1、會計學1材料力學劉鴻文廣義胡克定律材料力學劉鴻文廣義胡克定律PP EE11221122=+1221E11112E221EE22)(121111E)(112222E一、平面應力狀態的廣義胡克定律一、平面應力狀態的廣義胡克定律)(1)(1112211EExxyyxy 正應變只跟正應力有關，與剪正應變只跟正應力有關，與剪應力無關；剪應變只跟剪應力有關，應力無關；剪應變只跟剪應力有關，與正應力無關；與正應力無關；xxyyyxxGEE1)(1)(1二、三向應力狀態的廣義胡克定律二、三向應力狀態的廣義胡克定律xyzxyxzxyzyxyzzxzy)(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEEGxyxyGy

2、zyzGzxzx三、主應力狀態的廣義胡克定律三、主應力狀態的廣義胡克定律123)(1)(1)(1213313223211EEExyxyG2()1yyzxE 2()1xxyzE 2()1zzxyE 四、應力四、應力-應變關系應變關系yzyzGxzxzG例例1 已知一受力構件自由表面上某點處的兩主應變值為已知一受力構件自由表面上某點處的兩主應變值為 1=24010-6， 3=16010-6。材料的彈性模量。材料的彈性模量E =210GPa，泊松比泊松比 =0.3。求該點處的主應力值數，并求另一應變。求該點處的主應力值數，并求另一應變 2的的數值和方向。數值和方向。解：因主應力和主應變相對應，則由題

3、意可得：解：因主應力和主應變相對應，則由題意可得：02即為平面應力狀態，有即為平面應力狀態，有3111E1331E聯立兩式可解得：聯立兩式可解得：MPa3 .44101603 . 02403 . 011021016293121EMPa3 .20102403 . 01603 . 011021016291323E669312103 .34103 .203 .44102103 . 0E主應變主應變 2為：為：其方向必與其方向必與 1和和 3垂直，沿構件表面的法線方向。垂直，沿構件表面的法線方向。例例2邊長為邊長為a 的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量

4、為模量為E 、泊桑比為、泊桑比為 ，頂面受鉛直壓力，頂面受鉛直壓力P 作用，求鋼塊的作用，求鋼塊的應力應力 x 、 y 、 z 和應變和應變 x 、 y 、 z 。Pxyz x y z解：解： 由已知可直接求得：由已知可直接求得：,2aPANy, 0z, 0 xPxyz x y z,2aPyx)0(10yxE)0(1xyyE)(01yxzE,)1 (1222EaPEyyy2)1 ()(EaPEyyz例例3薄壁筒內壓容器薄壁筒內壓容器(t/D1/20)，筒的筒的平均直徑為平均直徑為D ，壁厚為壁厚為t ，材料的材料的E、 已知。已測得筒壁已知。已測得筒壁上上 k 點沿點沿45方向的線應方向的線應

5、變變 45，求筒內壓強，求筒內壓強p。45 kptD x x y y解：解：筒壁一點的軸向應力：筒壁一點的軸向應力：244xDppDDtt筒壁一點的環向應力：筒壁一點的環向應力：22ypDlpDtlt45 kptD x x y y,4tpDxtpDy2 45 -4545-45tpDyx8324545tpDEE831)(1454545DEtp)1 ( 3845例例4受扭圓軸如圖所示，受扭圓軸如圖所示，已知已知m 、 d 、 E、 ，求，求圓軸外表圓軸外表面面沿沿ab 方向的應變方向的應變 ab 。ABm m dab45 316dmWTn解：解：xyx, 0ABm m dab45 ,163dmWT

6、nxyx, 0 45 -4590sin45x)90sin(45x34545)1 (161)(1)(1EdmEEEab 例例5 壁厚壁厚 t =10mm , 外徑外徑 D=60mm 的薄壁圓筒的薄壁圓筒, 在表面上在表面上 k 點點處與其軸線成處與其軸線成 45和和135 角即角即 x, y 兩方向分別貼上應變片兩方向分別貼上應變片,然后在然后在圓筒兩端作用矩為圓筒兩端作用矩為 m 的扭轉力偶的扭轉力偶,如圖如圖 所示已知圓筒材料的彈性模所示已知圓筒材料的彈性模量為量為 E = 200GPa 和和 = 0.3 ,若該圓筒的變形在彈性范圍內若該圓筒的變形在彈性范圍內,且且 max =80MPa ,

7、 試求試求k點處的線應變點處的線應變 x , y 以及變形后的筒壁厚度。以及變形后的筒壁厚度。Dtymk450900 x450900Dtxymkmaxmaxxyk0MPa80MPa802max3max1zxy可求得可求得: :解解: 從圓筒表面從圓筒表面 k 點處取出單元體點處取出單元體, 如圖如圖 所示所示 1 3k點處的線應變點處的線應變 x , y 為為)(1)(1maxmaxEEyxx)(102.54拉應變 xy)(102 . 5E)(14max壓應變圓筒表面上圓筒表面上k點處沿徑向點處沿徑向 (z軸軸) 的應變為的應變為0)()(maxmax EEyxz同理可得同理可得, ,圓筒中任

8、一點圓筒中任一點 ( (該點到圓筒橫截面中心的距離為該點到圓筒橫截面中心的距離為 ) ) 處處的徑向應變為的徑向應變為0)( Ez因此因此, 該圓筒變形后的厚度并無變化該圓筒變形后的厚度并無變化, 仍然為仍然為 t =10mm .79 復雜應力狀態下的體積應變、比能復雜應力狀態下的體積應變、比能一、體積應變一、體積應變dxdydzdx+dxdy+dydz+dzdxdydzV 0)()(1dzdzdydydxdxV)1)(1)(1 (dzdzdydydxdxdxdydz)1)(1)(1 (321 dxdydzdxdydzV 0)1)(1)(1 (3211 dxdydzV略去高階微量，得略去高階微

9、量，得)1 (32101VV單元體的單元體的321001VVVV)(1)(1)(1213313223211EEE代入式代入式得：得：)(21321EV 純剪應力狀態：純剪應力狀態：321, 0, 可見剪應力并不引起體積應變，對于非主應力單元體，可見剪應力并不引起體積應變，對于非主應力單元體，其體積應變可改寫為其體積應變可改寫為0V)(21zyxVE 體積應變只與三個主應力（正應力）之和有關，而與其體積應變只與三個主應力（正應力）之和有關，而與其比例無關。比例無關。令令)(31321m)21 ( 3EKKmV m稱為稱為，K 稱為稱為。二、比能二、比能 單位體積的變形能稱為單位體積的變形能稱為，

10、簡稱，簡稱。 單向拉壓比能單向拉壓比能dxdzdy dxdydzlddNdU21)(21d(l)dxdzdy 2121dxdydzdxdydzdVdUu 純剪切比能純剪切比能dxdydz )(21)(21dydzdxdxdydzdU21dxdydzdUdVdUu 復雜應力狀態的比能復雜應力狀態的比能)(21332211u)(221133221232221E 體積改變比能與形狀改變比能體積改變比能與形狀改變比能 1 2 3 m m 1- m m 2- m 3- m=+u=uV+uf 狀態狀態1受平均正應力受平均正應力 m作用，因各向均勻受力，故只有作用，因各向均勻受力，故只有體積改變，而無形狀改

11、變，相應的比能稱為體積改變，而無形狀改變，相應的比能稱為。 狀態狀態2的的體積應變：體積應變：0)()()(21)(3212mmmVE 狀態狀態2無無體積改變，只有形狀改變，相應的比能稱為體積改變，只有形狀改變，相應的比能稱為。 1 2 3 m m 1- m m 2- m 3- m=+u=uV+uf2321222)(6213221)323(21EEEummmV2321133221232221)(621)(221EEuuuVf)()()(61213232221Euf例例1邊長為邊長為a 的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為模量為E 、泊桑比為、泊

12、桑比為 ，頂面受鉛直壓力，頂面受鉛直壓力P 作用，求鋼塊的體作用，求鋼塊的體積積應變應變 V 和形狀改變比能和形狀改變比能uf 。Pxyz x y z解：解： 由已知可直接求得：由已知可直接求得：,2aPANy, 0z, 0 x x y z,2aPyx)0(10yxE23221, 0aPaP222321)1)(21 ()0(21)(21EaPaPaPEEV42222222223)1)(1 ()()()(61EaPaPaPaPaPEuf例例2證明彈性模量證明彈性模量E 、泊桑比、泊桑比 、剪切、剪切彈性模量彈性模量G 之間的關之間的關系為系為 。)1 (2EG 3 1證明：證明： 純剪應力狀態比

13、能為純剪應力狀態比能為212121Gu321, 0,用主應力計算比能用主應力計算比能222213322123222121)00(2)(021)(221EEEu21uu 22121EG)1 (2EG構件由于強度不足將引發兩種失效形式構件由于強度不足將引發兩種失效形式 (1) (1) 脆性斷裂脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發生斷裂，斷面較粗：材料無明顯的塑性變形即發生斷裂，斷面較粗糙，且多發生在垂直于最大正應力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，糙，且多發生在垂直于最大正應力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。低溫脆斷等。關于關于屈服的強度理論：屈服的強度理論：最大切應力理論和最大畸變能密度理論最大切應

14、力理論和最大畸變能密度理論 (2) (2) 塑性屈服塑性屈服：材料破壞前發生顯著的塑性變形，破壞斷面粒：材料破壞前發生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發生在最大剪應力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄子較光滑，且多發生在最大剪應力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。鐵壓。關于關于斷裂的強度理論：斷裂的強度理論：最大拉應力理論和最大伸長線應變理論最大拉應力理論和最大伸長線應變理論7-10 7-10 強度理論概述強度理論概述1. 1. 最大拉應力理論最大拉應力理論（第一強度理論）（第一強度理論） 最大拉應力是引起材料斷裂的主要因素。即認為無論材料最大拉應力是引起材料斷裂的主要因素。即認為無論材料處于什

15、么應力狀態處于什么應力狀態, ,只要最大拉應力達到簡單拉伸時破壞的極只要最大拉應力達到簡單拉伸時破壞的極限值，就會發生脆性斷裂。限值，就會發生脆性斷裂。01 構件危險點的最大拉應力構件危險點的最大拉應力1 極限拉應力，由單拉實驗測得極限拉應力，由單拉實驗測得b 00 7-11 7-11 四種常見強度理論及強度條件四種常見強度理論及強度條件b1 斷裂條件斷裂條件 nb1強度條件強度條件鑄鐵拉伸鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉鑄鐵扭轉局限性：局限性：1 1、未考慮另外二個主應力影響，、未考慮另外二個主應力影響，2 2、對沒有拉應力的應力狀態無法應用，、對沒有拉應力的應力狀態無法應用，3 3、對塑性材料的破壞無法解

16、釋，、對塑性材料的破壞無法解釋，4 4、無法解釋三向均壓時，既不屈服、也不破壞的現象。、無法解釋三向均壓時，既不屈服、也不破壞的現象。實驗表明：實驗表明：此理論對于大部分脆性材料受拉應力作用，結果此理論對于大部分脆性材料受拉應力作用，結果與實驗相符合，如鑄鐵受拉、扭。與實驗相符合，如鑄鐵受拉、扭。2. 2. 最大伸長線應變理論（第二強度理論）最大伸長線應變理論（第二強度理論） 最大伸長線應變是引起斷裂的主要因素。即認為無論材最大伸長線應變是引起斷裂的主要因素。即認為無論材料處于什么應力狀態料處于什么應力狀態, ,只要最大伸長線應變達到簡單拉伸時破只要最大伸長線應變達到簡單拉伸時破壞的極限值，就

17、會發生脆性斷裂。壞的極限值，就會發生脆性斷裂。01 構件危險點的最大伸長線應變構件危險點的最大伸長線應變1 極限伸長線應變，由單向拉伸實驗測得極限伸長線應變，由單向拉伸實驗測得0 E/)(3211 Eb/0 實驗表明：此理論對于一拉一壓的二向應力狀態的脆實驗表明：此理論對于一拉一壓的二向應力狀態的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論更接近實際情況。更接近實際情況。強度條件強度條件)(321nb斷裂條件斷裂條件EEb)(1321b)(321即即 最大切應力是引起材料屈服的主要因素。即認為無論材最大切應力是引起材料屈服的主要因素。即認為無論

18、材料處于什么應力狀態料處于什么應力狀態, ,只要最大切應力達到了簡單拉伸屈服時只要最大切應力達到了簡單拉伸屈服時的極限值，材料就會發生屈服。的極限值，材料就會發生屈服。0max3. 3. 最大切應力理論最大切應力理論（第三強度理論）（第三強度理論） 構件危險點的最大切應力構件危險點的最大切應力max 極限切應力，由單向拉伸實驗測得極限切應力，由單向拉伸實驗測得0 2/0s 2/ )(31maxs31 屈服條件屈服條件 ss31n強度條件強度條件低碳鋼拉伸低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉低碳鋼扭轉 ANrmax313 tWTmaxmax 313r 2max軸向拉、壓（單向應力狀態）軸向拉、壓（單向應力狀態）

19、max圓軸扭轉（純剪切應力狀態）圓軸扭轉（純剪切應力狀態） 45)45(第三強度理論在工程中實際問題中的應用第三強度理論在工程中實際問題中的應用實驗表明：實驗表明：此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發生塑性變形滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發生塑性變形或斷裂的事實。或斷裂的事實。局限性：局限性： 2 2、不能解釋三向均拉下可能發生斷裂的現象。、不能解釋三向均拉下可能發生斷裂的現象。 1 1、未考慮、未考慮 的影響，試驗證實最大影響達的影響，試驗證實最大影響達15%15%。2 最大畸變能密度是引起材料屈服

20、的主要因素。即認為無論最大畸變能密度是引起材料屈服的主要因素。即認為無論材料處于什么應力狀態材料處于什么應力狀態, ,只要最大畸變能密度達到簡單拉伸屈服只要最大畸變能密度達到簡單拉伸屈服時的極限值時的極限值, ,材料就會發生屈服。材料就會發生屈服。0ddvv 4. 4. 最大畸變最大畸變能密度理論能密度理論（第四強度理論）（第四強度理論）213232221d)()()(61Ev 構件危險點的形狀改變比能構件危險點的形狀改變比能d20261sdEv 形狀改變比能的極限值，由單拉實驗測得形狀改變比能的極限值，由單拉實驗測得0d屈服條件屈服條件22132322212)()()(s 強度條件強度條件

21、ss213232221)()()(21n實驗表明：實驗表明：對塑性材料，此理論比第三強度理論更符合試驗結對塑性材料，此理論比第三強度理論更符合試驗結果，在工程中得到了廣泛應用。果，在工程中得到了廣泛應用。,11r,2123()r 222,41223311()()()2r強度理論的統一表達式：強度理論的統一表達式： r相當應力相當應力,313r10903010909090MPar803MPar1003MPar903最危險MPa7 .351 . 07000163 nWTMPa37. 6101 . 050432 APmaxmin22()22MPa7 .35)237. 6(237. 6393222 M

22、Pa , ,MPa32039321 1解：解：危險點危險點A的應力狀態如圖的應力狀態如圖例例2 直徑為直徑為d=0.1m的的鑄鐵鑄鐵圓桿受力圓桿受力 T=7kNm, P=50kN =40MPa, 用第一強度理論校核用第一強度理論校核強度強度安全安全PPTTAA A A例例3 薄壁圓筒受最大內壓時薄壁圓筒受最大內壓時, 測得測得 x=1.88 10-4 y=7.37 10-4, 用第三強度理論用第三強度理論校核校核其其強度強度 ( E = 210GPa, = 170MPa, = 0.3 )(12yxxEMPa4 .9410)37. 73 . 088. 1 (3 . 011 . 272)(12xyyEMPa1 .18310)88. 13 . 037. 7(3 . 011 . 272 解：由廣義虎