1、行列式的計算方法摘要：行列式是一種常用的數學工具，是線性代數理論中極其重要的組成部分，是高等數學的一個基本的概念。行列式產生于解線性方程組中，并且也是最早應用于解線性方程組中，在數學及其他學科中都有廣泛的應用。行列式也為解決實際問題帶來了許多方便。本文針對行列式的計算方法這一問題進行了深入研究，在利用行列式的定義及基本性質計算行列式的基礎上提出了一些更加簡便的方法，如三角形法、利用范德蒙行列式、利用數學歸納法、利用遞推公式、降階法、升階法、拆開法、利用方陣特征值與行列式的關系、析因法，并結合相應的例題進行更深入的分析。關鍵詞：行列式；三角形法；范德蒙行列式；數學歸納法；遞推公式；降階法；升階法

2、；拆開法；析因法The calculation method of determinantAbstract: Determinant is a kind of common mathematical tool, is linear algebra theory extremely important part of higher mathematics is one of the basic concepts. Determinant produced in solution system of linear equations, and is also the earliest applie

3、d to solution system of linear equations, in mathematics and other subjects have a wide range of application. Determinant for solving actual problems bring a lot of convenience. In this paper the calculation method of determinant this problem is studied, the use of determinant definition and basic p

4、roperties of determinant calculation are put forward on the basis of some more simple methods, such as triangle method, using vandermonde determinant, using mathematical induction, using recursion formula, reduced order method, ascending order method, apart method, using square matrix eigenvalues an

5、d the relationship between the determinant, factorial method， and combined with the corresponding examples further analysis.Key words: Determinant; Triangular method; Vandermonde determinant; Mathematical induction, Recursion formula; The order reduction method; Rise of order; Apart method; Factoria

6、l method1 引言行列式是線性代數中重要的一部分，有著極其重要的地位。行列式問題在諸多數學問題中都有所涉及，而行列式的計算往往是解決問題的關鍵。它的應用范圍極其廣泛，可作為很多學科解決問題的重要工具。國際上一些知名的數學家如:拉普拉斯(laplace),范得蒙(vandermonde)等都對行列式有著深入的研究,并為行列式的計算奠定了理論基礎。行列式的解題方法靈活多樣，技巧性強，本文就行列式的計算方法進行歸納總結以及舉例分析說明。2研究問題及成果 2.1利用行列式的定義直接計算2.1.1二階行列式的定義例1：D=2468=2×8-4×6=-82.1.2三階行列式的定義

7、例2：014121110=0×2×0+1×1×4+1×1×1-1×2×4-1×1×0-1×1×0=-32.1.3階行列式的定義也就是說階行列式等于所有取自不同行不同列的幾個元素的乘積的代數和。這里是1,2的一個排列，當是偶排列時，式取正號，當是奇排列時式取負號。定義法是計算行列式的根本方法，對任何行列式都適用，即階行列式等于所有取自不同行不同列的個元素乘積的代數和。對于一個級行列式,按定義展開后共有！項,計算它就需要做！（-1）個乘法,當較大時,！是一個相當大的數字,直接從定

8、義來計算行列式幾乎是不可能的,因此,定義法一般適用于階數較低的行列式。例3：計算行列式解：這是一個四階行列式,展開式應有4！=24項,但由于出現很多零元素,所以不為零的項只有這一項,而,故。2.2利用行列式的性質計算性質1.行列互換，行列式的值不變，即DT=D性質2.交換行列式中兩行對應元素的位置，行列式變號。推論：若一個行列式中有兩行的對應元素相同，則這個行列式的值為零。性質3.把行列式中某一行的所有元素同乘以數k，等于用數k乘以這個行列式。推論1.行列式某一行有公因子時，可以把這個公因子提到行列式的符號外面。推論2.如果行列式某兩行的對應元素成比例，則這個行列式為零。性質4.如果行列式第i

9、行的各元素都是兩元素的和，則這個行列式等于兩個行列式之和，這兩個行列式分別以這兩個元素作為第i行對應位置的元素，其他位置的元素與原行列式相同（i=1,2，n）。性質5.行列式某一行的各元素加上另一行對應元素的k倍，行列式的值不變。性質6.n階行列式D=aijn等于它的任一行的各元素與它們對應的代數余子式的乘積之和，即：D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin，i=1,2，n.推論：若行列式某一行元素都等于1，則行列式等于其所有代數余子式之和。2.3化三角形法 化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或對角形行列式計算的一種方法。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形行列式或對角形

10、行列式的性質將行列式化為三角形行列式計算。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。 原則上，每個行列式都可利用行列式的性質化為三角形行列式。但對于階數高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。上三角行列式D=a11a120a22a1na2n00a44=a11a22ann下三角行列式D=a110a21a2200an1an2a44=a11a22ann例1: 計算n階行列式解：這個行列式的特點是每行（列）元素的和均相等，根據行列式的性質，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不變，得例2:計算行列式解:這是一個階數不

11、高的數值行列式，通常將它化為上（下）三角行列式來計算例3： 計算分析：若直接化為三角形行列式，計算很繁瑣，所以我們要充分利用行列式的性質。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n-1個數是差1的，根據行列式的性質，先從第n-1列開始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。解：2.4利用范德蒙行列式，n2.例：計算行列式解 : 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類推直到把新的第n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式2.5利用數學歸納法一般是利用不完全歸納法尋找

12、出行列式的猜想值，再用數學歸納法給出猜想的證明。因此，數學歸納法一般是用來證明行列式等式。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。例： 計算n階行列式解：用數學歸納法. 當n = 2時 假設n = k時，有 則當n = k+1時，把Dk+1按第一列展開，得由此，對任意的正整數n，有2.6利用遞推公式對n階行列式Dn找出Dn與Dn1或Dn與Dn1, Dn2之間的一種關系即遞推公式（其中Dn, Dn1, Dn2等結構相同），再由遞推公式求出Dn的方法。用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結構如果沒有的話，很難找出遞推關系式，從而不能使用此方法例:計算n階行列

13、式Dn=2112112112112解：這是三對角行列式，其遞推公式是： Dn=2Dn-1Dn-2適當移項可得關于Dn的遞推關系式Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2=Dn-2-Dn-3=D2-D1因D2=4-1=3，D1=2，故D2-D1=1，D3-D2=1，Dn-Dn-1=1，歸納可得Dn=Dn-1+1=（Dn-2+1）+1=D1+（n-1）=n+1.2.7 降階法降階法又稱按行（列）展開法，是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運算更加簡便，往往是先利用列式的性質化簡，使行列式中有較多的零出現，然后再展開。按行（列）展開法可以將一

14、個 n 階行列式化為 n 個 n-1 階行列式計算。若繼續使用按行（列）展開法，可以將 n 階行列式降階直至化為許多個 2 階行列式計算，這是計算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計算量，僅當行列式中某一行（列）含有較多零元素時，它才能發揮真正的作用。因此，應用按行（列）展開法時，應利用行列式的性質將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開拉普拉斯定理：設在n階行列式D中取定某k行，則D等于這k階子式Ni(i=1,2,，t)與它們各自對應的代數余子式Ai的乘積之和，即D=N1A1+N2A2+NtAt=i=1tNiAi,其中t=cnk例1: 計算 20 階行列

15、式分析：這個行列式中沒有一個零元素，若直接應用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個 2 階行列式計算,需進行 20！*201 次加減法和乘法運算，這人根本是無法完成的，更何況是 n 階。但若利用行列式的性質將其化為有很多零元素，則很快就可算出結果。 注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應元素僅差 1，因此，可按下述方法計算例2： 計算n階行列式解：將Dn按第1行展開.2.8升階法有時為了計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進行計算，這種計算行列式的方法稱為加邊法或升階法。當然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計算。要根據需要和原行列式的特點選取所加的行和列。加法適用于某

16、一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為n-1 個元素的倍數的情況。加邊法的一般做法是：例: 計算n階行列式 解： （箭形行列式） 2.9拆開法由行列式拆項性質知，將已知行列式拆成若干個行列式之和，計算其值，再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法。由行列式的性質知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個數之和，則該行列式可拆成兩個行列式的和，這兩個行列式的某行（列）分別以這兩數之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對應行（列）相同，利用行列式的這一性質，有時較容易求得行列式的值。例： 計算行列式 解：2.10利用方陣特征值與行列式的關系例：計算顯然 的n 個特征值為b,b,bAn的n 個特征值為i=1nai0,0，0故Mn的特征值為b+i=1naib,b,b(n-1個b) 由矩陣特征值與對應行列式的關系知Dn=Mn=bn-1(i=1nai+b)2.11析因法如果行列式是某個變數的多項式，可對行列式施行某些變換，求出的互不相同的一次因式，設這些一次因式的乘積為，則，再比較與的某一項的系數，求出值.例：計算解：令3 結束語以上總共給出了計算行列式的十種方法，其中包括利用行列式的