1、1. 離散型隨機(jī)變量的分布律離散型隨機(jī)變量的分布律2. 幾種重要的離散型隨機(jī)變量幾種重要的離散型隨機(jī)變量的概率分布的概率分布3. 小結(jié)小結(jié)2.2 2.2 離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量及其分布律 設(shè)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是的值是 x1, x2 , . 為了描述隨機(jī)變量為了描述隨機(jī)變量 X ，我們不僅需，我們不僅需要知道隨機(jī)變量要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還應(yīng)知道的取值，而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概率取每個(gè)值的概率. 這樣，我們就掌握了這樣，我們就掌握了X這個(gè)這個(gè)隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.從中任取從中任取3 個(gè)球個(gè)球取到的白

2、球數(shù)取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量X可能取的值是可能取的值是0,1,2取每個(gè)值的概率為取每個(gè)值的概率為101) 0(3533CCXP106) 1(351223CCCXP103)2(352213CCCXP引例引例且且201)(iiXP(1,2,),1,2,.kkkkXxkXXxP Xxpk 設(shè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的不同值為取各個(gè)可能值的概率 即事件的概率為定義定義則稱則稱,.2 , 1,kpxXPkk為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的的概率分布律概率分布律，簡稱分布律，簡稱分布律. Xkp1x2xkx1p2pkpXkp1x2xkx1p2pkp分布律的性質(zhì)：分布律的性質(zhì)：1. ,.,2 ,

3、1, 0kpk2. , 11kkp離散型隨機(jī)變量表示方法離散型隨機(jī)變量表示方法（1）公式法）公式法（2）列表法）列表法1 2, ,kkP Xxpk nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21或或例：一袋中裝有例：一袋中裝有5只球，編號(hào)為只球，編號(hào)為1,2,3,4,5.在袋中同在袋中同時(shí)取時(shí)取3只，以只，以X表示取出的表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫只球中的最大號(hào)碼，寫出出X的分布律。的分布律。CXP3513 且且. 543 ，可能取的值為可能取的值為X列成表格，得列成表格，得10/610/310/1543kpX,101 CCXP35234 ,103 CCXP35245 .106

4、解解：（：（1）不放回抽樣）不放回抽樣 設(shè)所需抽取數(shù)為隨機(jī)變量設(shè)所需抽取數(shù)為隨機(jī)變量X，則，則X的可能取值為的可能取值為1,2,3，于是有：，于是有：PX=1=P第一次取到正品第一次取到正品5/410/8/11018CCPX=2=P第一次取到次品，第二次取到正品第一次取到次品，第二次取到正品45898102191811012CCCCPX=3=P第一次和第二次取到次品，第二次取到正品第一次和第二次取到次品，第二次取到正品45188911021818191111012CCCCCC（2）有放回抽樣）有放回抽樣 因每次抽取的樣品放回，故所需抽取次數(shù)因每次抽取的樣品放回，故所需抽取次數(shù)X的可能取值為的可

5、能取值為一切正整數(shù)，而且每次取樣過程都獨(dú)立，故每次取到次品的概一切正整數(shù)，而且每次取樣過程都獨(dú)立，故每次取到次品的概率為率為2/10=1/5，每次取到正品的概率為，每次取到正品的概率為8/10=4/5。于是有。于是有：PX=k=P前前k-1次都取到次品，第次都取到次品，第k次才取到正品次才取到正品1515454515151k),2,1(k解解: 依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì)依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì):kkXP1)(P(X =k)0, 1!0aekakk a0從中解得從中解得欲使上述函數(shù)為概率函數(shù)欲使上述函數(shù)為概率函數(shù)應(yīng)有應(yīng)有 ea0kkke! 這里用到了常見的這里用到了常見的冪級(jí)數(shù)展開式冪級(jí)數(shù)展開式例例.設(shè)隨機(jī)

6、變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為：的概率函數(shù)為：,!)(kakXPkk =0,1,2, ,試確定常數(shù)試確定常數(shù)a .0(1) 兩點(diǎn)分布（伯努利分布）兩點(diǎn)分布（伯努利分布）設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 只可能取只可能取0與與1兩個(gè)值兩個(gè)值 , 它的分它的分布律為布律為則稱則稱 X 服從服從 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布或(0(01) 1) 分布分布(其中其中 0p1)Xkp0p 11p實(shí)例實(shí)例1 “拋硬幣拋硬幣”試驗(yàn)試驗(yàn),觀察正、反兩面情觀察正、反兩面情況況. 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 服從服從 (01) 分布分布.Xkp012121其分布律為其分布律為1,( )0,XX 正面朝上反面朝上實(shí)例實(shí)例2 200件產(chǎn)品中件產(chǎn)

7、品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格件不合格品品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那末那末,若規(guī)定若規(guī)定 , 0, 1X取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 X 服從服從(0 1)分布分布.Xkp0120019020010 兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布,任何一個(gè)只有任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點(diǎn)都屬于兩點(diǎn)分布分布.說明說明如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量 X 的分布律為的分布律為 nk

8、ppCkXPknkkn，101 為為參參數(shù)數(shù)為為自自然然數(shù)數(shù)，其其中中10 pn 的的二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布，服服從從參參數(shù)數(shù)為為則則稱稱隨隨機(jī)機(jī)變變量量pnX pnBX，記作記作由于由于以及以及 n 為自然數(shù)，可知為自然數(shù)，可知 nkppCknkkn，1001 又由二項(xiàng)式定理，可知又由二項(xiàng)式定理，可知 nkknkknppC01 nkppCkXPknkkn，101 所以所以是分布律是分布律 11 npp10 p顯然，當(dāng)顯然，當(dāng) n=1 時(shí)時(shí)(0 1)X此時(shí)，服從分布 pBX，1(0 1)這說明，分布是二項(xiàng)分布的一個(gè)特例 二項(xiàng)分布描述的是二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中事重貝努里試驗(yàn)中事件件A出現(xiàn)次數(shù)

9、出現(xiàn)次數(shù)X的概率分布的概率分布.例例 一張考卷上有一張考卷上有5道選擇題，每道題列出道選擇題，每道題列出4個(gè)可能個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的某學(xué)生靠猜測至答案，其中只有一個(gè)答案是正確的某學(xué)生靠猜測至少能答對(duì)少能答對(duì)4道題的概率是多少？道題的概率是多少？,對(duì)對(duì)的的題題數(shù)數(shù)表表示示該該學(xué)學(xué)生生靠靠猜猜測測能能答答設(shè)設(shè)X ，答答對(duì)對(duì)一一道道題題 A則答則答5道題相當(dāng)于做道題相當(dāng)于做5重重Bernoulli試驗(yàn)試驗(yàn) 415，則則BX 41 AP則則解：解：每答一道題相當(dāng)于做一次每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗(yàn)，試驗(yàn)，所以所以 44 XPP道題道題至少能答對(duì)至少能答對(duì) 54 XPXP

10、5445414341 C641 由此可知，二項(xiàng)分布的分布律由此可知，二項(xiàng)分布的分布律 則則，若若pnBX pqkqkpnkXPkXP 1111 kXP 先是隨著先是隨著 k 的增大而增大，達(dá)到其最大值后再隨著的增大而增大，達(dá)到其最大值后再隨著k 的增大而減少這個(gè)使得的增大而減少這個(gè)使得 kXP 能次數(shù)能次數(shù)稱為該二項(xiàng)分布的最可稱為該二項(xiàng)分布的最可達(dá)到其最大值的達(dá)到其最大值的0k可以證明：可以證明： ；不不是是整整數(shù)數(shù)，則則如如果果pnkpn110 ；或或是是整整數(shù)數(shù)，則則如如果果11110 pnpnkpn pqkqkpnkXPkXP 1111二項(xiàng)分布的圖形二項(xiàng)分布的圖形例例 對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行對(duì)同

11、一目標(biāo)進(jìn)行300次獨(dú)立射擊，設(shè)每次射擊次獨(dú)立射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命中率均為時(shí)的命中率均為0.44，試求，試求300次射擊最可能命中幾次？次射擊最可能命中幾次？其相應(yīng)的概率是多少？其相應(yīng)的概率是多少？射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)表示表示300X 則由題意則由題意 ，44. 0300 BX ，它它不不是是整整數(shù)數(shù)由由于于44.13244. 01300 解：解：對(duì)目標(biāo)進(jìn)行對(duì)目標(biāo)進(jìn)行300次射擊相當(dāng)于做次射擊相當(dāng)于做300重重Bernoulli 試驗(yàn)令：試驗(yàn)令：因此，最可能射擊的命中次數(shù)為因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應(yīng)的概率為其相應(yīng)的概率為13244.1320k168132132300

12、56. 044. 0132CXP04636. 0（3）泊松分布泊松分布 ).(,.0, 2 , 1 , 0,!e, 2, 1, 0 XXkkkXPk記為記為布布的泊松分的泊松分服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱是常數(shù)是常數(shù)其中其中值的概率為值的概率為而取各個(gè)而取各個(gè)的值為的值為設(shè)隨機(jī)變量所有可能取設(shè)隨機(jī)變量所有可能取 泊松分布的重要性在于泊松分布的重要性在于: : (1) 現(xiàn)實(shí)中大量隨機(jī)變量服從泊松分布現(xiàn)實(shí)中大量隨機(jī)變量服從泊松分布; ; (2) 泊松分布可視為二項(xiàng)分布的極限分布泊松分布可視為二項(xiàng)分布的極限分布. . 電話呼喚次數(shù)電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)商場接待的顧客數(shù)地

13、震地震火山爆發(fā)火山爆發(fā)特大洪水特大洪水泊松分布是常見的泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布都服從泊松分布.二項(xiàng)分布與泊松分布有以下的關(guān)系二項(xiàng)分布與泊松分布有以下的關(guān)系.泊松定理泊松定理 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X服從二項(xiàng)分布，其分布律為服從二項(xiàng)分布，其分布律為 ，k=0,1,2,n.k=0,1,2,n.又設(shè)又設(shè)np= ,( = ,( 是常數(shù)是常數(shù)) )，則有，則有(1)kkn knP XkC pp 0 limlim(1)kkn knnnP XkC pp .,.,2 , 1 , 0,!nkke

14、k 該定理于該定理于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入！年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入！二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布)( nnp 可見，當(dāng)可見，當(dāng)n充分大充分大, ,p又很小時(shí)又很小時(shí), ,可用泊松可用泊松分布來近似二項(xiàng)分布！分布來近似二項(xiàng)分布！(1)kkn knP XkC pp !ekkXPk 由泊松定理，由泊松定理，n重貝努里試驗(yàn)中稀有事件重貝努里試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布. 我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作件稱作稀有事件稀有事件. 如地震、火山爆發(fā)、特大如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等洪水、意外事故等

15、等例例 (人壽保險(xiǎn)問題人壽保險(xiǎn)問題)在保險(xiǎn)公司里在保險(xiǎn)公司里 有有2500個(gè)同年個(gè)同年齡同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn)齡同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn),在每一年里在每一年里每個(gè)人死亡的概率為每個(gè)人死亡的概率為0.002,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月月1日付日付12元保險(xiǎn)費(fèi)元保險(xiǎn)費(fèi),而在死亡時(shí)而在死亡時(shí),家屬可在公司家屬可在公司里領(lǐng)取里領(lǐng)取2000元元.問問 (1)保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少? (2) 保險(xiǎn)公司獲利不少于一萬元的概率是多少保險(xiǎn)公司獲利不少于一萬元的概率是多少? 保險(xiǎn)公司在保險(xiǎn)公司在1月月1日的收入是日的收入是 2500 12=30000元元解解 設(shè)設(shè)

16、X表示這一年內(nèi)的死亡人數(shù)表示這一年內(nèi)的死亡人數(shù),則則)002. 0 ,2500( BX保險(xiǎn)公司這一年里付出保險(xiǎn)公司這一年里付出2000X元元.假定假定 2000X 30000,即即X 15人時(shí)公司虧本人時(shí)公司虧本.于是于是,P公司虧本公司虧本=P X 15=1-PX 14由泊松定理得由泊松定理得, 5002. 02500P公司虧本公司虧本0002. 0!511405kkke(2) 獲利不少于一萬元獲利不少于一萬元,即即 30000 -2000X 10000即即X 10P獲利不少于一萬元獲利不少于一萬元=PX 109864. 0!51005kkke例例 假設(shè)某段時(shí)間里光臨電器超市的顧客人數(shù)服從假

17、設(shè)某段時(shí)間里光臨電器超市的顧客人數(shù)服從參數(shù)為參數(shù)為的泊松分布，而超市里每個(gè)顧客買空調(diào)的的泊松分布，而超市里每個(gè)顧客買空調(diào)的概率為概率為P，問在這段時(shí)間里恰有，問在這段時(shí)間里恰有K個(gè)人買空調(diào)的概率個(gè)人買空調(diào)的概率解解以以X表示買空調(diào)的人數(shù)，表示買空調(diào)的人數(shù)，Y為進(jìn)入超市的人數(shù)為進(jìn)入超市的人數(shù),( ).Y 那么()0.1.2!nP Ynenn 即n個(gè)人進(jìn)入超市的條件下個(gè)人進(jìn)入超市的條件下k個(gè)人數(shù)購買空調(diào)的概率：個(gè)人數(shù)購買空調(diào)的概率：(1)()0kkn knC ppnkP Xk Ynnk n個(gè)人進(jìn)入超市的條件下個(gè)人進(jìn)入超市的條件下k個(gè)人數(shù)購買空調(diào)的概率：個(gè)人數(shù)購買空調(diào)的概率：(1)()0kkn kn

18、C ppnkP Xk Ynnk 0()() ()nP XkP Yn P Xk Yn 恰有恰有k個(gè)人數(shù)購買空調(diào)的概率：個(gè)人數(shù)購買空調(diào)的概率：(1)!nkkn knn keC ppn !(1)!()!nkn kn kneppnknk ()(1)!()!n kkn kn kpepknk (1)()!kppeek ()!kppek 購買空調(diào)的人數(shù)服從參數(shù)為購買空調(diào)的人數(shù)服從參數(shù)為p p的泊松分布！的泊松分布！例例. .設(shè)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)設(shè)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布, ,且且知一對(duì)夫婦有不超過知一對(duì)夫婦有不超過1 1個(gè)孩子的概率為個(gè)孩子的概率為3e3e-2-2. .

19、求任選一求任選一對(duì)夫婦對(duì)夫婦, ,至少有至少有3 3個(gè)孩子的概率。個(gè)孩子的概率。23 101),(eXPXPXPpX且21013XPXPXPXP323. 051! 22! 121222212eeee解解:由題意由題意,232eee設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為的所有可能取值為1,2,3,，且，且1()(1), 1,2,3,kP Xkppk 其中其中0p1,則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的幾何分布，的幾何分布，記作記作XG(p).幾何分布的分布律滿足：幾何分布的分布律滿足：1(1) ()0;(2)()1.kP XkP Xk 分析分析 設(shè)射擊次數(shù)為設(shè)射擊次數(shù)為X, 則則XG(0.3).所

20、求為所求為2(3)(1)(2)(3)0.3(10.3)0.3(10.3)0.30.657.P XP XP XP X （5）超幾何分布超幾何分布 設(shè)有設(shè)有N個(gè)產(chǎn)品，其中個(gè)產(chǎn)品，其中M個(gè)合格品。若從中個(gè)合格品。若從中不不放回地放回地隨機(jī)抽取隨機(jī)抽取n個(gè)，則其中含有的合格品數(shù)是個(gè)，則其中含有的合格品數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量一個(gè)隨機(jī)變量X ，由古典概率計(jì)算公式有：，由古典概率計(jì)算公式有：nNknMNkMCCCkXP (k=max(0,n-N+m), , min(n, M).則稱則稱X服從的服從的超幾何分布，超幾何分布，記做記做XH(M,N,n) 若抽樣是若抽樣是有放回的有放回的，則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量X服從服從 P= M/N 的的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布. . 即即()(1)Kkn knMMP XkCNN ( ,)MXB nN超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系 當(dāng)當(dāng)N N很大而很大而n n相對(duì)又較小時(shí)（一般相對(duì)又較小時(shí)（一般nN0.1）可