1、知識點二知識點二知識點一知識點一理解教材新知理解教材新知應用創新演練應用創新演練考點一考點一把握熱點考向把握熱點考向考點二考點二考點三考點三第第三三章章概概率率2 2古古典典概概型型互互斥斥事事件件返回返回返回23互斥事件互斥事件返回返回 袋子中裝有白球袋子中裝有白球3個，黑球個，黑球4個，從中任取個，從中任取3個個 問題：問題：“恰有一個白球恰有一個白球”和和“全是白球全是白球”兩事件有可能同兩事件有可能同時發生嗎？時發生嗎？ 提示：提示：不可能不可能返回 (1)定義：在一個試驗中，我們把一次試驗下定義：在一個試驗中，我們把一次試驗下 的兩個事件的兩個事件a與與b稱作互斥事件稱作互斥事件 (

2、2)規定：事件規定：事件ab發生是指事件發生是指事件a和事件和事件b發生發生 (3)公式：在一次隨機試驗中，如果隨機事件公式：在一次隨機試驗中，如果隨機事件a和和b是互斥是互斥事件，那么有事件，那么有p(ab) (4)公式的推廣：如果隨機事件公式的推廣：如果隨機事件a1，a2，an中任意兩個中任意兩個是互斥事件，那么有是互斥事件，那么有p(a1a2an) .不能同時發不能同時發生生至少有一個至少有一個p(a)p(b)p(a1)p(a2)p(an) 返回 袋子中有袋子中有2個白球，個白球，2個黑球，從中任取個黑球，從中任取2個球個球 問題問題1：“至少有一個白球至少有一個白球”和和“全是黑球全是

3、黑球”這兩事件能同時這兩事件能同時 不發生嗎？不發生嗎？ 提示：提示：不能不能 問題問題2：問題：問題1中的兩個事件在這個實驗中一定有一中的兩個事件在這個實驗中一定有一個發生嗎？個發生嗎？ 提示：提示：是是返回1返回 互斥事件與對立事件的區別與聯系：互斥事件與對立事件的區別與聯系： (1)互斥事件與對立事件都是不能同時發生的事件，但互斥事件與對立事件都是不能同時發生的事件，但互斥事件可能同時不發生，對立事件不能同時不發生，即互斥事件可能同時不發生，對立事件不能同時不發生，即其中必有一個發生其中必有一個發生 (2)對立事件一定是互斥事件，是互斥事件的特殊情況，對立事件一定是互斥事件，是互斥事件的

4、特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，如果兩個事件不是互斥事但互斥事件不一定是對立事件，如果兩個事件不是互斥事件，那么它們一定不是對立事件件，那么它們一定不是對立事件返回返回 例例1某小組有某小組有3名男生和名男生和2名女生，從中任選名女生，從中任選2名同名同學參加演講比賽判斷下列每對事件是不是互斥事件，如學參加演講比賽判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件果是，再判斷它們是不是對立事件 (1)恰有恰有1名男生與恰有名男生與恰有2名男生；名男生； (2)至少至少1名男生與全是男生；名男生與全是男生； (3)至少至少1名男生與全是女生；名男生與全是女生； (4)至少至少

5、1名男生與至少名男生與至少1名女生名女生返回 思路點撥思路點撥要判斷兩個事件是不是互斥事件，只需要判斷兩個事件是不是互斥事件，只需找出各個事件包含的所有結果，看它們之間能不能同時發找出各個事件包含的所有結果，看它們之間能不能同時發生在互斥的前提下，看兩個事件中是否必有一個發生，生在互斥的前提下，看兩個事件中是否必有一個發生，可判斷是否為對立事件可判斷是否為對立事件 精解詳析精解詳析從從3名男生和名男生和2名女生中任選名女生中任選2名同學有名同學有3類類結果；兩男或兩女或一男一女結果；兩男或兩女或一男一女 (1)因為恰有因為恰有1名男生與恰有名男生與恰有2名男生不可能同時發生，名男生不可能同時發

6、生，所以它們是互斥事件；當恰有所以它們是互斥事件；當恰有2名女生時，它們都沒有發生，名女生時，它們都沒有發生，所以它們不是對立事件所以它們不是對立事件返回 (2)當恰有當恰有2名男生時，至少名男生時，至少1名男生與全是男生同時發名男生與全是男生同時發生，所以它們不是互斥事件生，所以它們不是互斥事件 (3)因為至少因為至少1名男生與全是女生不可能同時發生，所名男生與全是女生不可能同時發生，所以它們是互斥事件；由于它們必有一個發生，所以它們是以它們是互斥事件；由于它們必有一個發生，所以它們是對立事件對立事件 (4)當選出的是當選出的是1名男生名男生1名女生時，至少名女生時，至少1名男生與至少名男生

7、與至少1名女生同時發生，所以它們不是互斥事件名女生同時發生，所以它們不是互斥事件返回 一點通一點通 1判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們能否同判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們能否同時發生，若能同時發生則這兩個事件不是互斥事件，若不時發生，若能同時發生則這兩個事件不是互斥事件，若不能同時發生，則這兩個事件是互斥事件能同時發生，則這兩個事件是互斥事件 2判斷兩個事件是否為對立事件，主要看是否同時滿判斷兩個事件是否為對立事件，主要看是否同時滿足兩個條件：一是不能同時發生；二是必有一個發生這足兩個條件：一是不能同時發生；二是必有一個發生這兩個條件同時成立，那么這兩個事件是對立事件，只要有兩個

8、條件同時成立，那么這兩個事件是對立事件，只要有一個條件不成立，那么這兩個事件就不是對立事件一個條件不成立，那么這兩個事件就不是對立事件返回1從裝有從裝有2個紅球和個紅球和2個白球的口袋中任取個白球的口袋中任取2個球，那么互個球，那么互斥而不對立的兩個事件是斥而不對立的兩個事件是 ()a至少至少1個白球，都是白球個白球，都是白球b至少有至少有1個白球，至少有個白球，至少有1個紅球個紅球c恰有恰有1個白球，恰有個白球，恰有2個白球個白球d至少有至少有1個白球，都是紅球個白球，都是紅球返回解析：解析：從裝有從裝有2個紅球和個紅球和2個白球的口袋中任取個白球的口袋中任取2個球有個球有3類結類結果：兩個

9、紅球或兩個白球或一紅一白當取出果：兩個紅球或兩個白球或一紅一白當取出2個白球時，至個白球時，至少一個白球與都是白球同時發生，即它們不是互斥事件，所少一個白球與都是白球同時發生，即它們不是互斥事件，所以以a項不正確；當取出一個白球一個紅球時，至少有項不正確；當取出一個白球一個紅球時，至少有1個白球個白球與至少有與至少有1個紅球同時發生，即它們不是互斥事件，所以個紅球同時發生，即它們不是互斥事件，所以b項項不正確；至少有不正確；至少有1個白球與都是紅球不能同時發生，且必有一個白球與都是紅球不能同時發生，且必有一個發生，所以它們是互斥事件又是對立事件，所以個發生，所以它們是互斥事件又是對立事件，所以

10、d項不正確；項不正確；恰有恰有1個白球是指一個白球一個紅球，恰有個白球是指一個白球一個紅球，恰有2個白球是指個白球是指2個都個都是白球，所以恰有是白球，所以恰有1個白球與恰有個白球與恰有2個白球不能同時發生，它個白球不能同時發生，它們是互斥事件，當取出的們是互斥事件，當取出的2個球都是紅球時，它們都沒有發生，個球都是紅球時，它們都沒有發生，所以它們不是對立事件所以它們不是對立事件答案：答案：c返回2判斷下列給出的條件，是否為互斥事件，是否為對立事判斷下列給出的條件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由：從件，并說明理由：從40張撲克牌張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、紅桃、黑桃、方塊、梅花點數

11、從梅花點數從110各各10張張)中，任取一張中，任取一張(1)“抽出紅桃抽出紅桃”與與“抽出黑桃抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌抽出紅色牌”與與“抽出黑色牌抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌的點數為抽出的牌的點數為5的倍數的倍數”與與“抽出的牌的點數大抽出的牌的點數大于于9”返回解：解：(1)是互斥事件，不是對立事件是互斥事件，不是對立事件從從40張撲克牌中任意抽取張撲克牌中任意抽取1張，張，“抽出紅桃抽出紅桃”和和“抽出黑桃抽出黑桃”是不可能同時發生的，所以是互斥事件同時，不能保證是不可能同時發生的，所以是互斥事件同時，不能保證其中必有一個發生，這是由于還可能抽出其中必有一個發生，這是由于還可能抽

12、出“方塊方塊”或者或者“梅梅花花”，因此，因此， 二者不是對立事件二者不是對立事件(2)既是互斥事件，又是對立事件既是互斥事件，又是對立事件從從40張撲克牌中，任意抽取張撲克牌中，任意抽取1張，張，“抽出紅色牌抽出紅色牌”與與“抽出黑抽出黑色牌色牌”，兩個事件不可能同時發生，且其中必有一個發生，兩個事件不可能同時發生，且其中必有一個發生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件所以它們既是互斥事件，又是對立事件返回(3)不是互斥事件，當然不可能是對立事件不是互斥事件，當然不可能是對立事件從從40張撲克牌中任意抽取張撲克牌中任意抽取1張，張，“抽出的牌的點數為抽出的牌的點數為5的倍的倍數數”與與“抽出

13、的牌的點數大于抽出的牌的點數大于9”這兩個事件可能同時發生，這兩個事件可能同時發生，如抽得點數為如抽得點數為10，因此，因此， 二者不是互斥事件，當然不可二者不是互斥事件，當然不可能是對立事件能是對立事件.返回返回返回 一點通一點通解決此類問題，首先應結合互斥事件和對解決此類問題，首先應結合互斥事件和對立事件的定義分析出是不是互斥事件和對立事件，再決定立事件的定義分析出是不是互斥事件和對立事件，再決定使用哪一公式，不要由于亂套公式而導致錯誤，對于較復使用哪一公式，不要由于亂套公式而導致錯誤，對于較復雜的綜合性問題還要注意分類討論和等價轉化數學思想的雜的綜合性問題還要注意分類討論和等價轉化數學思

14、想的運用運用 返回3假設向三個相鄰的軍火庫投擲一個炸彈，炸中第一個假設向三個相鄰的軍火庫投擲一個炸彈，炸中第一個軍火庫的概率為，炸中其余兩個軍火庫的概率各為，只要軍火庫的概率為，炸中其余兩個軍火庫的概率各為，只要炸中一個，另兩個也要發生爆炸，求投擲一個炸彈軍火庫炸中一個，另兩個也要發生爆炸，求投擲一個炸彈軍火庫發生爆炸的概率發生爆炸的概率解：解：令令a、b、c分別表示炸中第一、第二、第三個軍火庫，分別表示炸中第一、第二、第三個軍火庫，則則p(a)，p(b)p(c)0.1.令令d表示軍火庫爆炸這個事件，則有表示軍火庫爆炸這個事件，則有dabc，又因為又因為a、b、c是兩兩互斥事件，是兩兩互斥事件

15、，故所求概率為故所求概率為p(d)p(a)p(b)p(c)0.225.返回4某射手在一次射擊中，射中某射手在一次射擊中，射中10環、環、9環、環、8環、環、7環的概率環的概率分別為、，計算該射手在一次射擊中：分別為、，計算該射手在一次射擊中：(1)射中射中10環或環或7環的概率；環的概率；(2)不夠不夠7環的概率環的概率解：解：令令a、b、c、d分別表示射中分別表示射中7環、環、8環、環、9環、環、10環環則則p(a)，p(b)，p(c)，p(d)0.21.(1)令令e為射中為射中10環或環或7環，則環，則ead，a與與d互斥，互斥，p(e)p(ad)p(a)p(d)0.49.(2)令令f為不

16、夠為不夠7環，則環，則p(f)1p(abcd)a、b、c、d兩兩互斥，兩兩互斥，p(f)10.03.返回 例例3一盒中裝有各色球一盒中裝有各色球12個，其中個，其中5個紅球、個紅球、4個個黑球、黑球、2個白球、個白球、1個綠球從中隨機取出個綠球從中隨機取出1球，求：球，求： (1)取出取出1球是紅球或黑球的概率；球是紅球或黑球的概率； (2)取出取出1球是紅球或黑球或白球的概率球是紅球或黑球或白球的概率 思路點撥思路點撥先設出有關的互斥事件，然后把所求事先設出有關的互斥事件，然后把所求事件的概率轉化為求某些互斥事件和的概率，另外也可考慮件的概率轉化為求某些互斥事件和的概率，另外也可考慮用古典概

17、型以及對立事件來解決用古典概型以及對立事件來解決返回返回返回返回返回 一點通一點通求復雜事件的概率通常有兩種方法：求復雜事件的概率通常有兩種方法： (1)將所求事件轉化成幾個彼此互斥的事件的和事件；將所求事件轉化成幾個彼此互斥的事件的和事件； (2)若將一個較復雜的事件轉化為幾個互斥事件的和事若將一個較復雜的事件轉化為幾個互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即用對立事件的概率公式，即“正難則反正難則反”，它常用來求，它常用來求“至至少少”或或“至多至多”型事件的概率型事件的概率返回答案：答案：b

18、返回6某班數學興趣小組有男生三名，分別記為某班數學興趣小組有男生三名，分別記為a1，a2，a3，女生兩名，分別記為女生兩名，分別記為b1，b2，現從中任選，現從中任選2名學生去參加名學生去參加校數學競賽校數學競賽(1)寫出這種選法的所有基本事件；寫出這種選法的所有基本事件；(2)求參賽學生中恰有一名男生的概率；求參賽學生中恰有一名男生的概率；(3)求參賽學生中至少有一名男生的概率求參賽學生中至少有一名男生的概率解：解：(1)從從3名男生和名男生和2名女生中任選名女生中任選2名學生去參加校數名學生去參加校數學競賽，其一切可能的結果為學競賽，其一切可能的結果為(a1，a2)，(a1，a3)，(a2

19、，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)返回返回 1互斥事件的概率加法公式的運用：互斥事件的概率加法公式的運用： (1)將一個事件的概率問題分拆為若干個互斥事件，將一個事件的概率問題分拆為若干個互斥事件，分別求出各事件的概率，然后用加法公式求出結果分別求出各事件的概率，然后用加法公式求出結果 (2)運用互斥事件的概率加法公式解題時，首先要分運用互斥事件的概率加法公式解題時，首先要分清事件間是否互斥，同時要學會把一個事件分拆為幾個互清事件間是否互斥，同時要學會把一個事件分拆為幾個互斥事件，做到不重不漏斥事件，做到不重不漏 (3)常用步驟：確定諸事件彼此互斥；諸事件中常用步驟：確定諸事件彼此互斥；諸事