1、中考專題 48 中考專題數學數形結合思想數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系，即數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，而第二種情形是“以形助數”。 “以數解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等。1. 數形結合思想的含義數形結合思想是指從幾何直觀的角度, 利

2、用幾何圖形的性質研究數量關系, 尋求代數問題的解決方法( 以形助數 ), 或利用數量關系來研究幾何圖形的性質, 解決幾何問題 ( 以數助形 ) 的一種數學思想. 數形結合思想使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，使問題得以解決。2. 數形結合思想應用常見的四種類型(1) 實數與數軸。實數與數軸上的點具有一一對應關系, 借助數軸觀察數的特點, 直觀明了。(2) 在解方程 ( 組) 或不等式 ( 組) 中的應用。利用函數圖象解決方程問題時, 常把方程根的問題看作兩個函數圖象的交點問題來解決; 利用數軸或函數圖象解有關不等式( 組) 的問題直觀 ,形象 , 易于找出不等式( 組)解的公共部分或判斷不等

3、式組有無公共解。(3) 在函數中的應用。借助于圖象研究函數的性質是一種常用的方法, 函數圖象的幾何特征與數量特征緊密結合 , 體現了數形結合的特征與方法。(4) 在幾何中的應用。對于幾何問題, 我們常通過圖形, 找出邊、角的數量關系,通過邊、角的數量關系, 得出圖形的性質等。3. 數形結合思想解題方法“數”和“形”是數學中兩個最基本的概念, 每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數量關系；反之, 數量關系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述. 數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來, 使抽象思維和形象思維結合起來,在解決代數問題時, 想到它的圖形 ,

4、從而啟發思維 , 找到解題之路；或者在研究圖形時,利用代數的知識, 解決幾何的問題. 實現了抽象概念與具體圖形的聯系和轉化, 化難為易 , 化抽象為直觀. 【經典例題1】(2020 年?遵義 ) 構建幾何圖形解決代數問題是“數形結合”思想的重要性，在計算tan15 時，如圖在 rtacb中，c90，abc30，延長cb使bdab， 連接ad， 得d15， 所以 tan15 =?=12+3=2-3(2+3)(2-3)= 2- 3類比這種方法，計算tan22.5 的值為 ( ) a 2 + 1 b 2 - 1 c 2d12【標準答案】b 【分析】在rtacb中，c90，abc 45，延長cb使bd

5、ab，連接ad，得d22.5 ，設acbc1，則abbd= 2，根據 tan22.5 =?計算即可【答案剖析】在rtacb中，c90，abc 45，延長cb使bdab，連接ad，得d22.5 ，設acbc1，則abbd= 2，tan22.5 =?=11+2= 2 - 1 【知識點練習】(2019 ?湖北省仙桃市) 不等式組的解集在數軸上表示正確的是( ) a bcd【標準答案】c 【解答】解：解不等式x1 0 得 x1，解不等式52x1 得 x2，則不等式組的解集為1x2 【經典例題2】 (2020 年?濟寧 ) 數形結合是解決數學問題常用的思想方法如圖， 直線yx+5 和直線yax+b相交于

6、點p，根據圖象可知，方程x+5ax+b的解是 ( ) ax20 bx5 cx25 dx15 【標準答案】a 【分析】兩直線的交點坐標為兩直線答案剖析式所組成的方程組的解【答案剖析】直線yx+5 和直線yax+b相交于點p(20 ，25) 直線yx+5 和直線yax+b相交于點p為x20【知識點練習】(2020 年株洲模擬 ) 直線 y=k1x+b1(k10)與 y=k2x+b2(k20) 相交于點 ( 2，0) ，且兩直線與y 軸圍城的三角形面積為4，那么 b1b2等于【標準答案】4 【答案剖析】本題考查了一次函數與坐標軸的交點以及數形結合思想的應用解決此類問題關鍵是仔細觀察圖形，注意幾個關鍵

7、點( 交點、原點等 ) ，做到數形結合如圖，直線y=k1x+b1(k10) 與 y 軸交于 b點，則 ob=b1，直線 y=k2x+b2(k20)與 y 軸交于 c，則 oc= b2， abc的面積為4，oa ?ob+=4，+=4，解得： b1b2=4【經典例題3】(2020 年通化模擬 ) 在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動，將邊長為2 的正方形abcd與邊長為2的正方形aefg 按圖 1 位置放置， ad與 ae在同一直線上，ab與 ag在同一直線上(1) 小明發現dg be ，請你幫他說明理由(2) 如圖 2，小明將正方形abcd 繞點 a逆時針旋轉，當點b恰好落在線段dg上時，

8、請你幫他求出此時be的長(3) 如圖 3，小明將正方形abcd 繞點 a繼續逆時針旋轉，線段dg與線段 be將相交，交點為h，寫出 ghe與 bhd面積之和的最大值，并簡要說明理由【標準答案】見答案剖析。【答案剖析】(1) 四邊形abcd 和四邊形aefg都為正方形，ad=ab ， dag= bae=90 ， ag=ae ，在 adg和 abe中， adg abe(sas) ， agd= aeb ，如圖 1 所示，延長eb交 dg于點 h，在 adg中， agd+ adg=90 ， aeb+ adg=90 ，在 edh中， aeb+ adg+ dhe=180 ， dhe=90 ，則 dg be

9、 ；(2) 四邊形abcd和四邊形 aefg都為正方形，ad=ab ， dab= gae=90 ， ag=ae ， dab+ bag= gae+ bag ，即 dag= bae ，在 adg和 abe中， adg abe(sas) ，dg=be ，如圖 2，過點 a作 am dg交 dg于點 m ， amd= amg=90 ，bd為正方形abcd 的對角線， mda=45 ，在 rtamd 中， mda=45 ，cos45=，ad=2，dm=am=，在 rtamg 中，根據勾股定理得：gm=，dg=dm+gm= +，be=dg=+；(3) ghe 和 bhd面積之和的最大值為6，理由為：對于

10、egh ，點 h在以 eg為直徑的圓上，當點 h與點 a重合時， egh 的高最大；對于 bdh ，點 h在以 bd為直徑的圓上，當點 h與點 a重合時， bdh的高最大，則 ghe和 bhd面積之和的最大值為2+4=6【知識點練習】(2020 年山東日照模擬) 問題背景：我們學習等邊三角形時得到直角三角形的一個性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半即：如圖1，在rtabc中， acb=90 ， abc=30 ，則： ac= ab探究結論：小明同學對以上結論作了進一步研究(1) 如圖 1，連接 ab邊上中線 ce，由于 ce= ab ，易得結論：ace為等

11、邊三角形；be與 ce之間的數量關系為(2) 如圖 2，點 d是邊 cb上任意一點，連接ad ，作等邊 ade ，且點 e在 acb的內部，連接be 試探究線段 be與 de之間的數量關系，寫出你的猜想并加以證明(3) 當點 d為邊 cb延長線上任意一點時，在(2) 條件的基礎上，線段be與 de之間存在怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論拓展應用：如圖3，在平面直角坐標系xoy 中，點 a的坐標為 ( ，1) ，點 b是 x 軸正半軸上的一動點，以 ab為邊作等邊 abc ，當 c點在第一象限內，且b(2，0) 時，求 c點的坐標【標準答案】見答案剖析。【解答】探究結論(1) 如圖 1 中，

12、acb=90 ， b=30， a=60，ac= ab=ae=eb ， ace是等邊三角形，ec=ae=eb ，故標準答案為ec=eb (2) 如圖 2中，結論： ed=eb 理由：連接pe acp ， ade都是等邊三角形，ac=ad=de，ad=ae ， cap= dae=60 ， cad= pae ， cad pae ， acd= ape=90 ，epab ， pa=pb ，ea=eb ， de=ae ，ed=eb (3) 當點 d為邊 cb延長線上任意一點時，同法可證：ed=eb ，故標準答案為ed=eb 拓展應用：如圖3 中，作 ah x 軸于 h，cfob于 f，連接 oa a(，

13、1) ， aoh=30 ，由(2) 可知， co=cb ，cfob ，of=fb=1 ，可以假設c(1，n)，oc=bc=ab，1+n2=1+(+2)2，n=2+，c(1，2+) 一、選擇題1(2020 年?溫州 ) 如圖，在離鐵塔150 米的a處，用測傾儀測得塔頂的仰角為，測傾儀高ad為 1.5 米，則鐵塔的高bc為( ) a(1.5+150tan )米b(1.5 +150?) 米c(1.5+150sin )米d(1.5 +150?) 米【標準答案】a 【分析】 過點a作aebc，e為垂足， 再由銳角三角函數的定義求出be的長，由bcce+be即可得出結論【答案剖析】過點a作aebc，e為垂

14、足，如圖所示：則四邊形adce為矩形，ae150，cead1.5 ，在abe中， tan =?=?150，be150tan ，bcce+be(1.5+150tan )(m) 2(2020 年恩施州模擬) 如圖， 在平行四邊形abcd中，efab交 ad于 e，交 bd于 f，de ：ea=3：4，ef=3 ，則 cd的長為 ( ) a. 4 b. 7 c. 3 d. 12 【標準答案】b 【答案剖析】此題考查了平行線分線段成比例定理與平行四邊形的性質此題難度不大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用de：ea=3 ：4，de：da=3 ：7 efab ，ef=3，解得： ab=7 ，四邊形abc

15、d是平行四邊形，cd=ab=7 故選 b3(2020 年濟南模擬 ) 如圖，拋物線y=2x2+8x6 與 x 軸交于點a、b，把拋物線在x 軸及其上方的部分記作 c1，將 c1向右平移得c2， c2與 x 軸交于點b， d 若直線y=x+m與 c1、c2共有 3 個不同的交點，則m的取值范圍是 ( ) a2m b 3m c 3m 2 d 3m 【標準答案】d 【答案剖析】本題主要考查拋物線與x 軸交點以及二次函數圖象與幾何變換的知識，解答本題的關鍵是正確地畫出圖形，利用數形結合進行解題，此題有一定的難度令 y=2x2+8x6=0，即 x24x+3=0，解得 x=1 或 3，則點 a(1，0)

16、，b(3，0) ，由于將 c1向右平移2 個長度單位得c2，則 c2答案剖析式為y=2(x 4)2+2(3 x5) ，當 y=x+m1與 c2相切時，令 y=x+m1=y=2(x 4)2+2，即 2x215x+30+m1= 0，=8m115=0，解得 m1=，當 y=x+m2過點 b時，即 0=3+m2，m2=3，當 3m 時直線 y=x+m與 c1、 c2共有 3 個不同的交點。二、填空題4(2020 年烏魯木齊模擬) 如圖，拋物線y=ax2+bx+c 的對稱軸是x=1且過點 (，0) ，有下列結論：abc0； a2b+4c=0； 25a10b+4c=0； 3b+2c0； a bm(am b

17、)；其中所有正確的結論是( 填寫正確結論的序號) 【標準答案】【答案剖析】本題考查的是二次函數圖象與系數的關系，掌握二次函數的性質、靈活運用數形結合思想是解題的關鍵，解答時，要熟練運用拋物線的對稱性和拋物線上的點的坐標滿足拋物線的答案剖析式由拋物線的開口向下可得：a0，根據拋物線的對稱軸在y 軸左邊可得： a， b 同號，所以b0，根據拋物線與y 軸的交點在正半軸可得：c0，abc0，故正確；直線 x=1 是拋物線y=ax2+bx+c(a 0)的對稱軸，所以=1，可得 b=2a，a2b+4c=a4a+2=3a+4c，a0， 3a0， 3a+4c 0，即 a 2b+4c 0，故錯誤；拋物線y=a

18、x2+bx+c 的對稱軸是x=1且過點 (，0) ，拋物線與x 軸的另一個交點坐標為(，0)，當 x=時， y=0，即，整理得： 25a10b+4c=0，故正確；b=2a，a+b+c0，即 3b+2c0，故錯誤；x=1 時，函數值最大，ab+cm2amb+c(m 1)，abm(am b) ，所以正確。故標準答案為：5(2020 年?泰安 ) 如圖，某校教學樓后面緊鄰著一個山坡，坡上面是一塊平地bcad，bead，斜坡ab長 26m，斜坡ab的坡比為12：5為了減緩坡面，防止山體滑坡，學校決定對該斜坡進行改造經地質人員勘測，當坡角不超過50時，可確保山體不滑坡如果改造時保持坡腳a不動，則坡頂b沿

19、bc至少向右移m時，才能確保山體不滑坡( 取 tan50 1.2) 【標準答案】10【分析】在bc上取點f，使fae50，作fhad，根據坡度的概念求出be、ae，根據正切的定義求出ah，結合圖形計算，得到標準答案【答案剖析】在bc上取點f，使fae50，過點f作fhad于h，bfeh，bead，fhad，四邊形behf為矩形，bfeh，befh，斜坡ab的坡比為12：5，?=125，設be12x，則ae5x，由勾股定理得，ae2+be2ab2，即 (5x)2+(12x)2262，解得，x2，ae10，be24，fhbe24，在 rtfah中， tan fah=?，ah=?50 = 20，bf

20、ehahae10，坡頂b沿bc至少向右移10m時，才能確保山體不滑坡. 6(2020 年濟南模擬 ) 如圖，在菱形abcd 中， ab=6 ， dab=60 ， ae分別交 bc 、 bd于點 e、f，ce=2 ，連接 cf，以下結論：abf cbf ；點 e到 ab的距離是2； tan dcf=； abf的面積為其中一定成立的是 (把所有正確結論的序號都填在橫線上) 【標準答案】【答案剖析】此題考查了四邊形綜合題，關鍵是根據菱形的性質、等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質分析此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用菱形 abcd ，ab=bc=6 ， dab=6

21、0 ，ab=ad=db ， abd= dbc=60 ，在 abf與 cbf中， abf cbf(sas) ，正確；過點 e作 eg ab ，過點 f作 mh cd ，mh ab ，如圖：ce=2，bc=6 ， abc=120 ，be=62=4，eg ab ，eg= 2，點 e到 ab的距離是2，故正確；be=4，ec=2 ，sbfe：s fec=4：2=2：1，sabf：s fbe=3：2， abf的面積為 = ，故錯誤；，=，fm=，dm=，cm=dc dm=6 ，tan dcf=，故正確。三、解答題7.(2019 ?湖南湘西州 ) 解不等式組：并把解集在數軸上表示出來【標準答案】見答案剖析

22、。【解答】解不等式x 21 得x3，解不等式4x+5x+2，得：x 1，則不等式組的解集為1x3，將解集表示在數軸上如下：8. 我們知道： 根據二次函數的圖象，可以直接確定二次函數的最大( 小) 值；根據“兩點之間，線段最短”，并運用軸對稱的性質，可以在一條直線上找到一點，使得此點到這條直線同側兩定點之間的距離之和最短這種“數形結合”的思想方法，非常有利于解決一些實際問題中的最大( 小) 值問題請你嘗試解決一下問題：(1) 在圖 1中，拋物線所對應的二次函數的最大值是 _. (2) 在圖 2中，相距 3km的 a、b兩鎮位于河岸 ( 近似看做直線cd)的同側，且到河岸的距離ac=1千米， bd

23、=2千米，現要在岸邊建一座水塔，直接給兩鎮送水，為使所用水管的長度最短，請你：作圖確定水塔的位置；求出所需水管的長度( 結果用準確值表示). (3) 已知 x+y=6，求的最小值？此問題可以通過數形結合的方法加以解決，具體步驟如下：如圖 3 中，作線段ab=6 ，分別過點a、b，作 ca ab ，db ab ，使得 ca= _db= _. 在 ab上取一點p，可設 ap= _，bp= _. 的最小值即為線段_和線段 _長度之和的最小值，最小值為 _ 【標準答案】見答案剖析。【答案剖析】(1) 拋物線所對應的二次函數的最大值是4；(2) 如圖所示，點p即為所求( 作法：延長ac到點 e，使 ce

24、=ac ，連接 be ，交直線cd于點 p，則點 p即為所求 . 說明：不必寫作法和證明，但要保留作圖痕跡；不連接pa不扣分； ( 延長 bd ，同樣的方法也可以得到p點的位置 ) 過點 a作 afbd ，垂足為 f，過點 e作 eg bd ，交 bd的延長線于點g ，則四邊形acdf 、cegd 都是矩形fd=ac=ce=dg=1，eg=cd=afab=3，bd=2 ，bf=bd-fd=1 ，bg=bd+dg=3，在 rtabf中， af2=ab2-bf2=8，af=2eg=2. 在 rtbeg中， be2=eg2+bg2=17，be=(cm). pa+pb的最小值為cm. 即所用水管的最短

25、長度為cm. (3) 圖 3 所示， 作線段 ab=6，分別過點a、b，作 ca ab，db ab ，使得 ca=3 ，bd=5 ，在 ab上取一點p，可設 ap=x ，bp=y，的最小值即為線段 pc 和線段 pd 長度之和的最小值，作 c點關于線段ab的對稱點c，連接cd，過 c點作 cedb ，交 bd延長線于點e，ac=be=3 ， db=5 ，ab=c e=6，de=8，. 最小值為10故標準答案為：4； x，y； pc ，pd ， 109.(2019 ?山東省濱州市 ) 如圖，拋物線yx2+x+4 與y軸交于點a，與x軸交于點b，c，將直線ab繞點a逆時針旋轉90，所得直線與x軸交

26、于點d(1) 求直線ad的函數答案剖析式；(2) 如圖，若點p是直線ad上方拋物線上的一個動點當點p到直線ad的距離最大時，求點p的坐標和最大距離；當點p到直線ad的距離為時，求 sin pad的值【標準答案】(1)yx+4；(2) 點p的坐標是 (6 ，) ，最大距離是；， sin pad的值是或【解答】解：(1) 當x0 時，y4，則點a的坐標為 (0 ，4) ，當y 0 時， 0 x2+x+4，解得，x1 4，x28，則點b的坐標為 ( 4，0) ，點c的坐標為 (8 ，0) ，oaob4，obaoab 45，將直線ab繞點a逆時針旋轉90得到直線ad，bad90，oad45，oda45

27、，oaod，點d的坐標為 (4 ，0) ，設直線ad的函數答案剖析式為ykx+b，得，即直線ad的函數答案剖析式為yx+4；(2) 作pnx軸交直線ad于點n，如右圖所示，設點p的坐標為 (t，t2+t+4) ，則點n的坐標為 (t，t+4) ，pn( t2+t+4)( t+4)t2+t，pnx軸，pny軸，oadpnh 45，作phad于點h，則phn90，ph( t2+t) t(t 6)2+，當t6時，ph取得最大值，此時點p的坐標為 (6 ，) ，即當點p到直線ad的距離最大時，點p的坐標是 (6 ，) ，最大距離是；當點p到直線ad的距離為時，如右圖所示，則t，解得，t12，t2 10，則p1的坐標為 (2 ，) ，p2的坐標為 (10 ，) ，當p1的坐標為 (2 ，) ，則p1a，sin p1ad；當p2的坐標為 (10 ，) ，則p2a，sin p2ad；由上可得， sin pad的值是或10 (2019 湖南湘西州 ) 如圖，一次函數ykx+b的圖象與反比例函數y的圖象在第一象限交于點a(3 ，2) ，與y軸的負半軸交于點b，且ob4(1) 求函數y和ykx+b的答案剖析式；(2) 結合圖象直接寫出不等式組0kx+b的解集【標準答案】見答案剖析。【答案剖析】本題主要考查了反比例函數與一次函數交點問題，解題時注意