1、目 錄總體規劃課程實施第一節 有趣的數學謎語第二節 雞兔同籠問題第三節 九宮圖的應用第四節 大衍求一術第五節 讓梨游戲第六節 幻方與魔陣第七節 數學中的簡單邏輯推理問題第八節 欺騙眼睛的幾何問題第九節 抽屜原理的簡單應用第十節 帕斯卡三角形與道路問題第十一節 數 獨第二部分 課程實施實施對象：高二學生實施時間：校本選修課2實施步驟：分四步：1）自行研讀，思考 2）合作探究、推理 3）老師指導、解答 4）創新運用、提高實施計劃：擬在高二實施，共需18課時。高二年級每周2課時。課時安排：第一節 有趣的數學謎語2課時第二節 雞兔同籠問題1課時第三節 九宮圖的應用1課時第四節 大衍求一術2課時第五節

2、讓梨游戲1課時第六節 幻方與魔陣2課時第七節 數學中的簡單邏輯推理問題1課時第八節 欺騙眼睛的幾何問題2課時第九節 抽屜原理的簡單應用2課時第十節 帕斯卡三角形與道路問題1課時第十一節 數 獨2課時 體會與反思1課時評價與考核本課程采用考核與考試相結合的評價方式。作業：結合課本知識及相關內容，以作業形式，考查學生的解決問題的能力，以了解學生對該校本課程的掌握。學習反思與體會：由學生撰寫學習反思與體會，以評價學生的思辨能力和表達能力。了解學生對該校本課程的接受程度，對下期教學進行必要的改進。第一節 有趣的數學謎語猜謎是一種非常有趣有益的智力活動，猜謎語也是鍛煉思維能力的一種好方法。聽了謎語以后，

3、就會動腦筋想：這說的是什么東西呢？“思源于疑”，“疑”是思維的開始,是創造的基礎，大家覺得是不是呢？今天我們就來猜謎語！先看幾個簡單例子：1一加一不是二。（打一字）“一”字、加號“”、再來一個“一”字，組合在一起，得到的字不是“二”，而是“王”。謎底是王。2一減一不是零。（打一字）“一”字、減號“-”、再來一個“一”字，組合在一起，得到的字不是“零”，而是“三”。謎底是三。3八分之七。（打一成語）“八分之七”用數學符號寫出來，把數字7寫在分數線上面，8寫在分數線下面，謎底是成語“七上八下”。在上面這些謎語里，用一些很簡單的數學知識，對謎語的文字作出新的理解，可以幫助猜出答案。另外一類謎語，謎底

4、是數學名詞。還是來看幾個例子：4七六五四三二一。（打一數學名詞）平常報數目，是從小到大順著數，就像流行歌曲里唱的，“一二三四五六七，我的朋友在哪里”。現在他說“七六五四三二一”，是從大到小，倒過來數了，所以謎底是“倒數”。5討價還價。（打一數學名詞）買東西討價還價，要經過反復協商，才能達成雙方都同意的錢數。這種協商錢數的過程，可以戲稱為“商數”。謎底是商數。6你盼著我，我盼著你。（打一數學名詞）“你盼著我”，是你在等候我；“我盼著你”，是我在等候你。兩人互相等候，可謂“相等”。謎底是相等。7成績是多少？（打二數學名詞）學習成績是用得分的數目計算的。問“多少”，可以換一個說法，改問“幾何？”在中

5、國古代數學書里，問一種物品有多少個，總是問“物有幾何？”直到現在，有些地區的方言里，買東西問價錢，還是說“幾何？”所以，問“成績多少”，等于是問“分數，幾何？”謎底是兩個數學名詞：分數、幾何。今天我們見到的謎語都與數學有關，被我們稱為數學謎語，根據謎面和謎底的不同，數學謎語有不同的分類。同學們不妨一猜，可在緊張學習之余博得一樂，還可以提高學習數學的興趣。請同學們在說謎底的時候，將你的猜謎思路和過程有條理地向大家展示。一、以數學用語為謎底的謎語1. 五角一趟 2. 兩羊打架 3. 完全合算 4. 勤點鈔票5. 兩邊清點 6. 有情人終成眷屬 7. 合法開支 8. 打得鴛鴦各一方9. 垂釣 10.

6、 馬術 11. 戽 12. 歲歲重陽今又重陽13. 追本溯源 14. 對癥下藥 15. 多十分 16. 集體釣魚17. 協議離婚 18. 打成和局 19. 團體賽 20. 刮胡子21. 摩拳擦掌 22. 誰押林沖去滄州（打兩個數學用語）二、以數字為謎面的謎語23. 一（打一成語） 24. 十百千（打一成語）25. 一二三四五六七九十（打一字） 26. 壹貳叁肆伍陸柒捌玖（打一古書名）27. 三八二十四（打一體育用語） 28. 7×9（打一古軍事書名，卷簾格）三、以方程為謎面的謎語29. x=只-吾（打一工業用語） 30. x=旭÷3（打一化學用語）四、以數學家為謎底的謎語3

7、1. 東坡游春 32. 回眸一笑百媚生五、以數學科目為謎面的謎語33. 解析幾何（打一口頭用語）六、以運算符號為謎面的謎語34. +-×（打一成語）謎底：1.一元二次（推算法） 2.對頂角 3.絕對值 4.常數（通假法） 5.分數 6.同心圓 7.有理數 8.公分母 9.等于（通假法） 10.乘法 11.內角（分解法） 12.循環節 13.求根 14.開方 15.余角（換算、通假） 16.公垂線 17.約分 18.平角 19.公共角 20.平角（詞性通假） 21.等角22.兩個解、差（問答法。答曰：兩個解差，分開即是） 23.大有人在 24.萬無一失（別解為沒有“一”和“萬”） 25

8、.口（謎面意為“只”少“八”） 26.拾遺記（意為忘記寫“拾”） 27.女子雙打（雙打即兩打，二十四） 28.三十六計（7×9計六十三，反序讀之即得） 29.成品（八口減五口為三口，三口即成“品”字） 30.結晶（九日除以3得3日，結合為“晶”） 31.蘇步青 32.楊樂 33.十八斤（謎面別解為把“析”分解開是多少？） 34.支離破碎（把支分解開即為“+、-、×”） 你能總結出猜數學謎語的基本方法嗎？【猜一猜，練一練】第一組：1.群策群力 2.裁判職責 3.批準法規 4.彈簧彈性5.人人富裕 6.啦叭套子 7.主動爭取 8.聽候下令9.財政赤字 10.偽造賬目 11.追問

9、到底 12.準備參賽13.交換賽場 14.熱身賽 15.團體賽 16.互相呼喊17.中秋明月 18.平原鐵道 19.貨真價實 20.提弦調音謎底：1.公理 2.定理 3.定律 4.有限5.無窮 6.大于號 7.不等號 8.等號9.負數 10.無理數 11.求根 12.等比13.更比 14.相似 15.合比 16.對稱17.圓 18.直徑 19.絕對值 20.正弦第二組：1.斷紗接頭 （打一數學名詞）2.抬頭望月 正好初八 （打一三角函數名）3.一筆債務 （打一數學名詞） 4.兩牛打架 （打一數學名詞）5.大甩賣 （打一數學名同） 6.再見吧媽媽 （打一數學名詞）7.醫生提筆 （打一數學名詞）

10、8.99 （打一成語）9.110 （打一成語） 10.103與1002 （打一成語）11.大同小異 （打一數學名詞） 12.并駕齊驅 （打一數學名詞）13.周而復始 （打一數學名詞） 14.考試不作弊 （打一數學名詞）15.夏周之間 （打一數學名詞） 16.捷道 （打一數學名詞）17.算盤珠 （打一數學名詞） 18.聯合國憲章 （打一數學名詞）19.歲歲重陽，今又重陽 （打一數學名詞）謎底：1.延長線；2.正弦；3.負數；4.對頂角；5.絕對值；6.分子分母；7.開方；8.百無一是；9.一成不變； 10.千變萬化；11.近似；12.平行；13.循環；14.真分數； 15.商； 16.直徑； 1

11、7.代數；18.最大公約數； 19.循環節。【數學謎語集錦】（一）、打數學名詞方面的1.五四三二一； 2.缺了會計； 3.郵寄賬本； 4.信件統計； 5.替人查賬； 6.查賬； 7.開獎； 8.算術老師的教鞭； 9.一筆債務； 10.商店盤貨； 11.用； 12.同室操戈；13.團體賽； 14.兵對兵，將對將； 15.左右夾攻； 16.重判；17.輕判； 18.車站告示； 19.背著喇叭； 20.待命沖鋒；21.朱元璋登基； 22.婚姻法； 23.演員招考制度； 24.五角；25.員；26.刀口； 27.海峽兩岸盼統一； 28.有情人終成眷屬；29.馬路沒彎兒；30.兩個寨子隔條崗，南寨沒有北

12、寨強；南寨好漢有五條，不及北寨人一雙。31.健全法制； 32.兒童儲蓄； 33.聚散無常； 34.千絲萬縷；35.身高； 36.會談； 37.欲言又止； 38.保持距離，同時起飛；39.五角錢一趟； 40.浮萍； 41.互盼； 42.合家歡；43.恰如其分； 44.一望無際； 45.一模一樣； 46.哨聲響了；47.減法沒算對； 48.垂釣； 49.走致富之路； 50.北；51.抬頭望月，正好初八； 52.二胡調音； 53.時刻盼望上戰場（打數學二名詞）； 54.丞（打數學三名同）； 55.一個郵遞員掀起了信箱的蓋子，在清點有多少信件。你能根據這一情況猜出三個數學名詞嗎？（二）、打數學家名字方

13、面的1.虎丘游春； 2.博覽群書。（三）、打其它方面的1.八十五（打一影片名）； 2.三八二十四（打一體育名詞）；3.四加四（打一字）；4.+-×÷（打一政治名詞）； 5.圓規畫雞蛋（打一城市名稱）； 6.力（打一珠算口訣）；7.千古興亡多少事（打三學科名稱）；8.向陽村和青松村比賽籃球。向陽隊是東方鄉的冠軍，而青松隊是長豐鄉的冠軍，這場兩個冠軍隊的比賽打得非常激烈、精彩，每球必爭，比分不相上下，直到最后一分鐘，向陽隊罰進一球才分出勝負。當有人問起勝負情況和比分時，向陽隊的球員說，這次比賽是“白”字比“雜”字，我們只贏了一分。你知道兩個隊各得幾分？謎底：（一）、1.倒數：2

14、.無理數；3.函數；4.函數；5.代數；6.對數；7.對數；8.指數：9.負數；10.復數； 11.半角； 12. 內角； 13.公共角；14.同位角；15.兩面角；16.加法（謎面意即“加罰”，“罰”與“法”諧音）；17.減法；18.乘法（乘車方法，取乘法）；19.負號；20.等號；21.消元；22.結合律；23.優選法；24.半圓；25.圓心；26.切點；27.同心圓；28.同心圓；29.直徑；30.算盤；31.圓規；32.微積分；33.不定積分；34.繁分式；35.立體幾何；36.集合論；37.控制論；38.平行；39.一元二次；40.不定根；41.相等；42.共圓；43.精確值；44.

15、無窮大；45.全等；46.集合；47.誤差；48.等于（“于”與“魚”諧音）；49.趨向無窮；50.反比（反扣法，“北”反為“比”）；51.正弦（假借法，因為初八月亮是上弦，“上”含“正”，故為“正弦”）；52.正弦；53.等角、正切；54.大于、小于、分子（用增損法猜測）；55.開立方、函數、幾何。（二）、1.蘇步青；2.張廣厚。（三）、1.月到中秋；2.女子雙打（“三八”扣“女子”，“二十四”扣“雙打”，因為十二為一打）；3.積（“四加四”和是八，再由“和八”拼成“積”字）；4.分裂主義；5.太原（“原”與“圓”諧音）；6.二一添作五；7.歷史、代數、幾何；9.九十九比九十八（“白”是“百

16、”減“一”：“雜”是“九”、“十”、“八”的組合）。注：1、不同的謎面有時有相同的謎底；2、同一個謎面它的謎底有時是由幾部分組成的，且這幾部分都是并列的，必須都猜出來才算全對；3、第五十五個謎語屬啞謎，最后一個謎語屬故事謎。猜數學謎語可鍛煉思維能力，提高學習數學的興趣。在猜謎的過程中，有時需要一步步地深入，前面猜測的結果可能成為下一步的前提。因此，算法思想始終滲透在數學謎語中，條理清晰，理由充分，推理正確，才能一步步地貼近謎面。同時，請學生表述答案的過程是提高表達能力的過程。第二節 雞兔同籠問題 雞兔同籠，這個問題，是我國古代著名趣題之一。大約在1500年前，孫子算經中就記載了這個有趣的問題。

17、書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？第一類：列表舉例法。方法1：根據雞和兔共20只的條件，假設雞只有1只，那么兔有19只，腿共有78條。在這樣的逐一舉例中，直至尋求到所求的答案。方法2：先作一些分析，比較后再試。方法3：先假設雞和兔各占一半，再列表。60>54，說明兔子多了，應減少兔子的只數。 上面三種方法中，第一張表格是常規的逐一列舉法，即根據雞與兔共20只的條件，假設雞只有1只，那么兔就有19只，腿共有78條；假設雞有2只，那么兔就

18、有18只，腿共有76條。，再這樣的逐一舉例中，直至找到所求的答案。第二類：作圖分析法。方法1：先畫20個圓圈表示20個頭。再為每個動物畫兩條腿，20只動物只用完40條腿，還多出了14條腿。把剩下的14條腿用完，要給其中的7只動物加2條腿，這7只就是兔子，另外的13只就是雞。方法2：先畫20個頭，接著假設全部是兔，共畫80條腿，多出了26條腿，要給其中的13只動物去掉2條腿，這13只就是雞，另外的7只就是兔了。第三類：方程解答法。解法1：設其中有x只兔，有y只雞。列式為：xy20   ，4x+2y=54。最后算出x=7，y=13。解法2：設其中有x只兔，有（20x）

19、只雞。列式為：2x+4x（20x）=54,最 后算出x7，得出兔的只數是7只，那么20x13就是雞的只數。第四類：假設推理法。方法1： 假設這20只全部是兔子，那么就應該有80條腿，而題目只告訴我們 有54條腿，我們算的80與實際相比多算了26條腿，這是為什么呢？因為一只雞是兩條腿，而我們把它當成四條腿算了，如果用一只雞來換一只兔，就要減少2條腿，也就是我們把多少只雞當成了兔子，顯然26÷213(只），所以雞有13只，兔子有7只。可以列式為：（20x4-54)÷(4-2)=13（只），20-13=7(只）。方法2：假設這20只全部是雞，那么就應該有40條腿，比實際少了14條

20、腿，是因為每只兔子少算了2條腿，這樣共有兔子是7只，雞則是13只。列式如下：（54-20x4)÷(42）=13(只），20137（只）。 解決雞兔同籠問題通常使用假設法，可以假設所有的動物都是兔子，并求出在假設情況下的總腿數，再把實際的腿數和假設情況下的腿數相比較，看看多出了多少，每多2只腿說明有一只雞，將多出的腿數除以2就算出共有多少只雞。也可以假設全部是兔子來解。  方法3：把一只雞和一只兔看做一個整體，一個整體中就有（42=6）條腿，54條腿應該是幾個這樣的整體呢？54÷69(個），在9個這樣的整體里兔子的只數應該不是9只，因為9只兔和11只雞的腿

21、的條數超過了總條數54。那么就把兔看成8只，還是偏大，最后把兔的只數看成7只，雞是13只，腿的總條數就正好是54了。列式為：426（只），54÷69(個），918（只），927（只），20713（只），7x428（條），13x226（條）28+26=54(條）第五類：“金雞獨立”法此方法是：每只雞都用一只腳站著，而每只兔子都用后腳站起來”。顯然，在這種情況下，總腳數出現了一半，是27，此時，雞的腳數與雞的頭數是相等的，兔子的腳數是兔子的頭數的2倍。所以，從27中減去總的頭數20得7，就是兔子的頭數。當然，20-7=13，雞就是13只了。雞兔同籠問題早在我國古代數學名著孫子算經中就出現

22、過，社會發展到今天，雞和兔同裝一籠的此類事件應該不多見了。但學生可以借助“雞兔同籠”這個載體經歷嘗試、創新的過程， 讓學生感受到數學思想的運用與解決實際問題的聯系，體會到數學的價值。作業：設計一個算法，輸入雞兔的頭和腳數，輸出雞和兔的數量。第三節 九宮圖的應用一、數學故事：任意寫一個三位數 做幾次簡單運算，可以發現一個小小規律。任意寫一個三位數，例如135。把它的數字倒過來寫，成為531。用其中較大的減去較小的，得到531-135=396。換幾個另外的三位數，也做同樣的計算，分別得到876-678=198，995-599=396，963-369=594。以上4個式子里得到的差，有一個明顯的共同

23、點：差的中間一位數字都是9。再仔細看看，還發現一個共同點：差的首、尾兩位數字的和等于9。這樣，通過觀察和歸納，就發現了三位數顛倒相減的規律。還可以再隨意寫很多三位數顛倒相減的例子，來驗證上面得到的規律，結果大部分都完全符合，只有兩種例外情形。第一種例外，如594-495=99，差是兩位數99，不是三位數。第二種例外，如323-323=0，這時的差是0。由此可見，剛才初步歸納出來的規律，需要作兩點小補充：第一，如果差的末位數字是9，這個差一定是99；第二，如果差的末位數字是0，這個差一定是0。在其他情形下，差都是三位數。這樣一來，規律就完整了。你可以讓你的朋友轉過身去，在紙上任意寫三位數，然后顛

24、倒相減，只要把差的末位數字告訴你，就能猜出差是多少。無論哪種情形，只要掌握規律，總能應答如流，一猜就準。二、九宮圖的應用 歷史古老而悠久的中華文化的寶殿中，有兩顆璀璨奪目的明珠-河圖洛書，至今吸引著眾多學者的研究熱情，人們為河圖洛書的神話般的傳說，高深的奧義，豐富的內容，簡潔的形式萬分驚訝，對河圖洛書與中國的思想文化、社會科學、自然科學的密切聯系更是迷惑不解。種種論述表明，河圖洛書是中華文化的總源頭，對中國及世界文化的發展，都有過深刻的影響。然而，令我們每個人吃驚和迷惑不解的是，河圖洛書只是兩個簡單的數字圖。 龍馬載河圖，神龜背洛書河圖洛書是我們祖先創造出來的，翻遍祖國的各種古典著作，我們根本

25、找不到這位創始人。河圖洛書的產生，至少要追溯到四千五百多年以前，那時，人類尚處于無文字時代，人類的認識水平還十分低，很難想象那時就有人能夠制造出如此高深莫測的圖書。在我國各種古籍中，對河圖洛書的起源，僅有兩個龍馬載河圖，神龜背洛書的傳說。 （一）龍馬載河圖相傳遠古時期的孟津河邊，一天河水忽然大漲，波浪滔天，水中有一巨獸，似龍非龍，似馬非馬，浪里飛騰。當時的伏羲黃帝與眾臣聽到有人報告，立即去河邊觀看，只見河中洪濤巨浪，波浪中一巨獸踏水如登平地，大體象馬卻身有魚鱗，高八九尺，有兩翼，形體象駱駝，身上負有由花點構成的圖案，黃帝命人走近河邊，將圖案記錄下來，剛剛記下，怪獸即沒而不見。后伏羲皇帝認真研究

26、了這副圖發現它正是由十種花點組成，這十種花點代表1-10這10個數，兩種花點構成一組，布局在東西南北中五個位置上，每組花點所表示的數，其差均是5.這種和諧統一，四方對稱的特征，黃帝越研究越感到奇妙無比，后來他就依此畫八卦，建甲歷，定時辰，治理國家。由于此幅圖是在孟津河中發現的，故稱此圖為河圖。 （二）神龜背洛書公元前23世紀，大禹治水的時候，在黃河支流洛水中，有一天突然浮規出一個大烏龜，當時，大禹與治水士兵正在河邊現察洛河水情，商議治理黃河大計，遇到烏龜在河里上下翻騰就十分奇怪，只見此龜行走水面，游來游去，其身形龐大，甲背平圓。近處仔細觀看，發現甲上載有9種花點的圖案，大禹令士兵們將圖案中的花

27、點布局記了下來，帶回去作了深入的研究，他驚奇地發現，9種花點數正好是1-9這9個數，各數的位置排列也相當奇巧，縱橫六線及兩條對角線上三數之和都為15，既均衡對稱，又深奧有趣，在奇偶數的交替變化之中似有一種旋轉運動之妙。大禹受到啟發，他參照九數而劃分天下雨九別，并且把一般政事也區分為九奧。據史記夏本紀寫道：夏禹治水時，“左準通、右規矩，載四時，以開九州，通九道，陂九澤”大禹治水以九宮為據，應用到測量、氣象、地理與交通運輸之中，從而治理黃河，大獲成功，受到黃河兩岸人們的擁戴。由于神龜所背圖是在黃河支流洛水中發現，且圖中內容如書一樣深奧，故人們稱此為洛書。應用：如何分班？為師各班成績均勻，我們給先學

28、生排序，然后按照一定的規律將學生分組。如分3個班，將學生排序后，按照圖1的行（或列）從上到下一次編號132321213為一組，向下重復。所有編號為1的一個班，編號為2的一個班，編號為3的一個班。如分4個班則按圖2處理；5個班按圖3處理；6個班按圖4處理。1323212131432321423414123 圖1 圖2 1345224513523413512441235316524625341541236163452452163234615 圖3 圖4 作業：按照示例4圖，請與同學合作，編制一張分7個班的分班表。第四節 大衍求一術第五節 讓梨游戲第六節 幻方與魔陣第七節 數學中的簡單邏輯推理問題一

29、、“被墨水蓋住”的算式如果要想具備福爾摩斯那樣神奇的破譯密碼的本領，不但應具有非凡的推理能力，還要懂得大量的其他知識。然而，只要你有心，也可以破譯一些簡單的密碼。 現在我們來看一個例子：據傳說，英國物理學家牛頓（16421727）小的時候，學習成績幾乎在學校是倒數第一。后來他下決心改變這一令人沮喪的狀況。有一次，他把自己的作業做得干凈整齊，沒有任何錯誤，但正當他把筆和本子收起來時，糟糕的事情發生了：墨水灑了，正好在他的一道算術題上留下了一塊墨跡。下圖顯示了這個令人不快的結果。2 8 ？+？4？式中只剩下了3個數字較為清晰。小牛頓盡了一切努力，最后終于記起來整道題湊巧用了0、1、2、3、4、5、

30、6、7、8、9全部10個數字，一樣一個。如果這是一種從0到9這10個數字編制的密碼，你能破譯出被墨水蓋住的都是哪些數字嗎？由于被墨水蓋住的是10個數字，所以原式應為：我們可以把這個算式寫成：28a+cb4gfed其中每個英文字母分別表示數字0、1、3、5、6、7、9中的某一個。我們先考慮千位上的g。兩個三位數相加，和是四位數，由于兩個百位上的數相加，和最多向千位進1，所以，g只能是1，這時，算式就成了：28a+cb41fed 再看百位上的c和f。如果要保證向千位進1，c不能小于7，即c只可能是7或9中的一個。設c=9，那么如果十位不進位到百位，f=1；如果十位進位到百位，f=2。這都

31、和已知的數字重復。所以c9。所以c=7，f=0。即28a+7b410ed這時，b可能是3、5、6、7中的某一個。如果b=3，那么應有e=1或2，但這不可能；如果b=5，那么e=3，但6+49，9+46；如果b=6，那么e=5，這時令a=9，則有d=3。整理出來就是：a=9，b=6，c=7，d=3，e=5，f=0，g=1。于是，小牛頓的算式應為：289+7641053二、問路問題有這樣一個故事：在太平洋中有ab兩個相鄰的小島。a島居民都是誠實的人，b島的居民都是騙子。當你問一個問題時，a島的居民會告訴你正確的答案，而b島的居民給你的答案都是錯誤的。一天，一個旅游者獨自登上了兩島中的某個島。他分辨

32、不清這個島是a島還是b島，只知道這個島上的人既有本島的居民又有另一島的來客。他想問島上的人“這是a島還是b島？”卻又無法判斷被問者的答案是否正確。旅游者動腦筋想了會一兒，終于想出一個辦法，他只需要問他所遇到的任意一人一句話，就能從對方的回答中準確無誤地斷定這里是哪個島。你能猜出旅游者所問的問題嗎？如果旅游者直接問“這是a島還是b島？”那么當被問者是a島人時，他會得到正確的回答；當被問者是b島人時，他會得到錯誤的回答。兩種回答截然相反，而旅游者又無法知道他得到的答案對不對，因此這樣問話達不到問路的目的。聰明的旅游者的問話是，“你是這個島的居民嗎？”如果對方回答“是”，那么這個島一定是a島；如果對

33、方回答“不是”，那么這個島一定是b島。你能說出這是為什么嗎？下面我們就對上面的問題進行分析：我們知道，旅游者提出問題時并不知道提問地是何島，也不知道被問者是何島居民。他要從所聽到的第一句回答來判斷問話地是何島。因此，所提問題的答案必須是因提問地而異，而不由被問者是a島居民或是b島居民發生變化。根據上述特點，我們設法找到這樣的問題：1、使得在a島提問時，被問者（不論是何島居民）都回答同樣的一種答案；2、在b島提問時，被問者都回答另一種答案。于是，我們就可以根據任一人的回答來判斷提問地為何島了。顯然，這樣的問題必須與提問地相關，并且還要與被問者有關，如果在a島提出這樣的問題時，a島居民應作肯定回答

34、（b島居民也會作肯定回答，但這種回答與客觀實際相反），那么在b島提出同一問題時，a島居民應作否定回答（b島居民也會做否定回答，但回答與實際情況相反）。“你是這個島的居民嗎？”這一問題就是一個滿足以上要求的問題，我們通過下表表示在不同的提問地的不同的被問者對問題的相應回答。問題：你是這個島的居民嗎？問話地被問者a島居民b島居民a島回答是是b島不是不是由上表可以一目了然地發現：在a島提問時，回答總為“是”；在b島提問時，回答總為“不是”。這就為旅游者判斷提問地是哪個島提供了依據，于是“問路問題”得以解決。請想一想，如果旅游者的問題為“你是相鄰的另一島上的居民嗎？”，那么能根據任一人的回答來判斷提問

35、地是何島嗎？為什么？試通過列表的方式說明理由。數學中有個分支叫做數理邏輯，它通過數學方法來研究邏輯規律。在數理邏輯中，列表法是一種基本的研究方法，只是其中表的形式與本文中的表有許多不同，使用了一些有關命題、真值的抽象符號，但其基本思想與我們用表討論問題的思想是大體一致的，都是通過列表來分析和說明問題。數學是以邏輯推理為重要研究方法的學科。所謂邏輯推理，就是合乎事理的、有根有據的推導判斷。上面的兩個問題正是運用到邏輯推理的問題，同學們應在數學學習中注意提高自己的邏輯推理能力，使自己勤于思考并且善于思考，成為聰明人。第八節 欺騙眼睛的幾何問題生活中我們常常相信親眼所見，但又常常為自己的眼睛所騙，魔

36、術就是一個很好的例子。數學中也有這種欺騙我們眼睛的奇妙的數學魔術，我們先看一個問題：問題1：在下面的兩個圖形中，如果將圖1中的四塊幾何圖形裁剪開來重新拼接成圖2，我們會發現，與圖1相比，圖2多出了一個洞！這怎么可能呢？我們自然會提出這樣的疑問。奧妙何在我們姑且按下不表，讓同學們先動動腦子！上面的題目有些復雜，下面我們來看一個簡單一些的問題。問題2：將圖3中面積為13×13=169的正方形裁剪成圖中標出的四塊幾何圖形，然后重新拼接成圖4，計算可知長方形的面積為8×21168，比正方形少了一個單位的面積，非常不可思議，這是為什么呢？這兩個問題是這樣的令人驚奇和難以理解，值得我們

37、花費一些時間動手按照所說的剪裁方法做一做。我們先來分析一下問題2：我們在白紙上將正方形量好畫出，剪成四塊，重新安排后拼成長方形，除非圖形做得很大并且作圖和剪裁都十分精確，我們一般是不會發現拼接成的長方形在對角線附近發生了微小的重疊，正是沿對角線的微小重疊導致了一個單位面積的丟失。要證實這一點我們只要計算一下長方形對角線的斜率和正方形拼接各片相應邊的斜率，比較一下就會清楚了。問題2中涉及到四個數據5、8、13和21，有一定數學基礎的同學會認出這是著名的斐波那契數列中的四項，斐波那契數列的特征是它的每一項都是前兩項之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，。我們還可以使用這個數列中的其他相鄰

38、四項來試驗這個過程，無論選取哪四項，都可以發現正方形和長方形的面積是不會相等的，有時正方形的面積比長方形多一個單位面積，有時則正好相反。多做幾次上述實驗，我們就會得出斐波那契數列的一個重要性質：這個數列任意一項的平方等于它前后相鄰兩項之積加1或減1。用公式表示就是：。其中表示正方形的面積，表示長方形的面積。知道了這個事實，我們就可以自己構造類似于問題2的幾何趣題。上面的這個斐波那契數列是以1，1兩數開始的，廣義的斐波那契數列可以從任意兩數開始。比如說，用廣義斐波那契數列2，2，4，6，10，16，做上述試驗，就會多得或丟失四個單位的面積。如果用a、b、c表示廣義斐波那契數列的相鄰三項，以x表示

39、“得”或“失”的數字，則下列兩式成立： 。我們還可以來研究這樣一個有趣的問題：把正方形按上述方法剪成四塊，是否會拼接成一個與它面積相等的長方形？要回答這個問題，可以令方程組中的x等于零，再解之得唯一正解是：。其中恰是著名的黃金分割比，通常用 來表示，它是一個無理數，等于1.618033。這就是說，唯一的每項平方等于前后相鄰兩項之積的斐波那契數列是：1，。要證明它的確是斐波那契數列，只要證明它等價于數列1，+1，2+1，3+2，就可以了。只有用這個數列相鄰項數表示的長度來分割正方形，才可以拼出面積不變的長方形。我們再回到問題1，題中涉及到的數據1，1，2，3，5，8，13恰是斐波那契數列的前七項

40、，因此問題1實際上是問題2的一個復雜化版本，計算一下圖中兩個大小三角形斜邊的斜率，那么一開始的疑問已不講自明。                  最后再給喜歡思考的同學提出一個與前兩個問題略有不同的問題 3，圖5這個正方形按圖中標出的數據分割成了五塊幾何圖形，剪開后重新拼接成圖6，奇怪，又多出了一個洞！這次斜線處并無疊合，少掉的一個單位面積哪里去了呢？這個問題最初是由美國魔術師保羅卡瑞提出的，雖然它曾經難倒了許多美國人，但相信

41、它難不倒聰明的中國學生。為幫助大家思考，提示一下：不要忘了計算！最后送給大家一句華羅庚教授的話：“數缺形時少直觀，形少數時難入微”。第九節 抽屜原理的簡單應用 “任意367個人中，必有生日相同的人。”“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套。”“從數1，2，10中任取6個數，其中至少有2個數為奇偶性不同。”大家都會認為上面所述結論是正確的。這些結論是依據什么原理得出的呢？這個原理叫做抽屜原理。抽屜原理又稱鴿籠原理或狄利克雷原理，它是數學中證明存在性的一種特殊方法。它的內容可以用形象的語言表述為：“把m個東西任意分放進n個空抽屜里（m>n），那么一定有一個抽屜中放進了至少2個

42、東西。”舉個最簡單的例子，把3個蘋果按任意的方式放入兩個抽屜中，那么一定有一個抽屜里放有兩個或兩個以上的蘋果。這是因為如果每一個抽屜里最多放有一個蘋果，那么兩個抽屜里最多只放有兩個蘋果。運用同樣的推理可以得到：原理1 把多于n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有2個或2個以上的物體。原理2 把多于mn個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有m+1個或多于m+l個的物體。下面我們用抽屜原理來分析前面的例子：第一個結論中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。這相當于把367個東西放入366個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里。在第二個結論中，不妨想象將5雙手

43、套分別編號，即號碼為1，2，5的手套各有兩只，同號的兩只是一雙。任取6只手套，它們的編號至多有5種，因此其中至少有兩只的號碼相同。這相當于把6個東西放入5個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里。例：利用上述原理證明：“任意7個整數中，至少有3個數的兩兩之差是3的倍數。”分析：因為任一整數除以3時余數只有0、1、2三種可能，所以7個整數中至少有3個數除以3所得余數相同，即它們兩兩之差是3的倍數。如果問題所討論的對象有無限多個，抽屜原理還有另一種表述：“把無限多個東西任意分放進n個空抽屜（n是自然數），那么一定有一個抽屜中放進了無限多個東西。”抽屜原理的內容簡明樸素，易于接受，它在數學問題中有重要的作

44、用。許多有關存在性的證明都可用它來解決。一、抽屜原理和六人集會問題1958年6/7月號的美國數學月刊上有這樣一道題目：“證明在任意6個人的集會上，或者有3個人以前彼此相識，或者有三個人以前彼此不相識。”這個問題可以用如下方法簡單明了地證出：在平面上用6個點a、b、c、d、e、f分別代表參加集會的任意6個人。如果兩人以前彼此認識，那么就在代表他們的兩點間連成一條紅線；否則連一條藍線。考慮a點與其余各點間的5條連線ab，ac，.，af，它們的顏色不超過2種。根據抽屜原理可知其中至少有3條連線同色，不妨設ab，ac，ad同為紅色。如果bc，bd，cd3條連線中有一條（不妨設為bc）也為紅色，那么三角

45、形abc即一個紅色三角形，a、b、c代表的3個人以前彼此相識：如果bc、bd、cd3條連線全為藍色，那么三角形bcd即一個藍色三角形，b、c、d代表的3個人以前彼此不相識。不論哪種情形發生，都符合問題的結論。圖1六人集會問題是組合數學中著名的拉姆塞定理的一個最簡單的特例，這個簡單問題的證明思想可用來得出另外一些深入的結論。這些結論構成了組合數學中的重要內容-拉姆塞理論。從六人集會問題的證明中，我們又一次看到了抽屜原理的應用。二、抽屜原理與“電腦算命”“電腦算命”看起來挺玄乎，只要你報出自己出生的年、月、日和性別，一按按鍵，屏幕上就會出現所謂性格、命運的句子，據說這就是你的“命”。其實這充其量不

46、過是一種電腦游戲而已。我們用數學上的抽屜原理很容易說明它的荒謬。如果以70年計算，按出生的年、月、日、性別的不同組合數應為70×365×251100，我們把它作為“抽屜”數。我國現有人口11億，我們把它作為“物體”數。由于1.1×=21526×51100+21400，根據原理2，存在21526個以上的人，盡管他們的出身、經歷、天資、機遇各不相同，但他們卻具有完全相同的“命”，這真是荒謬絕倫！在我國古代，早就有人懂得用抽屜原理來揭露生辰八字之謬。如清代陳其元在庸閑齋筆記中就寫道：“余最不信星命推步之說，以為一時（注：指一個時辰，合兩小時）生一人，一日生十二

47、人，以歲計之則有四千三百二十人，以一甲子（注：指六十年）計之，止有二十五萬九千二百人而已，今只以一大郡計，其戶口之數已不下數十萬人（如咸豐十年杭州府一城八十萬人），則舉天下之大，自王公大人以至小民，何啻億萬萬人，則生時同者必不少矣。其間王公大人始生之時，必有庶民同時而生者，又何貴賤貧富之不同也？”在這里，一年按360日計算，一日又分為十二個時辰，得到的抽屜數為60×360×12259200。所謂“電腦算命”，不過是把人為編好的算命語句象中藥柜那樣事先分別一一存放在各自的柜子里，誰要算命，即根據出生的年月、日、性別的不同的組合按不同的編碼機械地到電腦的各個“柜子”里取出所謂命

48、運的句子。這種在古代迷信的亡靈上罩上現代科學光環的勾當，是對科學的褻瀆。第十節 帕斯卡（楊輝）三角形與道路問題蘇珊很為難，她步行去學校，路上老是遇到斯廷基。斯廷基：“嘿嘿，蘇珊，我可以陪你一起走嗎？”蘇珊：“不！請走開。”蘇珊心想：我有辦法了，每天早上我走不同的路線去學校，這樣斯廷基就不知道在哪兒找到我了。下面這張地圖表示蘇珊的住所和學校之間的所有街道，蘇珊去學校時，走路的方向總是朝南或朝東，她總共有多少條路線呢?蘇珊：“我真想知道有多少條路線可走，讓我想一想，要算出多少條路線看來并不簡單。嗯，啊哈！一點不難，簡單得很！”蘇珊想到了什么好主意呢？她的推理如下：蘇珊：“在我家這個角點上寫一個1，

49、因為我只能從這一點出發，然后在與此相隔一個街區的兩個角點上各寫一個1，因為到那里只有一條途徑。現在，我在這個角點上寫上2，因為到達那里可以有兩條途徑。蘇珊發現2是1加1之和，她忽然領悟：若到某一個僅有一條途徑，則該角點上的數字為前一個角點上的數字；若有兩條途徑，則為前兩個角點上的數字之和。蘇珊：“瞧，又有四個角點標上了數字，我馬上把其他角點也標上數字。”請你替蘇珊把剩下的角點標上數字，并且告訴她步行到學校共有多少條不同的路線。蘇珊的家h1112131 1？ ？ ？ 3  ？學校g剩下的5個點，自上而下，從左至右分別標以1，4，10，5，15。最后一點上的

50、15表示蘇珊去學校共有十五條最短路徑。蘇珊所發現的是一種快速而簡單的算法，用來計算從她家到學校的最短路徑共有多少條。要是她把這些路徑一條一條地畫出來，然后再計數，這樣肯定麻煩，還容易出錯。如果街道的數目很多，那么這種方法根本就行不通。你不妨把這十五條路線都畫出來，這樣你就更能體會到蘇珊的算法是多么地有效了。你對這種算法是否已經理解，可以再畫一些不同的街道網絡，然后用這種算法來確定從任意點a到另一任意點b的最短路線共有多少條。網絡可以是矩形網格，三角形網格，平行四邊形網格和蜂窩狀的正六邊形網格。也可以用其他方法(例如組合公式)求解，但這種方法十分復雜，需要很高的技巧。在國際象棋棋盤上，“車”從棋

51、盤的一角到對角線上另一角的最短路徑共有多少條？就像蘇珊給街道交點標上數字一樣，把棋盤上所有格子也都填上數字，于是問題就迎刃而解了。“車”只能沿著右上方向朝另一個角的目標移動，便可以求出共有多少條最短路徑。如圖所示：183612033079217163432172884210462924171616215612625246279215153570126210330141020355684120136101521283612345678車1111111把整個棋盤正確標號，根據所標的數字，一眼就能看出在棋盤上從一個角出發到任意一角，有多少條最短路線.右上角的數字是3432，所以“車”從一角到對角線的另一角的最短路徑共有3432條。讓我們把棋盤沿著左上至右下的對角線一