1、2020-2021學年度高一年下學期正余弦定理練習題2021. 3.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符 合題目要求的.）/X1 . A4BC 中，角 A、B、C 所對的邊分別為b、c,已知向量機=2t/-Z?,-cosB , = （a, cosA）, a ）且加石共線，則zUBC的形狀是（）A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形D.等腰三角形2 . AABC中，內角A,8,C的對邊分別為。，仇c,已知/jsinC+csinB = 4rzsinBsinC, b2 +c2-a2 =8,則ABC的面積為（）A.在 B. MC.有

2、D.叵3343 .在AAbC中，內角A,8,C的對邊分別為已知a = 45°, a = 6,b = 3立,則8的大小為（ ）A. 30°B. 60°C. 30° 或 150。 D. 60° 或 120°4 .如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CO的頂端C對于山c坡的斜度為15°，向山頂前進1006到達8處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若cr）=50?，山坡對于地平面的坡度為e,則cose等于（）/科0A.正 B.與 C. 6-1D. 72-1e225 .我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作數書九章卷

3、五“田域類”里有一個題目：“問有沙田一段，有三 斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知為田幾何.”題意是有一個三角形的沙 田，其三邊長分別為13里、14里、15里，1里為300步，設6尺為1步，1尺= 0.231米，則該沙田的面積約為（ ）（結果精確到0.1,參考數據：415.82 = 172889.64）A. 15.6平方千米 B. 15. 2平方千米C. 14.8平方千米 D. 14.5平方千米6 .如圖，在AAbC中，角。的平分線CO交邊AB于點O, 4 3AC = ?5 CD = 3x/2 » 則 3C=（）A. 3叢 B. 4 C. 472D, 6

4、7 .如圖，在澳/。中，N8AC = 2,點。在線段8C上，AD±AC.3BD 1.=一，則 sin C =（）CD 4V78 . AA3c中，BC = 2M = 45 8為銳角，點。是A43C外接圓的圓心，則赤就的取值范圍是（）A. (-2,2 B. (-2立2C. -2"2D. (一27二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要 求.全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分.）A. cos B = 2D. a + c = 2>/39 .在A4BC中，內角A, 8, C的對邊分別為c ,已知三蘭= ,= 上

5、63;，且 =",則（）B cos B = C a + c = y/3 210 .銳角ABC中，三個內角分別是A, 3, C,且則下列說法正確的是（A. sin A > sin BB. cos A < cos B c. sin A > cos Z?D. sin B < cos A11 .在兇/。中，角的對邊分別為a,Ac, A = -,。= 2,若滿足條件的三角形有且只有一個，則邊 3。的可能取值為（）4c12 .在M3c中，內角A8,C的對邊分別為下列命題正確的是（A.若a:：c = 4:5:6, A43c的最大內角是最小內角的2倍若acosNcosA =

6、c,則AABC一定為直角三角形若a = 4/ = 5,c = 6,則ABC外接圓半徑為丑互7D. cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A） = L 則AABC一定是等邊三角形三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13 .在A43c中，內角A,aC的對邊分別為若asin8-JOcosA = 0,尻 = 4jl,內切圓半徑為1, 則AABC的周長為.14 .在AA8C中，。為BC邊上一點，BC = 3BD, AD =a,403 = 135°.若 AC = 8,則 80=15 .已知。,兒。分別為兒48。三個內角4及。的對邊，。=2,且（2 + ）6皿4-5皿8） =

7、 （c-）sin C ,則AA8C 面積的最大值為.16 .在平面四邊形48CQ中，ZA = ZB = ZC = 75 BC = 2,則48的取值范圍是.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要文字說明、證明過程或演算步驟.第17 小題滿分10分,其他小題滿分12分）17 .住4=5 csinA = 3,c = ® 這三個條件中任選一個，補充在下而問題中，若問題中的 三角形存在，求。的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在A3C,它的內角C的對邊分別為4,仇C，且sinA= JIsinB，C = j ? o注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18

8、 . AA5c中，sin2 A-sin2 3 sin2 C = sinBsinC-(I )求角4；(II)若3C = 3,求AANC周長的最大值.八八，4c、 tan A tan 819 .在AABC中，內角的對邊分別為己知2(tanA + tan8) = -+ - COS D COS A(I)證明：a+h = 2c ;(H)求cos C的最小值.57t420 .在A43C中，角 A, B,。所對的邊分別為c,且滿足cos2C - cos2A = 2sin(+ C)sin( C).33(I)求角A的值；(ID若4 = C,。之，求力一c的取值范圍.21 .在MBC中，內角A,8,C所對的邊分別

9、為4,4c已知2ccos3 = 2a + b(I)求角。的大小：(II)若。為A8的中點，。=1,。= 2,求八48。的面積.4 + C22. AABC的內角A8,C的對邊分別為，已知asin-=bsinA .2(I )求8;(H)若AA8C為銳角三角形，且c = l,求AA3C面積的取值范圍.2020-2021學年度高一年下學期正余弦定理練習題答案一、單選題1 .【答案】C: m9 n 共線，A (2« -Z?)cos A -a x(- -cos B) = 0,即(2a-Z?)cos A-(c-acosB)=。， a(2 sin A - sin B) cos A -(sin C-s

10、in A cos 8) = 0,(2sin A-sin 8)cos Asin(A + B) sin Acos B = 0 9 整理得 2cos A(sin A-sin B) = 0,所以cosA = 0或sinA = sin3 ,所以A =2或4 = 8或4 + 3 = 4 (舍去).2.三角形為直角三角形或等腰三角形.故選：C.2 .【答案】B根據正弦定理有 sin 5sin C+sin Csin B = 4sin A sin BsinC»:.2sinBsinC = 4sin AsinBsinC, A sin A = 1. 丁 +c2 - a2 =8,2 _ 4/ _80.1. .

11、 2行時由 r cos A = = , be =， 3 = he sin A = b2bc be 23233 .【答案】A由正弦定理得丁 =二，即墳_ =，解得sin后!，sin 8 sin A sinB sin 4502又5為三角形內角，所以后30°或皮150° ,又因為a>6,所以冷b即后30,故選：A.4 .【答案】CAR Ar在曲中，由正弦定理得二，Z.JC=100J2 -在也?。中,AC _ CD sin(6 + 90 ) sin 15sin 30 sin 135Acos 4=sin(夕+90° )= A.sin”=喬一1 .故選 C CD5 .【

12、答案】D由海倫公式S = J(p_)(_)(-C)其中二;卜1 + +c) , a,4c分別為三角形三邊長，可得：該沙田 的而積= 121x8x7x6 x(300x6x0.231)2 =84x415.8?= 84x172889.64= 14522729.76平方米=14. 5 平方千米，故選：D6 .【答案】D? c正在八48中，根據正弦定理得4AC sinA 內"工 點，sin Z712JC =-=CD3 近2由 NAZ)C V NA,所以乙4。= 丁，所以/4CZ) = 4 -不-：=, 434 12所以 NAC8 =：,則 N8 = 二，所以 A8 = i4C = 2>/

13、J, 66在“3c中，由余弦定理得8c2=(2j5+(2jjy-2x2j5x2jJx _5 =36,乙所以8C = 6.故選：D.7.【答案】B在A3。中,B.8.【答案】ABD AD sinCCD.冗 sinB sin 6sin -C13，解得tanC = 4,又sirr C + cos- C = 1分析L BC=2, NA = 45°,所以2R =一=R =貝,如圖建系, sin AsinC,cosC所以注。=叵故選:148(-l,0),C(l,0) 0(0,1),求得圓 0： x2+(y-l)2 =2,設A(x,y),則方第=9分析 2： CM BC=ICMI IBClcos&

14、lt;6M,BC>= 4cos <OAyBC> 分析 3： OA BC = (dD + DAyBC = DA BC = -(AC + AB) (AC-AB) = (c2-b2)sin 3 sinC sin 450所以，(c2 一戶)=，(2>/2 sinC)2 一(2點sin B)2=l(c2 b?) = 4(sin2 C-sin2B) = . 222二、多選題9 .【答案】AD丁 cosB = b =smB.整理可得：sinBcosC = 2sin AcosB-sinCeosBcosC 2a-c 2 sin 力一 sinC可得 sin B cos C + sinC c

15、os B = sin(B + C) = sin A = 2 sin A cos B4為三角形內角，sinAO cosB = l故A正確，B錯誤.2A m 口冗 C3 耳八八 373 1. n 1V3 V3B w(0,幾)I B = = S ABC =, B = 3 ：.= acsinB = xaxcx =ac3 "皿 442224解得 c = 3,由余弦定理得 9 = a2 +c2 -ac = (a + c)2 -3ac = (a + c)2 -9解得4 + c = 3jL故c錯誤，D正確.故選：AD.10 .【答案】ABC因為一-=-,所以月>60a枚=sinJ>sin

16、6,故A成立.sin A sin B函數產cosx在區間0,4上是減函數，： A>B, r.cos/Kcos5,故B成立.在銳角三角形中，月+同:，外:一8函數產sinx在區間。0上是增函數， 222則有sinJ>sin（工8）,即sinJ>cos6, C成立，同理sin歷cos月，故D不成立.故選：ABC. 211 .【答案】ABC如圖所示，則=bsinA,因為滿足條件的三角形有且只有一個，所以“ = =sinA或者則人=土叵或 3b<2,則可知的可能取值為1，士2. 3故選：ABC.12 .【答案】ABD對于A選項，A角最小，C角最大.由余弦定理得cos A = 2

17、,十、6_ = = >0 2x5x660 4cosC =16 + 25-3651 八2x4x5 -40"8'cos2A = 2cos A 1 = 2x 11 = 一 , cos2A = cosC. 80<A<-,0<C<-,則0<24<4，所以2A = C,所以A選項正確. 22對于 B 選項，acosB-bcosA = c 由正弦定理得sin AcosB-sinBcosA 二sinC,sin Acos 5cos A sin B = sin ( A + B) = sin Acos B+cos Asin B , cosAsin B =

18、0,由于。vAveOvBv/t.所以A =。，故B選項正確. 2對于 C選項，cosC =16 + 25_。<。<不，sinC = Jl- - * 2x4x540 8V 18)3"=982R_ c fR_ c _6 一 8"設三角形ABC外接圓半徑為H，則 sinC2sinC3"7 ，故C選項錯誤.2x對于D選項，0<24<乃,一萬<一8<0,一乃<4一8<乃，故一 1 vcos（A-8）«l,同理可得 -1 <cos(B-C)<l,l <cos(CA)<l,要使 cos(A-B)c

19、os(8-C)cos(C-A) = l,則需 cos(A - 3) = cos(8 C) = cos(C A) = 1,所以A B = 0,8 C = 0,C 4 = 0,所以A = 8 = C,所以D選項正確.故選：ABD三、填空題13 .【答案】6由 a sin B 一 /bcos A = 0 得 A = g,由5 = be sin A =得周長為 6。14 .【答案】2 + 6解析：設BD=x,則CD=2xa在A4D+，由余弓玄定理彳導ab=ad2+bdL2ad BDCOSNADB /y 在 aADC中，由余弓玄定理得AC? = AD?+DCJ2AD DCCOSNADC= 2 + 4x2

20、-4x又 A C? = 2AB2，二 2 + 4a2 - 4x = 4 + 2x2 + 4x,即-4x-l = 0,解得 x = 2 + /故BD = 2+逐15 .【答案】由【解析】試題分析：由4 = 2,且2 + b KsE 月- sin E、= (c -sin C ,竹(a+b)(sinA-sinB) = (c-b) sinC,又根,-b' + c' a據正弦定理，得(a4b)(a-5) = (c-b)c/M bi - a- =bc,故cosA =-，所以2 be 2A =60°,又b'+c：-芯=4 >be,故$0二=-i-bcsinA .16

21、.【答案】(6一四, >/6+>/2 )解析：設 NBAC = e,依題意，得 N8C4 = 105。，30 <0< 75,AR在AABC中，由正弦定理，得sin(105 - 0) sin 6sin(105 - 6) sin 02sin(105 一夕)個 sin 105 cos6-cos 105 sin 6=2sin。sin 6sin 75、=2(+ cos 75 ),tan 6l 八 sin 75 sin 75又 tan 30 v tan 8 v tan 75 , 所以<tan 75tan。sin 75tan 30sin 75,即 cos 75 Vtan。<

22、; 5/3sin75 ,所以 4cos75 VA8 < 2sin75 +2cos75 =4sin 105 ,故娓一E<AB氓+垃.解法二:5=ZC-75T,平移AD ,sin300 -sin75c，笈【解析物1圖所示，延長5力CD交于已印移.空，當上與力重臺與三點時FZ5=30=, 5c=2,由正弦定理可得 一=,即 sin 乙E sin ZCBE知，BFsin/FCB s"BFC,即 2T = 3.,解得富=卡-石,所以的取值范圍為(而-0, sitiiO、 sin .、當1與C重言時，上5最遠'此時與上3交于后 在A3仃中 Z3=Z5fC=75% ZrC5=3

23、0S由正弦定理11四、解答題17 .在a=。，csinA = 3,c =這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存 在，求。的值：若問題中的三角形不存在，說明理由.?注:問題：是否存在人44。，它的內角A,8,C的對邊分別為“/,c,且sinA= JJsinB, C = J6如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.解:解法一: 由sin A= JJsin3可得：鼻二小,不妨設“="力= "?(? >0),則：c2 =a2 + b2 -2abcosC = 3m1 + m -2x乖)mxmx*=m2» 即 c = m.選擇條件的解析: 據此可

24、得:ac = y3m x m = 3m2 = >/3 t = 此時 c = ? = L選擇條件的解析:g . r/f:. b- +c cC 廠 + 廠一3廠1據此可得：cosA =三= -2bc2m22貝sin A =» 此時：csin4 = zx = 3，貝h c = ni = 2/3.22選擇條件的解析:與條件c = A 矛盾，則問題中的三角形不存在.解法二：V sinA = C = £,8 = /r （A + C）, 6sinA = >/3 sin （4 + C） = >/3sinA = 6sin（A + C）= /3sinAf- + y/3cosA

25、-， 22* sinA = /3cosA , tanA = >3, * A = -7-, B = C = 若選，ac = >/3，1 a = >/3b = 6c，二 y/3c2 = #, / c=l;若選，csiiiA = 3,則= 3, c = 2 2若選，與條件。=y/3h矛盾.18. A5C 中，sinAsinBsinCsinBsinC.（1）求 4（2）若止3,求aABC周長的最大值.解：（1）由正弦定理可得：BC2 - AC2 - AB2 = AC AB2ACAB 2（2）由余弦定理得：BC2 = AC2 + AB2 - 2 AC - AB cos A = AC2

26、+ AB2 + AC - AB = 9即（AC + A8-AC48 = 9.-AC AB< 'C：（當且僅當AC = AS時取等號），I 2 ）-=（AC + A8，2/4解得：AC + A8W2# （當且僅當AC = A3時取等號）,:.aABC周長£ = 4。+ 48 + 3。43 + 20，.243。周長的最大值為3 + 2.19.在板中,角4 B,。的對邊分別為a, b, c,已知2（tan A + tan 8）=tan A tan B1cos B cos A13（I ）證明：升£2° （II）求cosC的最小值.解:試題解析：（I）由題意知

27、2 ；三上i +I cos A cos B jsin月&in5+cos 4 cos B cos 4 cos B化簡得 2 (sin A cos. B +sinB cos A) = sin A + sin B >艮12 sin (A +3) = sin A + sin 5. 、J所以sin(/十B) = sinf %-C =sin.C.從而sin 月+ 5n£=2sin C.由正弦定理得a+b= 2c.1、人 a + b(II)由知=2a+b所以 cosC =lab2 2ab3( b a十一一當且僅當。=8時，等號成立.故8SC的最小值為L 220 .在A4BC中，角4, B,。所對的邊分別為。，c,且滿足cos2C cos2A = 2sin(2+ C)sin(2C). 33（1）求角A的值：（2）若。=正，之求助C的取值范圍.【解析】C)由已知得2sint4 2sin2c = 2gco”0 ；sin2C).化簡得4-4 =:故4 =彳或力=孕 2jj（2）由正弦定理sin 5 sin C sin A；Wi = 2sin5 6 = 2sinC;S2d-c = 4sin5-2siiiC = 4sin-2-2sin(-5)=3sinS-A/3cos5 = 2sin(-).36所以26-。=2抬sin(BJ)e6：2道).21.在AA3C中