1、高中數(shù)學(xué)三角形中的邊角關(guān)系正余弦定理的應(yīng)用一、知識要點1、 三角形內(nèi)角和定理：A+B+C= ， = -(+)三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin=cos(+)， cos=sin(+)， tan=cot(+) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B)3、 三角形面積公式 absinC=bcsinA=casinB=其

2、中p=（a+b+c）如中，若，判斷的形狀（答：直角三角形）。4、 正弦定理=2RsinA sinB sinC a= b c sinA=，sinB=，sinC= a=2RsinA， b=2RsinB， c=2RsinC 適用類型：AASS，SSA A (2,1,0解) 務(wù)必注意有兩解！4、三角形射影定理：a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA, c=acosB+bcosA,5、余弦定理 適用類型：SSSA，SASS，AASS(2,1,0解) 務(wù)必注意有兩解！注：常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.5、 判定三角形是銳角直角鈍角三角形 設(shè)c為三角形的最大邊 <+ ABC是銳角三

3、角形=+ ABC是直角三角形>+ ABC是鈍角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tantan+tantan+tantan=1、若三角形三內(nèi)角成等差數(shù)列，則B= 三邊成等差數(shù)列，則0<d<a (a為最小邊) 三邊成等差數(shù)列，則B， 若ABC三邊成等差數(shù)列C=，則abc=345 若ABC， C=三邊成等比數(shù)列，則最小內(nèi)角A= 7、 若sinA=sinB A=B，若cosA=cosBA=B，若tanA=tanB A=B 8、 若sin2A=sin2B，則A=B或A+B= cos2A=cos2B

4、，則A=B9、ABC中A>B sinA>sinB ，A>BcosA<cosB 10、（1）在銳角ABC中，任意一個角的正弦大于另一個角的余弦；即 sinA >cosB， 但sinA > cosA 不一定成立，sinA +sinB +sinC > cosA +cosB+cosC（2）反之，若任意一個角的正弦大于另一個角的余弦，則ABC是銳角三角形；（3）若某一個角的正弦大于另一個角的余弦，不一定是銳角三角形；（4）若某一個角的余弦大于另一個角的正弦，cosA>sinB，則ABC是鈍角三角形。11、在銳角三角形中，任意一個角的正切大于另一個角的余切，

5、tanA>cotB， tanA·tanB>1，tanA+tanB+tanC>cotA+cotB+cotC12、 特別提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意這個特殊性：；（2）求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化。如（1）中，A、B的對邊分別是，且，那么滿足條件的 A、 有一個解 B、有兩個解 C、無解 D、不能確定（答：C）；（2）在中，AB是成立的_條件（答：充要）；（3）在中， ，則_（答：）；(4)在中，分別是角A、B、C所對的邊，若，則_（答：）；（5）在中，若其面積，則=_（答：）；（6）在中，這個三角形的面積為

6、，則外接圓的直徑是_（答：）；（7）在ABC中，a、b、c是角A、B、C的對邊，= ，的最大值為（答：）；（8）在ABC中AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是（答：）；（9）設(shè)O是銳角三角形ABC的外心，若，且的面積滿足關(guān)系式，求（答：）二、典型題型分類解析題型1：正、余弦定理例1.（2009岳陽一中第四次月考）.已知中，則（ ） A B C D 或答案 C例2（1）在中，已知，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。解析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，（2）根據(jù)正弦定理，因為，所以，或當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，點評：應(yīng)用

7、正弦定理時（1）應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形；（2）對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器例3（1）在ABC中，已知，求b及A；（2）在ABC中，已知，解三角形解析：（1）=cos=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即（2）由余弦定理的推論得：cos；cos；點評：應(yīng)用余弦定理時解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。例4（2009全國卷理）在中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為、，已知，且 求b 分析：:此題事實上比較簡單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對已知條件(1)左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件(2) 過

8、多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分.解法一：在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故 由，解得.評析:從08年高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考查.在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力.另外提醒：兩綱中明確不再考的知識和方法了解就行，不必強化訓(xùn)練例5.在ABC中,已知a =,b=,B=45°,求A、C及c.分析：這是一個已知兩邊及一邊的對角解三角形的問題，可用正弦定理求解，但先要判定ABC是否有解，

9、有幾解，亦可用余弦定理求解.解： B=45°<90°,且b<a,ABC有兩解:由正弦定得:sinA=,A=60°或120°.當(dāng)A=60°時,C=75°C=.高考資源網(wǎng)當(dāng)A=120°時,C=15°C=.故A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.小結(jié)：因sinA=sin(-A),故在解三角形中要考慮多種情況，靈活使用正、余弦定理,關(guān)鍵是將“條件”對號.練習(xí)1. 在ABC中，BC=a,CA=b,AB=c,則 成立的充要條件是( ) A. a+b=2

10、c B. b+c=2b C. c+a=2b D. ca=b2解：1-cos A+1-cos B+1-cos C=1+cos Bcos A+2cos B+2cos C=2 因為 b¹a-c可得：2b=a+c題型2：三角形面積例6在中，求的值和的面積。解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由計算它的對偶關(guān)系式的值。 , +得。 得。從而。以下解法略去。點評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數(shù)學(xué)考查運算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。兩種解法比較起來，你認為哪一種解法比較簡單呢？例7（2009浙江理）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿

11、足， （I）求的面積； （II）若，求的值解 （1）因為，又由得， （2）對于，又，或，由余弦定理得， 題型三-求取值范圍，求最值例8（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于 ，的取值范圍為 . 答案  2 解析 設(shè)由正弦定理得由銳角得，又，故，例9在斜三角形ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且 (1) 求角A;(2) 若 ,求角C的取值范圍.解：(1) 因為而ABC為斜三角形,所以cos B0,所以sin 2A=1.因為A(0,),所以2A=,A=.(2) 由(1)知B+C=, 所以即tan C>1.因為0<C<,所以<C<.例10.在A

12、BC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且cosA=.(1)求的值;(2)若,求bc的最大值. 高考資源網(wǎng)分析：(1) 條件是明確的，但一時用不上，怎么辦？，讓目標(biāo)式向條件式轉(zhuǎn)化，也就是將轉(zhuǎn)化成cosA的代數(shù)式然后求值；高考資源網(wǎng)(2)由條件及()的結(jié)論，立即想到可用余弦定理破題.解：（1）ABC中，sin=cos.sin2+cos2A=cos2+cos2A=+2cos2A1=2cos2A+cosA=2×.高考資源網(wǎng)(2)由余弦定理：=cosA=.,當(dāng)且僅當(dāng)b=c,即ABC為等腰三角形時，(bc)max=.小結(jié)：本題亦可用正弦定理解出。但解法不及用余弦定理簡單：cosA=由正弦

13、定理：,高考資源網(wǎng)=cos(B+C)cos(BC)=cosA+cos(BC)(+1)=.當(dāng)且僅當(dāng)B=C,即ABC為等腰三角形時，(bc)max=.高題型4：三角形中求值問題例11的三個內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；當(dāng)sin = ，即A=時, cosA+2cos取得最大值為。點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。例12（2009浙江文）（本題滿分14分）在中，角所對的邊

14、分別為，且滿足， （I）求的面積； （II）若，求的值解（） 又，而，所以，所以的面積為：（）由（）知，而，所以所以點評：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計算能力例13.（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。 解（I）為銳角， （II）由（I）知， 由得，即又 題型5：三角形中的三角恒等變換問題例14在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求A，需找A與三邊

15、的關(guān)系，故可用余弦定理。由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值。解法一：a、b、c成等比數(shù)列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在ABC中，由余弦定理得：cosA=，A=60°。在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60°，=sin60°=。解法二：在ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB。b2=ac，A=60°，bcsinA=b2sinB。=sinA=。評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。例15在ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求的值。解析：因為

16、A、B、C成等差數(shù)列，又ABC180°，所以AC120°，從而60°，故tan.由兩角和的正切公式，得。所以。點評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結(jié)合三角變換公式的逆用。題型6：正、余弦定理判斷三角形形狀例16在ABC中，若2cosBsinAsinC，則ABC的形狀一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB點評：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思

17、路和變形方向，通暢解題途徑例17在， 分別是角A，B，C所對的邊，且，向量和滿足。（1）求的值；（2）求證：為等邊三角形。分析按平面向量數(shù)量積的定義,把向量關(guān)系式轉(zhuǎn)化成三角形中的邊角關(guān)系,繼而用三角函數(shù)知識求解.解答(1) 由m·n=,得cos(A-C)+cos B=,又B=-(A+C),得cos(A-C)-cos(A+C)= ,即cos Acos C+sin Asin C-(cos Acos C-sin Asin C)= ,所以sin Asin C=.(2) 由b2=ac及正弦定理得sin2 B=sin Asin C,故sin2 B=.于是cos2 B=1-=,所以cos B=或-

18、. 因為cos B=-cos(A-C)>0,所以cos B=,故B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即b2=a2+c2-ac,又b2=ac,所以ac=a2+c2-ac,得a=c.因為B=,所以ABC為等邊三角形.北2010ABC題型7：正余弦定理的實際應(yīng)用例18（2009遼寧卷理）如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為，于水面C處測得B點和D點的仰角均為，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離（計算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.4

19、49） 解:在ABC中，DAC=30°, ADC=60°DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=180°60°60°=60°，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA，        在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距離約為0.33km。 。點評：解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強數(shù)形結(jié)合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān)。例1

20、9（2009寧夏海南卷理）（本小題滿分12分）為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟解：方案一：需要測量的數(shù)據(jù)有：A 點到M，N點的俯角；B點到M，N的俯角；A，B的距離 d （如圖所示） . 第一步：計算AM . 由正弦定理；第二步：計算AN . 由正弦定理；第三步：計算MN. 由余弦定理 .方案二：需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M，N點的俯角，；B點到M，N點的府角，；A，

21、B的距離 d （如圖所示）. 第一步：計算BM . 由正弦定理；第二步：計算BN . 由正弦定理； 第三步：計算MN . 由余弦定理例20.（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。 解（I）為銳角， （II）由（I）知， 由得，即又 點評：三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個典型的范例。通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號語言，再通過局部的換元，又將問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)，這些解題思維的拐點，你能否很快的想到呢？考資三【思維總結(jié)】1解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b

22、；（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；（4）已知三邊a、b、c，應(yīng)余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C。2三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，；3三角學(xué)中的射影定理：在ABC 中，4兩內(nèi)角與其正弦值：在ABC 中，5解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”。四、課堂檢測：1在中，若=1,C=, =則

23、A的值為（ ） 2（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于 ，的取值范圍為 . 答案 ：2 解：設(shè)由正弦定理得高考資源網(wǎng)由銳角得，高考資源網(wǎng)又，故，高考資源網(wǎng)3. 在ABC中，則的最大值是_ 4在ABC中，若則B的取值范圍是_。5.在ABC中，如果不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（ ）6.在ABC中，A為最小角，C為最大角， cos(2AC)，sin B，則cos 2(BC)_。解析：A為最小角，2ACAAC<ABC180°.cos(2AC)，sin(2AC).C為最大角，B為銳角又sin B，故cos B.即sin(AC)，cos(AC).cos(BC)cos Acos(2AC)(AC)，cos 2(BC)2cos2(BC)1.答案：7.已知ABC的周長為6，成等比數(shù)列，求（1）ABC的面積S的最大值；（2）的取值范圍高考資源網(wǎng)7. 解：設(shè)依次為a，b，c，則a+b+c=6，b²=ac 在ABC中得,故有又從而高考資源網(wǎng)（），即（）高考資源網(wǎng)高考資源網(wǎng) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 五、課后基礎(chǔ)練習(xí) -