1、直線和圓知識點總結1、直線的傾斜角：（ 1）定義 ：在平面直角坐標系中，對于一條與x 軸相交的直線l ，如果把 x 軸繞著交點按 逆時針方向轉 到和 直線 l 重合 時所轉的 最小正角 記為，那么就叫做直線的傾斜角。當直線 l 與 x 軸重合或平行時，規定傾斜角為0；（ 2）傾斜角的范圍0, 。如（ 1）直線 x cos3y2 0 的傾斜角的范圍是_ （答：0， U5，)）；（ ）過點6622P(3,1), Q(0, m) 的直線的傾斜角的范圍, 那么 m 值的范圍是 _ （答：m2或m4 ）332、直線的斜率：（ 1）定義 ：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜

2、率 k ，即 k tan( 90°) ；傾斜角為90°的直線沒有斜率；（2）斜率公式 ：經過兩點P1( x1 , y1 ) 、 P2 (x2, y2 ) 的直線的斜率為 ky1y2x1x2；（ 3）直線的方向向量rx1x24）應用 ：證明三點共線：kABkBC 。a (1,k) ，直線的方向向量與直線的斜率有何關系？（如 (1)兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的_ 條件（答：既不充分也不必要）；（ 2）實數x, y 滿足 3x 2y 5 0 ( 1x 3 )，則 y 的最大值、最小值分別為_ （答：x2,1）33、直線的方程 ：（ 1）點斜式 ：已知直線過點(x0 , y0

3、 ) 斜率為 k ，則直線方程為y y0k (x x0 ) ,它不包括垂直于x 軸的直線。（ 2）斜截式 ：已知直線在y 軸上的截距為b 和斜率 k ，則直線方程為y kx b ,它不包括垂直于x 軸的直線。（3）兩點式 ：已知直線經過1 11、2兩點，則直線方程為yy1xx1，它不包括垂直于坐標軸的P( x , y )P (x2, y2 )y2y1x2x1直線。（ 4）截距式 ：已知直線在 x 軸和 y 軸上的截距為a,b ,則直線方程為xy1，它不包ab括垂直于坐標軸的直線和過原點的直線。（ 5）一般式 ：任何直線均可寫成AxBy C 0(A,B不同時為0) 的形式。 如（ 1）經過點（

4、2， 1）且方向向量為v =( 1,3 )的直線的點斜式方程是_ （答： y13( x 2)）；（ 2）直線 (m2) x(2 m 1) y(3m 4)0 ，不管 m 怎樣變化恒過點_（答： (1,2) ）；（ 3）若曲線 ya | x | 與 yx a(a0) 有兩個公共點，則a 的取值范圍是 _ （答： a 1 ）提醒 ： (1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）； (2) 直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1 或直線過原點；直線兩截距互為相反數直線的斜率為1 或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為

5、1或直線過原點。 如過點 A(1,4) ，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有 _ 條（答： 3）4. 設直線方程的一些常用技巧：（ 1）知直線縱截距 b ，常設其方程為 ykx b ；（ 2）知直線橫截距x0 ，常設其方程為x myx0 (它不適用于斜率為0 的直線 )；（ 3）知直線過點( x0 , y0 ) ，當斜率 k 存在時，常設其方程為y k( x x0 )y0 ，當斜率 k 不存在時，則其方程為 xx0 ；（ 4）與直線 l : AxBy C0 平行的直線可表示為Ax ByC1 0 ；（ 5）與直線 l : Ax By C0 垂直的直線可表示為Bx Ay C10 .提醒 ：求直線方程

6、的基本思想和方法是恰當選擇方程的形式，利用待定系數法求解。5、點到直線的距離及兩平行直線間的距離：（ 1）點 P( x0 , y0 ) 到直線 AxBy C0 的距離 dAx0By0 C；A2B2（ 2）兩平行線 l1 : AxByC10, l 2 : AxByC20間的距離為 dC1C2A2。B26、直線 l1 : A1xB1 yC10 與直線 l 2 : A2 xB2 yC20 的位置關系 ：（ 1）平行A1 B2A2B10 （斜率）且 B1C2B2C10（在 y 軸上截距）；（ 2）相交A1 B2A2B10 ；（ 3）重合A1 B2A2B10且 B1C2B2 C10 。提醒：（1）A1B

7、1C1、A1B1、 A1B1C1 僅是兩直線平行、相交、重合A2B2C2A2B2A2B2C2的充分不必要條件！為什么？（ 2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線l1 : A1x B1 yC10 與直線 l2: A2 xB2 yC 20 垂直A1 A2B1B20。如（ 1）設直線 l1 : xmy60 和 l2 : (m2) x3 y2m0，當 m _ 時 l1 l2 ；當 m _ 時 l1l 2 ；當 m _ 時 l1 與 l2 相交；當 m _ 時 l1 與 l2 重合（答： 1；1 ； m3且m1；

8、3）；（ 2）已知直線 l 的方程為3x4 y120 ，則與 l 平行，且過點23x4y90 ）； （ 3）兩條直線 axy 40與（ 1， 3）的直線方程是_ （答：x y20相交于第一象限，則實數a 的取值范圍是_（答：1a2）；（ 4）設 a, b, c分別是 ABC中 A 、 B 、 C 所對邊的邊長，則直線sin Agxayc0 與bx sin Bgysin C0 的位置關系是 _（答：垂直）；（ 5）已知點 P1 ( x1 , y1 ) 是直線l : f (x, y)0 上一點， P2 ( x2 , y2 ) 是直線 l 外一點，則方程f ( x, y)f ( x1 , y1)f

9、(x2 , y2 )0 所表示的直線與l 的關系是 _（答：平行）；（ 6）直線 l 過點（，），且被兩平行直線 3xy60和 3xy30 所截得的線段長為9，則直線 l的方程是 _ （答：4x 3 y40和 x1 ）7、到角和夾角公式：（ 1） l1 到 l2 的角是指直線l1 繞著交點按逆時針方向轉到和直線l2 重合所轉的角，0,且 tank2k1( k1 k21)；（ 2） l1 與 l2 的夾角是指不大于直角的=1 k1k2角 ,(0, 且 tan=k2k1 ( k1k21)。 提醒 ：解析幾何中角的問題常用到角公式1 k1k22或向量知識求解。如已知點 M 是直線 2xy40 與 x

10、 軸的交點，把直線l 繞點 M 逆時針方向旋轉 45°，得到的直線方程是_ （答： 3xy60 ）關于 x 軸、對稱 （中心對稱和軸對稱）問題代入法：如（1）已知點 M (a,b) 與點N8對稱，點 P 與點 N 關于 y 軸對稱，點Q 與點 P 關于直線 xy0 對稱，則點 Q 的坐標為_ （答： (b, a) ）； （ 2）已知直線 l1 與 l2 的夾角平分線為yx ，若 l1 的方程為ax byc0(ab0) ，那么 l2 的方程是 _ （答： bxay c0 ）；（3）點（，）關于直線l 的對稱點為 ( 2,7) ，則 l 的方程是 _ （答： y=3x3）；（4）已知一束

11、光線通過點（，） ，經直線 l:3x 4y+4=0 反射。如果反射光線通過點（，15），則反射光線所在直線的方程是_ （答： 18x y510）；（5）已知ABC頂點 A(3 ， )，邊上的中線所在直線的方程為6x+10y 59=0 ， B 的平分線所在的方程為 x 4y+10=0 ，求邊所在的直線方程（答：2x9 y650 ）； （ 6）直線 2x y 4=0上有一點，它與兩定點（4, 1）、（ 3,4 ）的距離之差最大，則的坐標是_（答：（5,6 ）；（ 7）已知 Ax 軸， Bl : yx ， C（ 2， 1）， VABC 周長的最小值為_（答：10 ）。 提醒 ：在解幾中遇到角平分線、

12、光線反射等條件常利用對稱求解。9、簡單的線性規劃：（ 1）二元一次不等式表示的平面區域：法一：先把二元一次不等式改寫成ykxb 或y kx b 的形式，前者表示直線的上方區域，后者表示直線的下方區域；法二：用特殊點判斷；無等號時用虛線表示不包含直線l ，有等號時用實線表示包含直線l；設點P( x1 , y1 ) ， Q( x2 , y2 ) ，若 Ax1By1 C 與 Ax2By2C 同號，則P， Q 在直線 l 的同側，異號則在直線l 的異側。 如已知點 A（ 2， 4）， B （ 4， 2），且直線l : ykx 2 與線段 AB恒相交，則 k 的取值范圍是 _ （答： ，3 U 1，）（

13、 2）線性規劃問題中的有關概念：滿足關于 x, y 的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。關于變量 x, y 的解析式叫目標函數，關于變量x, y 一次式的目標函數叫線性目標函數；求目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規劃問題；滿足線性約束條件的解（x, y ）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域；使目標函數取得最大值或最小值的可行解叫做最優解；（ 3）求解線性規劃問題的步驟是什么？根據實際問題的約束條件列出不等式；作出可行域，寫出目標函數；確定目標函數的最優位置，從而獲得最優解。如（ 1）線性目標函數z=2x y 在線性約束條件| x |1 下，取最小值的最優

14、解是_（答：（ 1， 1）；（ 2）點（| y |1， t ）在直線 2x 3y+6=0 的上方，則 t 的取值范圍是 _ （答： t2）；（ 3）不等式3| x1 | y1 | 2 表示的平面區域的面積是_ （答： 8）； （ 4）如果實數 x, y 滿足xy20xy40 ，則 z| x2 y4 | 的最大值 _ （答： 21）2xy50（ 4）在求解線性規劃問題時要注意 ：將目標函數改成斜截式方程；尋找最優解時注意作圖規范。10、圓的方程 ：x2y2r 2圓的標準方程：ab。圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D 2 E24F0) ，特別提醒 ：只有當D 2E24F0 時，方程 x2y2D

15、xEyF0 才表示圓心為 (D ,E ) ，半徑為122D 2E24F 的圓（二元二次方程Ax2BxyCy 2DxEyF0 表示圓的充要條2（ AC0,且 B0且D2E2件是什么？4AF 0）；圓的參數方程：xar cos（為參數），其中圓心為(a,b) ，半徑為 r 。圓的參ybr sin數方程的主要應用是三角換元：x2y2r 2xr cos, yr sin； x2y2tx r cos, yr sin(0rt ) 。 Ax1, y1, Bx2 , y2 為直徑端點的圓方程xx1xx2yy1yy20如（ 1）圓 C 與圓 ( x1)2y21關于直線 yx 對稱，則圓C 的方程為 _（答：x2(

16、 y 1)21）； （ 2）圓心在直線 2xy3上，且與兩坐標軸均相切的圓的標準方程是_ （答： ( x3) 2( y3)29 或 ( x 1)2( y1) 21 ）；（3）已知 P(1, 3)是圓xr cos（為參數， 02) 上的點，則圓的普通方程為_ ， P 點對應的yr sin值為 _ ，過 P 點的圓的切線方程是_ （答： x2y24 ；2；3x3 y4 0）； （ 4）如果直線 l 將圓： x2 +y2 -2x-4y=0 平分，且不過第四象限，那么l 的斜率的取值范圍是 _（答： 0 ， 2 ）；（ 5）方程 x2+y x+y+k=0表示一個圓，則實數k 的取值范圍為 _ （答：k

17、1）；（6）若 M( x, y) |x3cos（為參數，0) ，2y3sinN( x, y) | yxb ，若 MN，則 b 的取值范圍是_ （答：3,32）：已知點 Mx0 , y02y b2r 2r011、點與圓的位置關系及圓 C：x-a，（ 1）CMrx0a2y0b22；（2）點 M 在圓 C內點M在圓C外rCM rx022r 2 ；（ 3）點 M 在圓 C 上CM rx0a2ay0 by0b2 y2 =1 的內部 ,則 a 的取值范圍是 _（答：r 2 。 如點 P(5a+1,12a) 在圓 (x )| a |1）132212、直線與圓的位置關系：直線 l : AxByC0 和圓 C：

18、xyr2abr 0有相交、相離、相切。可從代數和幾何兩個方面來判斷：（1）代數方法（判斷直線與圓方程聯立所得方程組的解的情況）：0相交；0相離；0相切；（ 2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大小）：設圓心到直線的距離為d ，則 dr相交； dr相離； dr相切。 提醒 ：判斷直線與圓的位置關系一般用幾何方法較簡捷。如（ 1）圓 2x 22y 21與直線 x siny10(R,k， kz) 的位置關系為 _（答：相離） ；（ 2）若直線 axby30 與圓 x2y 224x10切于點 P( 1,2) ，則 ab 的值 _ （答： 2）； （ 3）直線 x2 y 0 被曲線 x2y26x

19、2 y150 所截得的弦長等于（答： 4 5 ）；（ 4）一束光線從點A( 1,1)出發經 x 軸反射到圓 C:(x-2) 2+(y-3) 2=1上的最短路程是（答： 4）； （ 5）已知 M (a, b)(ab0) 是圓 O : x2y2r 2 內一點，現有以 M 為中點的弦所在直線m 和直線 l : ax by r 2 ，則 A m / l ，且 l 與圓相交B lm ，且 l 與圓相交C m/ l ，且 l 與圓相離D lm ，且 l 與圓相離（答：C）；（ 6）已知圓 C： x2( y 1)25 ，直線 L ： mxy1m0 。求證：對 mR ，直線 L 與圓 C 總有兩個不同的交點；

20、設L 與圓 C 交于 A、B 兩點，若 AB17，求 L的傾斜角；求直線L 中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程. （答：60o 或 120o最長： y1，最短： x1）13 、圓與圓的位置關系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關系判斷）：已知兩圓的圓心分別為 O1，O2，半徑分別為 r1, r2 ，則（ 1）當 |O1O 2r1r2 時，兩圓外離； （ 2）當 |O1O 2r1 r2時，兩圓外切；（3）當 r1r2 <|O1O 2r1r2 時，兩圓相交；（4）當 |O1O2r1r2 |時，兩圓內切；（5）當0|O1O2r1 r2 | 時，兩圓內含。如雙曲線x2y21 的左焦點為1a2b2F ，頂點為 A 1、 A 2， P 是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段PF1 、 A 1 A 2 為直徑的兩圓位置關系為（答：內切）14、圓的切線與弦長 ：(1)切線： 過圓 x2y2R2 上一點 P(