1、課時跟蹤檢測（十二）函數(shù)模型及其應(yīng)用一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1某種商品進(jìn)價為4 元/件，當(dāng)日均零售價為6 元/件，日均銷售100 件，當(dāng)單價每增加 1 元，日均銷量減少10 件，試計算該商品在銷售過程中，若每天固定成本為20 元，則預(yù)計單價為 _元/件時，利潤最大解析： 設(shè)單價為6x，日均銷售量為10010 x，則日利潤 y(6x4)(10010 x)20 10 x280 x180 10(x4)2340(0 x10)所以當(dāng) x4 時， ymax340. 即單價為 10 元/件，利潤最大答案： 10 2(2018 鹽城中學(xué)檢測)“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進(jìn)入消費者視線的

2、已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R 與廣告費A 之間滿足關(guān)系Ra A(a 為常數(shù)) ，廣告效應(yīng)為D R A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應(yīng)，投入廣告費應(yīng)為_(用常數(shù) a 表示 ) 解析： DRA a AA，令 tA(t0)，則 At2，所以 Datt2t12a214a2.所以當(dāng) t12a，即 A14a2時， D 取得最大值答案：14a23某市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價為8 元，起步里程為3 km(不超過 3 km 按起步價付費 )；超過 3 km 但不超過8 km 時，超過部分按每千米2.15 元收費；超過8 km 時，超過部分按每千米2.85 元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1 元現(xiàn)某人乘

3、坐一次出租車付費22.6 元，則此次出租車行駛了_km. 解析： 設(shè)出租車行駛x km 時，付費y 元，則 y9，0 x 3，82.15 x3 1，3x8，82.1552.85 x8 1，x 8，由 y22.6，解得 x9. 答案： 9 4(2019 鹽城調(diào)研 )一批貨物隨17 列貨車從 A 市以 v km/h 勻速直達(dá)B 市，已知兩地鐵路線長 400 km，為了安全，兩列貨車間距離不得小于v202km，那么這批物資全部運到B市，最快需要_ h(不計貨車的身長)解析： 設(shè)這批物資全部運到B 市用的時間為y，因為不計貨車的身長，所以設(shè)列車為一個點，可知最前的點與最后的點之間距離最小值為16v20

4、2時，時間最快則 yv20216400vv25400v 2 v25400v8，當(dāng)且僅當(dāng)v25400v，即 v 100 時等號成立， ymin8. 答案： 8 5(2019 南通模擬 )用長度為24 的材料圍成一個矩形場地，中間有兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為_解析： 設(shè)矩形場地的寬(即隔墻的長度 )為 x，則長為244x2，其面積S244x2x12x2x2 2(x3)218，當(dāng) x 3 時， S有最大值18，所以隔墻的長度為3. 答案： 3 6有一位商人，從北京向上海的家中打電話，通話m 分鐘的電話費由函數(shù)f(m)1.06(0.5m1)(元)決定，其中m0，m是大于或等于m 的最

5、小整數(shù)則從北京到上海通話時間為5.5 分鐘的電話費為_元解析：因為 m5.5，所以 5.56.代入函數(shù)解析式， 得 f(5.5)1.06 (0.5 61)4.24. 答案： 4.24 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1某電信公司推出兩種手機收費方式：A 種方式是月租20 元，B 種方式是月租0 元一個月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時間t(分鐘 )與電話費s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)通話150 分鐘時，這兩種方式電話費相差_元解析： 依題意可設(shè)sA(t)20 kt， sB(t)mt，又 sA(100) sB(100)，所以 100k 20100m，得 km 0.2，于是 sA(150)sB(150)20 15

6、0k150m20150(0.2) 10，即兩種方式電話費相差10 元答案： 10 2某商店已按每件80 元的成本購進(jìn)某商品1 000 件，根據(jù)市場預(yù)測，銷售價為每件100 元時可全部售完，定價每提高1 元時銷售量就減少5 件，若要獲得最大利潤，銷售價應(yīng)定為每件 _元解析：設(shè)售價提高x 元， 利潤為 y元，則依題意得y (1 0005x)(100 x)801 000 5x2500 x20 000 5(x50)232 500，故當(dāng) x50 時， ymax32 500 ，此時售價為每件 150 元答案： 150 3 (2019 海安中學(xué)檢測)某公司為激勵創(chuàng)新， 計劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司201

7、7年全年投入研發(fā)資金130 萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12% ，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200 萬元的年份是_(參考數(shù)據(jù)： lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30) 解析：設(shè) 2017 年后的第n 年，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200 萬元，由 130(112%)n200，得 1.12n2013，兩邊取常用對數(shù)，得nlg 2lg 1.3lg 1.120.300.110.053.8，所以n4，所以從2021 年開始，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200 萬元答案： 2021 年4(2019 啟東中學(xué)檢測)某公司租地建倉庫，已知倉庫每

8、月占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月車載貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比據(jù)測算，如果在距離車站 10 千米處建倉庫，這兩項費用y1，y2分別是 2 萬元和 8 萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站_千米處解析： 由題意設(shè)倉庫在離車站x 千米處，則y1k1x，y2k2x，其中 x0，由k110 2，10k2 8得k1 20k245，即 y1y220 x45x2 20 x45x8，當(dāng)且僅當(dāng)20 x45x，即 x5 時等號成立答案： 5 5將甲桶中的a 升水緩慢注入空桶乙中，t 分鐘后甲桶中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線yaent.假設(shè)過5 分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m

9、 分鐘甲桶中的水只有a8，則m_. 解析： 根據(jù)題意知12e5n，令18aaent，即18ent，因為12e5n，故18e15n，比較知 t15，m15510. 答案： 10 6一艘輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費與速度v 的平方成正比，且比例系數(shù)為k，除燃料費外其他費用為每小時96 元當(dāng)速度為10 海里 / 小時時，每小時的燃料費是6元若勻速行駛10 海里，當(dāng)這艘輪船的速度為_ 海里 / 小時時，總費用最小解析： 設(shè)每小時的總費用為y 元，則 ykv2 96，又當(dāng) v10 時， k1026，解得 k0.06，所以每小時的總費用y0.06v296，勻速行駛10 海里所用的時間為10v小時，故

10、總費用為 W10vy10v(0.06v296)0.6v960v20.6v960v 48，當(dāng)且僅當(dāng)0.6v960v，即 v40 時等號成立故總費用最小時輪船的速度為40 海里 /小時答案： 40 7 某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料(如圖 )， 為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖陰影部分)備用，則截取的矩形面積的最大值為_解析： 依題意知：20 x20y8248，即 x54(24y)，所以陰影部分的面積Sxy54(24y) y54( y2 24y)54(y 12)2 180. 所以當(dāng) y12 時， S有最大值為180. 答案： 180 8 某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制定了一個

11、激勵銷售人員的獎勵方案，在銷售額 x 為 8 萬元時，獎勵 1 萬元銷售額x 為 64 萬元時，獎勵4 萬元若公司擬定的獎勵模型為y alog4xb.某業(yè)務(wù)員要得到8 萬元獎勵，則他的銷售額應(yīng)為_(萬元 )解析： 依題意得alog48b1，alog464b 4，即32ab1，3a b4.解得 a 2，b 2. 所以 y2log4x2，當(dāng) y8 時，即 2log4x 28. x1 024(萬元 )答案： 1 024 9某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量w(單位：百千克)與肥料費用x(單位：百元 )滿足如下關(guān)系：w 43x 1，且投入的肥料費用不超過5 百元，此外，還需要投入其他成本 (如施肥

12、的人工費等)2x 百元已知這種水蜜桃的市場售價為16 元 /千克 (即 16 百元 /百千克 )，且市場需求始終供不應(yīng)求記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為L(x)(單位：百元 )(1)求 L(x)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)當(dāng)投入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？解： (1)L(x)16 43x 1x2x6448x1 3x，x (0,5(2)法一： L(x) 6448x 13x 6748x13 x 167248x1 3 x1 43，當(dāng)且僅當(dāng)48x13(x1)，即 x3 時取等號故 L(x)max 43. 答：當(dāng)投入的肥料費用為300 元時，該水密桃樹獲得的利潤最大，為

13、4 300 元法二： L(x)48x 123，令 L(x)0，得 x3. 故當(dāng) x(0,3)時， L(x)0， L(x)在 (0,3)上單調(diào)遞增；當(dāng) x(3,5時， L(x) 0，L(x)在 (3,5上單調(diào)遞減故 L(x)max L(3)43. 答：當(dāng)投入的肥料費用為300 元時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大，為4 300 元10(2019 鎮(zhèn)江調(diào)研 )如圖，政府有一個邊長為400 m 的正方形公園 ABCD，在以四個角的頂點為圓心，以150 m 為半徑的四分之一圓內(nèi)都種植了花卉現(xiàn)在中間修建一塊長方形的活動廣場PQ MN ，其中P，Q，M，N 四點都在相應(yīng)的圓弧上，并且活動廣場邊界與公園邊界對應(yīng)平

14、行，記QBC ，長方形活動廣場的面積為S. (1)請把 S表示成關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式；(2)求 S 的最小值解： (1)過 Q作 Q EBC 于 E，連結(jié) BQ(圖略 )在 RtBQE 中， BE150cos ，QE 150sin ，0 2，可得矩形 PQMN 的 PQ 400 300sin ，Q M 400 300cos ，則 SPQ QM(400 300sin )(400300cos ) 10 000(43sin )(43cos )， 0，2. (2)由(1)知， S 10 00016 12(sin cos )9sin cos ，設(shè) tsin cos 2sin 4，則4 434，可得 1t2

15、，sin cos t212，S 10 000 1612t92t215 0009 t4327 . 當(dāng) t43時， S取得最小值5 000735 000 m2. 三上臺階，自主選做志在沖刺名校某輛汽車以x 千米 /時的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全要求60 x120)時，每小時的耗油量(所需要的汽油量)為15x k4 500 x升，其中 k 為常數(shù)，且60 k100. (1)若汽車以120 千米 /時的速度行駛時，每小時的耗油量為11.5升，欲使每小時的耗油量不超過9 升，求 x 的取值范圍；(2)求該汽車行駛100 千米的耗油量的最小值解： (1)由題意知，當(dāng)x120 時，15xk4 500 x11.5， k100，由15x1004 500 x 9，得 x2145x 4 5000， 45 x100. 又 60 x120， 60 x100. 故 x 的取值范圍為60,100(2)設(shè)該汽車行駛100 千米的耗油量為y升，則y100 x15xk4 500 x2020kx90 000 x2(60 x120)令 t1x，則 t1120，160，y90 000t220kt 2090 000tk9