來表示。 Niie1222ppp,d, 12iNpppp12,Tdiiiidpppp p1p1N 212TV11pppppH2EddH人工智能學院 School of Artificial Intelligence113.1.2基于量子力學機制的聚類 對于一般情況，我們進一步把式3-3帶入3-2，得到樣本服從高斯分布的勢能函數的計算公式3-5：(3- 5)本書假定 非負且確定，也就是說 的最小值為零， 可以通過求解上式得到3-6：(3- 6) 利用梯度下降法找到勢能函數的最小點作為聚類的中心。其迭代公式如3-7：(3- 7) iiidEEV2222222e

11、xp2122pppppVE222minE tVttttiiiyyy人工智能學院 School of Artificial Intelligence123.1.2基于量子力學機制的聚類其中，初始點設為 ； 為算法的學習速率； 為勢能的梯度。最終，粒子朝勢能下降的方向移動，即數據點將逐步朝其所在的聚類中心的位置移動，并在聚類中心位置處停留。因此，可以利用量子方式確定聚類的中心點。距離最近的某些點被歸為一類。 0iiyp tV人工智能學院 School of Artificial Intelligence3.3 量子貝葉斯網絡3.2 量子神經網絡 3.2.1 量子M-P模型 3.2.2 量子Hopf

12、ield網絡13提綱第 3 章 量子學習3.1 量子聚類 3.1.1 基于優化的量子聚類 3.1.2 基于量子力學機制的聚類3.4 量子小波變換人工智能學院 School of Artificial Intelligence143.2量子神經網絡 20世紀50年代以來，隨著心理學，神經科學，計算機信息科學，人工智能和神經影像學技術的發展，用自然科學方法探索人類意識的條件趨于成熟。世界各國不少學者開始投身神經計算的研究，并取得不少有價值的研究成果。1943年，芝加哥大學的生理學家McCulloch12使用閾值邏輯單元模擬生物神經元，提出了著名的M-P神經元模型，拉開了神經網絡研究的序幕。為了模擬

13、起連接作用的突觸的可塑性，神經生物學家Hebb13于1949年提出了連接權值強化的Hebb法則，這一法則告訴人們，神經元之間突觸的聯系強度是可變的，為構造有學習功能的神經網絡模型奠定了基礎。1958年Rosenblatt14在原有MP模型的基礎上增加了學習機制。他提出的感知器模型，首次把神經網絡理論付諸工程實現。人工智能學院 School of Artificial Intelligence153.2量子神經網絡 之后，Minsky等對以感知器為代表的網絡系統的功能及局限性從數學上做了深入研究，指出簡單的線性感知器的功能是有限的，它無法解決線性不可分的兩類樣本的分類問題。1982年，Hopfi

14、eld的模型15對人工神經網絡信息存儲和提取功能進行了非線性數學概括，提出了動力方程和學習方程，還對網絡算法提供了重要公式和參數，使人工神經網絡的構造和學習有了理論指導。經過近半個世紀的發展，人工神經網絡在眾多領域取得了廣泛成功，如模式識別、自動控制、信號處理、輔助決策、人工智能等16。人工智能學院 School of Artificial Intelligence163.2量子神經網絡 1995年美國Louisiana州立大學的Kak17教授首次提出了量子神經計算(Quantum Neural Computation)的概念，明確提出將神經計算與量子計算結合起來形成新的計算范式，開創了該領域

15、的先河，并目他還提到了這可能對研究人類的意識會有很大的幫助。1996年，Penis 18提出了量子并行性和神經網絡有非常有趣的相似性。量子波函數的坍縮(Collapse)十分類似于人腦記憶中的神經模式重構現象。1998年T Menneer 19在他的博士論文中從多宇宙的觀點第一次比較深入、全面地探討了量子人工神經網絡，他比較了各種提出的量子神經網絡的性能并與傳統的神經網絡作了比較，認為量子神經網絡的性能要優于傳統的神經網絡。人工智能學院 School of Artificial Intelligence173.2量子神經網絡 之后，又有大量量子神經網絡模型被提出。2000年Ventura等20

16、人提出了基于Grover量子搜索算法的量子聯想記憶(Quantum Associative Memory)模型；Li wei-gang提出了糾纏神經網絡(Entangled NeuralNetworks)模型；2005年Noriaki Kouda等21人利用量子相位提出了量子比特神經網絡；等。 這里介紹兩種量子神經網絡模型：量子M-P模型和量子Hopfield神經計算模型。人工智能學院 School of Artificial Intelligence183.2.1量子M-P模型 神經元的每一個輸入都有一個加權系數 ，稱為權重值，其正負模擬了生物神經元中突觸的興奮和抑制，其大小則代表了突觸的不

17、同連接強度。作為人工神經網絡的基本處理單元，必須對全部輸入信號進行整合，以確定各類輸入作用的總效果， 表示組合輸入信號的總和值，神經元激活與否取決于此總和值是否超過某一閾值。以 表示該神經元的輸出，則輸出與輸入之間的關系可由轉移函數 表示，轉移函數一般都為非線性的。M-P模型可由圖3-1表示:圖 3-1 M-P模型人工智能學院 School of Artificial Intelligence193.2.1量子M-P模型 上述內容可由這兩個式子表示： (3- 8) (3- 9) 量子M-P模型的概念模型如圖3-2所示:圖 3-2 量子M-P模型jiiisx wjjOf s人工智能學院 Scho

18、ol of Artificial Intelligence203.2.1量子M-P模型 相應的神經元的輸出表示為如3-10： (3- 10)式中， 表示了輸入的總個數。 表示了一個量子態， 為一個向量。用狄拉克符號來表示量子狀態，量子M-P的計算輸出就可以表示為下3-11： (3- 11)其中， (3- 12),1,2,.,2njjjOwj2nj122,.,njjjjwwww12,1,2,.,21,2,.,2ijinijnnOOwx xxji1220,0,.,00,0,.,11,1,.,1niiiiOwww人工智能學院 School of Artificial Intelligence213.

19、2.1量子M-P模型 若狀態 之間相互正交，則 可以正交矩陣，輸出可以表示為如3-13的量子幺正變換：(3- 13) 若狀態 之間沒有互相正交，則需把網絡的輸入和輸出進行關系進行修改，按照下式進行：(3- 14)其中 表示兩個狀態的內積。則，輸出可以表示如3-15：(3- 15)1112122122222 12 22 200,.,000,.,111,.,1nnnnnnwwwwwwOwww ,1,2,.,2nikijjkjOwj 111211121122212221222222122 12 22 2222200,.,000,.,111,.,1nnnnnnnnnnnnwwwwwwOwww 人工智能

20、學院 School of Artificial Intelligence223.2.1量子M-P模型 對于 正交和沒有正交兩種情況，選擇一定的 都可以實現一定的功能。基于上述的量子M-P模型，權值更新可以按照如下步驟進行：Step 1準備一個初始權值矩陣 Step 2根據實際問題準備輸入一輸出對 Step 3計算實際輸出 ，其中t為迭代代數，自0開始Step 4更新網絡權值 ，其中 為學習控制因子Step 5反復執行步驟3和4至到滿足誤差允許的范圍。jW0W, OtW 1jttijijiiwwO 人工智能學院 School of Artificial Intelligence233.2.2量子

21、Hopfield網絡 第二個我們介紹量子Hopfield網絡。在20世紀80年代初期，神經網絡研究的重新興起可歸功于John Hopfield的工作。作為一個著名的物理學家，Hopfield的名聲和科學資歷使人們對神經網絡的研究恢復了信心，他在該網絡中引入了“能量函數”的概念，建立了神經網絡穩定性判據，使反饋神經網絡可以成為一個具有反饋的動力學系統，解決動態問題和一些優化問題。仿照經典的Hopfield神經網絡，一個量子Hopfiled網絡（QHNN）的概念模型如圖3-3所示：圖3-3 QHNN的概念模型人工智能學院 School of Artificial Intelligence243.2

22、.2量子Hopfield網絡 從圖中可以看到網絡有N個神經元，每個神經元的輸出都反饋到其他神經元作為它們的一個輸入，但不反饋到自身作為輸入。所有的模式或圖像都是存儲在網絡的權值 里，所以確定網絡的權值是主要工作。QHNN網絡沒有自反饋的,即滿足下式： (3- 16) 從圖3-3可以看出 ，權值矩陣 是一個對角陣，且對角線上的元素為0。基于Feynman路徑積分的類量子Hopfield網絡工作原理22，可得式子如下：(3- 17)式中， ，（ 表示復共軛， 表示網絡存儲的模式數， 是網絡存儲矩陣，m和n分別表示矩陣的行和列）。0iijjwwijjiwwW1NoutputinputmmnnnJ*1

23、SPkkmnmmkJ*SPmnJ人工智能學院 School of Artificial Intelligence253.2.2量子Hopfield網絡 相當于傳統的Hopfield網絡的權值矩陣，即Lyapunov函數，或二次性能函數。基于類似的思想，以量子思維處理Hopfield網絡的網絡權值。根據薛定諤方程和量子線性疊加原理，QHNN的權值可以寫為下式：(3- 18)其中 是 坍縮到 的概率， 是QHNN中存儲的圖像或模式總數，也是能夠識別的圖像或模式總數， 是存儲的單個圖像或模式， 是 的復共軛。當給網絡輸入一個外界待識別的圖像時，網絡經過量子測量就可以以一定的概率坍縮到它的一個存儲圖像

24、或模式中，這樣即實現了圖像識別的功能。1SPiiiiiiSWpWPipWiWSPiiWii人工智能學院 School of Artificial Intelligence263.2.2量子Hopfield網絡 根據量子線性疊加原理和由量子狀態或向量構成的矩陣，通過量子幺正演化來確定權值的量子學習算法如下：Step 1根據提供的圖像或模式進行網絡學習計算權值矩陣 。為了滿足么正性，要求提供的圖像或模式向量是正交向量，由于一般情況下他們不是正交的，所以必需變換成正交向量，其變換可以采用Gram-Schmidt正交化方法進行。Step 2先把第1步計算得到的矩陣 的元素 看成是一種隨機變量或隨機數值

25、，再根據 的數值大小在一個坐標軸上劃分成若干等份 。設矩陣元素 屬于 的概率為 ，那么，屬于 的概率大小為 ，其中 (3- 19)WWijwijw12,.,nx xxijwixij1ix1ij11ijiijiixwxx人工智能學院 School of Artificial Intelligence273.2.2量子Hopfield網絡Step 3因為每個 都有兩種可能的取值，根據神經元的個數N，就會有 個不同的 ，即為存儲在QHNN網絡中的圖像或模式，網絡訓練后輸入的待識別圖像就是經測量坍縮到不同的 ，從而達到圖像識別的目的。從這里可以看出有N個神經元構成的QHNN網絡可以識別 個圖像。識別容

26、量，即存儲容量比傳統的Hopfield網絡有了指數級的提高。Step 4按照3-20計算 的概率 ： (3- 20)ijw2NiWiW2N1,11 2NNiiji jpN N人工智能學院 School of Artificial Intelligence283.2.2量子Hopfield網絡 傳統的Hopfield網絡能存儲的圖像或模式數一般為P=0.14N, N為神經元個數，P為存儲的模式數，由于Hopfield網絡在識別大量的圖像或模式時遇到巨大困難，所以研究人員一直在尋找新的方法。而量子Hopfield網絡能識別的圖像或模式為 ，存儲容量或記憶容量有了指數級提高。2N人工智能學院 Sch

27、ool of Artificial Intelligence3.3 量子貝葉斯網絡3.2 量子神經網絡 3.2.1 量子M-P模型 3.2.2 量子Hopfield網絡29提綱第 3 章 量子學習3.1 量子聚類 3.1.1 基于優化的量子聚類 3.1.2 基于量子力學機制的聚類3.4 量子小波變換人工智能學院 School of Artificial Intelligence303.3量子貝葉斯網絡 貝葉斯網絡(Bayesian Networks, BNs)是表示變量間概率分布及關系的有向無環圖，節點表示隨機變量，包括了對事件、狀態、屬性等實體的描述；弧則表示變量之間的相互依賴關系。貝葉斯網

28、絡用圖形模式描述變量集合間的條件獨立性，而且允許將變量間依賴關系的先驗知識和觀察數據相結合，為屬性子集上的一組條件獨立性假設提供了更強的表達能力。 80年代以來，貝葉斯網絡的研究已經引起了人們相當大的興趣。80年代早期，貝葉斯網絡成功地應用于專家系統中對不確定性知識的表達;80年代后期，貝葉斯推理得到了迅速發展;進入90年代，面對信息爆炸的局面，研究人員已經開始嘗試直接從數據中學習并生成貝葉斯網的方法，在醫學診斷、自然語言理解、故障診斷、啟發式搜索、目標識別以及不確定推理和預測等方面產生了很多成功的應用。人工智能學院 School of Artificial Intelligence313.3

29、量子貝葉斯網絡 貝葉斯網絡提供了一種把聯合概率分布分解為局部分布的方法:就是用它的圖形結構編碼了變量間概率依賴關系，這樣就具有了清晰的語義特征。 設一組有限集合 表示一組離散隨機變量，它們分別取值 的聯合概率如3-21： (3- 21)其中， 是節點 的父母節點組。構建貝葉斯網絡的主要任務就是學習它的結構和參數。12n,.,Y YY12ny ,y ,.,y 121,.,|nniiiP y yyP yPa Y iPa YiY人工智能學院 School of Artificial Intelligence323.3量子貝葉斯網絡 貝葉斯量子網是貝葉斯網引入量子機制后在量子學習中的一種推廣，我們的目

30、的是根據給出的普通的貝葉斯網，構造出適用于量子機制的貝葉斯量子網。如下圖Asia網絡(也稱Chest-clinic網)是一個小型的用在醫療診斷的貝葉斯網絡，共有8個節點，8條弧。圖3. 4 Asia網絡人工智能學院 School of Artificial Intelligence333.3量子貝葉斯網絡 對于上述網絡，依次按從左到右，從上到下的順序對每個節點編號為1到8，則我們也可以用一個矩陣A來表示上面的網絡如下: (3- 22)如果我們用量子形式來表示A的話，即可得如下形式: (3- 23)式中， 為A中元素， 。這樣我們就可以通過用量子疊加態來表示貝葉斯網絡利用量子態概率幅的變化來學習

31、整個的網絡結構。0010000000011000000001000000010000000001000000110000000000000000A01ijijijaija221ijij人工智能學院 School of Artificial Intelligence343.3量子貝葉斯網絡 構造出適用于量子機制的貝葉斯量子網(BQ-net)以后，我們可以通過BQ-net中每個節點所依附的概率幅矩陣來計算網絡的條件概率。結合機器學習的方法通過對量子態實現一系列的酉算子操作，就可以實現我們的量子學習過程。特別值得注意的是，各個量子態之間的所產生的影響和變化就如由微小粒子與液體分子之間的碰撞所引起的布

32、朗運動一樣，是在一個隨機的過程中完成的。量子學習的最終結果，也是在隨機的學習過程中各中間量子態的相互疊加、相互糾纏、相互干涉的總和，因此，設計相應的隨機學習算法，也是實現量子學習的一個不可忽視的手段。一個通用的量子貝葉斯網絡工作流程如下圖所示23。人工智能學院 School of Artificial Intelligence353.3量子貝葉斯網絡圖3. 5 貝葉斯量子學習模型人工智能學院 School of Artificial Intelligence3.3 量子貝葉斯網絡3.2 量子神經網絡 3.2.1 量子M-P模型 3.2.2 量子Hopfield網絡36提綱第 3 章 量子學習3

33、.1 量子聚類 3.1.1 基于優化的量子聚類 3.1.2 基于量子力學機制的聚類3.4 量子小波變換人工智能學院 School of Artificial Intelligence373.4量子小波變換 小波變換分析方法是當前數學物理中一個迅速發展的新領域，它同時具有理論深刻和物理運用廣泛的特點。小波變換是一個時間和頻率的局域變換，因而能有效地從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算對函數或信號進行多尺度細化分析。 數學上，具有實參數 的小波 須滿足下式的條件： (3- 24) 小波變換是將信號用一系列雙參數的函數基展開，同時得到信號在時域和頻域上的信息。具體而一言，就是從某一個母小波函數 出

34、發，通過膨脹和平移變換，構建一組子小波 如下：(3- 25) 0 xx d x ,sx ,1sxsx人工智能學院 School of Artificial Intelligence383.4量子小波變換其中 為膨脹系數， 為平移參量。利用子小波 可以對信號函數 進行小波積分變換如下： (3- 26) 相應的，量子力學態矢量的小波變換可以定義為如下形式： (3- 27)式中 是母小波態矢， 是需要做變換的量子力學態矢， 是坐標本征矢，其中 是壓縮平移算符，并可表示如下： (3- 28) 由式3-27易得，已知母小波態矢 ，對于任意態矢 求得的矩陣元 就對應于信號的小波變換。0s ,sx 1xxs

35、W fsfxd1xxsW fsx f dUsffxUs1xsUsx dxfUsf人工智能學院 School of Artificial Intelligence39 3.4量子小波變換人工智能學院 School of Artificial Intelligence403.4量子小波變換人工智能學院 School of Artificial Intelligence41本章參考文獻1 N. Nasios, A.G. Bors, Non-parmetric clustering using quantum mechanicsC, Proceedings of the IEEE Internatio

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