1、高三數學（理科）試題本試卷共4頁，共23題（含選考題），滿分150分，考試用時120分鐘.考試結束后，將答題卡交回.注意事項：1. 答卷前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內.2. 選擇題必須使用2b鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3. 請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4. 保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1

2、.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】解不等式，求得整數解集，再根據交集定義即可求得【詳解】因為，所以因為，所以根據集合交集運算，可得所以選c【點睛】本題考查了不等式的解法，交集的基本運算，注意解集為整數集，屬于基礎題2.在復平面內，表示復數的點位于（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】b【解析】分析】根據復數除法運算，化簡即可判斷對應的點所在象限【詳解】由復數除法運算，可得所以在復平面內對應點的坐標為，即位于第二象限所以選b【點睛】本題考查了復數的除法運算，復平面內點坐標特征，屬于基礎題3.某中學2018年的高考考生人數是201

3、5年高考考生人數的1.5倍，為了更好地對比該校考生的升學情況，統計了該校2015年和2018年的高考情況，得到如圖柱狀圖：則下列結論正確的是（ ）a. 與2015年相比，2018年一本達線人數減少b. 與2015年相比，2018二本達線人數增加了0.5倍c. 2015年與2018年藝體達線人數相同d. 與2015年相比，2018年不上線人數有所增加【答案】d【解析】【分析】設2015年該校參加高考的人數為，則2018年該校參加高考的人數為.觀察柱狀統計圖，找出各數據，再利用各數量間的關系列式計算得到答案.【詳解】設2015年該校參加高考的人數為，則2018年該校參加高考的人數為.對于選項a.2

4、015年一本達線人數為.2018年一本達線人數為，可見一本達線人數增加了，故選項a錯誤；對于選項b，2015年二本達線人數為，2018年二本達線人數為，顯然2018年二本達線人數不是增加了0.5倍，故選項b錯誤；對于選項c，2015年和2018年.藝體達線率沒變，但是人數是不相同的，故選項c錯誤；對于選項d，2015年不上線人數為.2018年不上線人數為.不達線人數有所增加.故選d.【點睛】本題考查了柱狀統計圖以及用樣本估計總體，觀察柱狀統計圖，找出各數據，再利用各數量間的關系列式計算是解題的關鍵4.已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，則（ ）a. b. c. d.

5、【答案】a【解析】【分析】根據角終邊上點的坐標，求得，代入二倍角公式即可求得的值【詳解】因為終邊上點所以 所以所以選a【點睛】本題考查了三角函數的定義，二倍角公式的應用，屬于基礎題5.若實數，滿足，則的最小值是（ ）a. 0b. 1c. d. 9【答案】a【解析】試題分析：作出可行域如下圖所示，當直線過點時，有最小值，此時，故選a考點：線性規劃6.某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為（ ）a. 2b. 6c. 10d. 24【答案】b【解析】【分析】根據三視圖，畫出原空間幾何體，即可求得幾何體的體積【詳解】由三視圖，可得原空間幾何體的結構圖如下圖所示：該幾何體底面為直角梯形，根據各線

6、段長度可得體積為 所以選b【點睛】本題考查了由三視圖還原空間結構體的應用，棱柱體積的求法，屬于中檔題7.在中，為的重心，為上一點，且滿足，則（ ）a b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據三角形重心的性質，結合向量的加法和減法即可判斷結論【詳解】由題意，畫出幾何圖形如下圖所示：根據向量加法運算可得 因為g為abc的重心，m滿足所以，所以 所以選b【點睛】本題考查了三角形重心的性質，向量的線性運算，屬于基礎題8.趙爽是我國古代數學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為周碑算經一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的

7、一個小正方形組成的）.類比“趙爽弦圖”，可類似地構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設，若在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】設，根據余弦定理表示出bc，分別求得，根據幾何概型中概率計算公式即可求解【詳解】設因為是由3個全等的三角形與中間的等邊三角形構成所以， 由余弦定理可知 代入可得化簡得由三角形面積公式可得 同理所以由幾何概型面積類型的概率可得所以選a【點睛】本題考查了面積型的幾何概率求法，求兩個三角形面積比即可，屬于基礎題9.已知雙曲線：的左右焦點分別為、，

8、過原點的直線與雙曲線交于，兩點，若，的面積為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】連接得四邊形為平行四邊形；根據雙曲線定義及的面積求得，再在中應用余弦定理即可求得關系，進而利用雙曲線中的關系求得漸近線方程【詳解】根據題意，連接得四邊形為平行四邊形，幾何關系如下圖所示：設，則的面積為，則由三角形面積公式可得，化簡得 解得，（舍）所以在中， 由余弦定理可得，即化簡可得 ，由雙曲線中可得 即 所以漸近線方程為所以選d【點睛】本題考查了雙曲線的定義和性質，漸近線方程求法，余弦定理的簡單應用，屬于中檔題10.已知函數，函數，若函數恰有三個零點，則實數的取值范圍是

9、（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據所給函數，畫出函數圖象，根據及恰有三個零點，即可根據圖象判斷m的取值范圍【詳解】由題意，畫出函數的圖象如下圖所示：恰有三個零點即有三個不同交點，即有三個不同交點由圖象可知，當直線斜率在之間時，有三個交點即 所以可得所以選a【點睛】本題考查了函數圖象的畫法，根據零點個數求參數的取值范圍，屬于中檔題11.已知正方體的棱長為1，是線段上一動點，則的最小值為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】將空間結構體展開為平面圖形，根據余弦定理即可求得的最小值【詳解】根據題意可得空間結構體圖形如下圖：將空間結構體以平面為面展開，將平面

10、一并展開可得由圖可知， 則 所以在中，由余弦定理可得 代入可得所以所以選d【點睛】本題考查了空間幾何體最短距離問題，空間幾何體平面展開圖的應用，注意展開后對應的頂點和邊，屬于中檔題12.在中，內角，所對應的邊分別為，的平分線交于點，且，則的最小值為（ ）a. 4b. 5c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據三角形面積公式找到的關系，結合基本不等式即可求得最小值【詳解】根據題意， 因為的平分線交于點，且所以而所以，化簡得即則當且僅當時取等號，即最小值為所以選d【點睛】本題考查了三角函數面積公式的應用，基本不等式在求最值中的用法，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.

11、已知的展開式中含有的系數是-120，則_【答案】1.【解析】【分析】根據二項展開式的通項表達式，結合的系數是即可求得的值【詳解】由二項式定理的展開式可得 因為的系數是所以解得 所以系數為解得【點睛】本題考查了二項式定理展開式的應用，根據特定項的系數求參數，屬于基礎題14.已知函數，則函數的圖象在處的切線方程為_【答案】.【解析】【分析】根據函數解析式和點的坐標可知點在曲線上，求得導函數，根據點坐標即可求得切線斜率，再由點斜式即可求得切線方程【詳解】因為，點坐標為可知點在曲線上則則即切線的斜率為0又因為過點所以切線方程為【點睛】本題考查了過函數上一點切線方程的求法，注意首先要判斷點是否在函數上，

12、屬于基礎題15.已知函數的一條對稱軸為，且函數在區間上具有單調性，則的最小值為_【答案】.【解析】【分析】根據對稱軸求得，再根據可知關于對稱中心對稱，結合在區間上具有單調性即可求得的最小值【詳解】因為的一條對稱軸為所以當時則可解得 ，所以函數解析式為對稱中心的橫坐標為解得又且在區間上具有單調性所以當時，可得最小值為【點睛】本題考查了正弦函數的圖象與性質的綜合應用，正弦函數的單調性的用法，屬于中檔題16.已知點是橢圓 上的動點，且與橢圓的四個頂點不重合，分別是橢圓的左、右焦點，為坐標原點，若點是的平分線上一點，且，則的取值范圍是_【答案】.【解析】【分析】畫出圖形，根據中位線性質及橢圓定義，結合

13、p點位置，即可求得的取值范圍【詳解】根據題意，畫出橢圓及各部分圖形如下圖所示：因為是的平分線上一點，且所以，即m為的中點又因為o為的中點由中位線性質可得 在橢圓方程為則 所以因為所以當p為短軸的頂點時，又因為p與橢圓的四個頂點不重合綜上所述，【點睛】本題考查了橢圓方程的定義，幾何性質的綜合應用，中位線定理的應用，屬于中檔題三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：60分.17.設是數列的前項和，已知.（1）證明：數列是等差數列；（2）設，求數列的前項和.【答案】(1)見解析

14、.(2) .【解析】【分析】（1）利用遞推公式，可得，再兩邊同時除以即可證明為等差數列（2）先求得數列的通項公式，代入得數列的通項公式再由分組法分別求得兩個部分的和，即可求得數列的前項和【詳解】解：（1）由，所以，當時，解得.當時，式減去式，得.所以，又因為，所以數列是以2為首項，1為公差的等差數列.（2）由（1）知，即.所以 .所以.【點睛】本題考查了數列遞推公式的應用，等差數列的證明，分組求和法的應用，考查內容豐富，屬于中檔題18.如圖，三棱柱中，.（1）證明：；（2）若，且，求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析.(2) .【解析】【分析】（1）根據所給線段關系及角度關系，可證明平面，根

15、據三線合一可知為等腰三角形，即可證明（2）為坐標原點建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，求得平面的法向量和平面的法向量，利用向量的數量積即可求得二面角的余弦值【詳解】取的中點，連結，.因為，所以是等邊三角形所以又，所以，所以平面，所以，由三線合一可知為等腰三角形所以.（2）設，則.因為，所以.又因為，所以，所以.以為坐標原點，向量的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設平面的法向量為則，即可取由（1）可知，平面的法向量可取所以由圖示可知，二面角為銳二面角所以二面角的余弦值為【點睛】本題考查了線面垂直的證明，空間直角坐標系的應用，法向量在求面面夾角中的用法，屬于中檔題19.已知

16、動點與兩個定點，的距離的比為.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線與曲線交于、兩點，求線段長度的最小值；（3）已知圓的圓心為，且圓與軸相切，若圓與曲線有公共點，求實數的取值范圍.【答案】(1) .(2) .(3).【解析】【分析】（1）根據兩點間距離公式，及動點與兩個定點，的距離的比為，代入化簡即可求得動點p的軌跡方程（2）根據（1）中求的軌跡方程，判斷出點在圓內，則當直線滿足時mn的值最小，根據垂徑定理即可求得最小值（3）表示出圓q的方程，根據兩個圓有公共點的條件，可知兩個圓的圓心距滿足，解不等式即可求得t的取值范圍【詳解】（1）由題意知：設 則，即，所以，整理得.所以動點的軌跡的方程

17、為.（2）由（1）知軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓.又因為，所以點在圓內，所以當線段的長度最小時，所以圓心到直線的距離為，此時，線段的長為，所以，線段長度的最小值為.（3）因為點的坐標為，且圓與軸相切，所以圓的半徑為，所以，圓的方程為.因為，圓與圓有公共點，又圓與圓的兩圓心距離為，所以，即，解得：.所以，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查了曲線軌跡方程的求法，直線與圓的位置關系及垂徑定理的應用，圓與圓位置關系的應用，屬于中檔題20.山東省2020年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統一

18、高考科目為語文、數學、外語，自主選擇的3門普通高中學業水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數不直接用，而是按照學生分數在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分.根據高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為、共8個等級參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為、.等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個

19、分數區間，得到考生的等級成績.舉例說明.某同學化學學科原始分為65分，該學科等級的原始分分布區間為5869，則該同學化學學科的原始成績屬等級.而等級的轉換分區間為6170，那么該同學化學學科的轉換分為：設該同學化學科轉換等級分為，求得.四舍五入后該同學化學學科賦分成績為67.（1）某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態分布.（i）若小明同學在這次考試中物理原始分為84分，等級為，其所在原始分分布區間為8293，求小明轉換后的物理成績；（ii）求物理原始分在區間的人數；（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取4人，記表

20、示這4人中等級成績在區間的人數，求的分布列和數學期望.（附：若隨機變量，則，）【答案】(1)（i）83.;（ii）272.(2)見解析.【解析】【分析】（1）根據原始分數分布區間及轉換分區間，結合所給示例，即可求得小明轉換后的物理成績；根據正態分布滿足，結合正態分布的對稱性即可求得內的概率，根據總人數即可求得在該區間的人數（2）根據各等級人數所占比例可知在區間內的概率為，由二項分布即可求得的分布列及各情況下的概率，結合數學期望的公式即可求解【詳解】（1）（i）設小明轉換后的物理等級分為，求得.小明轉換后的物理成績為83分；（ii）因為物理考試原始分基本服從正態分布，所以.所以物理原始分在區間的

21、人數為（人）；（2）由題意得，隨機抽取1人，其等級成績在區間內的概率為，隨機抽取4人，則.，.的分布列為01234數學期望.【點睛】本題考查了統計的綜合應用，正態分布下求某區間概率的方法，分布列及數學期望的求法，文字多，數據多，需要細心的分析和理解，屬于中檔題21.已知函數，.（1）若存在極小值，求實數的取值范圍；（2）設是的極小值點，且，證明：.【答案】(1) .(2)見解析.【解析】【分析】（1）先求得導函數，根據定義域為，可構造函數，通過求導及分類討論，即可求得的取值范圍（2）由（1）令，通過分離參數得，同時求對數，根據函數，可得構造函數及，由導數即可判斷的單調情況，進而求得的最小值，結合即可證明不等式成立【詳解】（1）.令，則，所以在上是增函數.又因為當時，；當時，.所以，當時，函數在區間上是增函數，不存在極值點；當時，的值域為，必存在使.所以當時，單調遞減；當時，單調遞增；所以存在極小值點.綜上可知實數的取值范圍是.（2）由（1）知，即.所以，.由，得.令，顯然在區間上單調遞減.又，所以由，得.令，當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減；所以，當時，函數取最小值，所以，即，即，所以，所以，即.【點睛】本題考查了導數在研究函數單調性、極值和最值