1、會計學1傳染病模型傳染病模型(mxng)2第一頁，共15頁。于是于是(ysh)得微得微分方程分方程) 18()0()()(00iitikdttdi其解為其解為 tkeiti00)(結果表明：傳染病的傳播是按指數函數結果表明：傳染病的傳播是按指數函數(zh sh hn sh)增加的。增加的。 這個結果這個結果(ji gu)與傳染病傳播初期比較吻合。與傳染病傳播初期比較吻合。 但由但由(8-1)的解可以推出，當的解可以推出，當t+時，時， +，這顯然是不符合實際情況的，問題在于兩條假設這顯然是不符合實際情況的，問題在于兩條假設均不合理。均不合理。 )(ti第1頁/共14頁第二頁，共15頁。模型模型

2、(mxng)二二： 用用 表示表示t時刻傳染病人數時刻傳染病人數(rn sh)和未被傳染的人數和未被傳染的人數(rn sh)， ； )(),(tsti0)0(ii 假設假設(jish)： (1)每個病人單位時間內傳染的人數與這時未被每個病人單位時間內傳染的人數與這時未被傳染的人數成正比，即傳染的人數成正比，即 )(0tksk (2)一人得病后經久不愈，人在傳染期不會死亡；一人得病后經久不愈，人在傳染期不會死亡； (3)總人數為總人數為n，即，即 ； ntits)()( 由以上假設得微分方程由以上假設得微分方程)28()0()()()()()(0iintitstitksdttdi第2頁/共14頁

3、第三頁，共15頁。用分離用分離(fnl)變量法得其解變量法得其解為為 ) 38() 1(1)(0knteinnti其圖形其圖形(txng)如圖如圖 模型模型(8-2)可以用來預報可以用來預報(ybo)傳染較快的疾病前傳染較快的疾病前期傳染病高峰到來的時間。期傳染病高峰到來的時間。 由由(8-3)式可得式可得第3頁/共14頁第四頁，共15頁。)48() 1(1 ) 1(2002knteineinkndtdiknt其圖形其圖形(txng)如圖如圖 醫學上稱醫學上稱 為傳染病曲線（它表示為傳染病曲線（它表示(biosh)傳傳染病人增加率與時間的關系）。染病人增加率與時間的關系）。 tdtdi第4頁/

4、共14頁第五頁，共15頁。，令令0)(22dttid得極大值點：得極大值點： )58() 1ln(01knint由此可知由此可知 1)當傳染病強度當傳染病強度k或總人數或總人數(rn sh)n增加時，增加時， 都將變小，即傳染病高峰來得快，這與實際情況吻合。都將變小，即傳染病高峰來得快，這與實際情況吻合。 1t 2)如果知道了傳染強度如果知道了傳染強度k（k由統計數據得出由統計數據得出(d ch)），即可預報傳染病高峰到來的時間），即可預報傳染病高峰到來的時間 ，這對，這對于防治傳染病是有益處的。于防治傳染病是有益處的。 1t第5頁/共14頁第六頁，共15頁。模型模型(mxng)二的缺點二的缺

5、點是：是： 當當t時，由時，由(8-3)式可知式可知 n，即最后，即最后人人都要生病，這顯然人人都要生病，這顯然(xinrn)是不符合實際情是不符合實際情況。造成的原因是假設況。造成的原因是假設(2)中假設了人得病后經久中假設了人得病后經久不愈。不愈。 )(ti 為了與實際問題更加吻合，我們對上面的數學模為了與實際問題更加吻合，我們對上面的數學模型再進一步修改，這就要考慮人得病型再進一步修改，這就要考慮人得病(d bn)后有的后有的會死亡，另外不是每個人被傳染后都會傳染別人，因會死亡，另外不是每個人被傳染后都會傳染別人，因為其中一部分會被隔離。還要考慮人得了傳染病由于為其中一部分會被隔離。還要

6、考慮人得了傳染病由于醫治和人的自身抵抗力會痊愈，并非象前面假設那樣醫治和人的自身抵抗力會痊愈，并非象前面假設那樣人得病人得病(d bn)后經久不愈。為此作出新的假設，建后經久不愈。為此作出新的假設，建立新的模型。立新的模型。 第6頁/共14頁第七頁，共15頁。模型模型(mxng)三：三： 在此模型中，雖然要考慮比前面兩個模型復雜在此模型中，雖然要考慮比前面兩個模型復雜(fz)得多的因素，但仍要把問題簡化。設患過傳得多的因素，但仍要把問題簡化。設患過傳染病而完全病愈的任何人具有長期的免疫力，并設染病而完全病愈的任何人具有長期的免疫力，并設傳染病的潛伏期很短，可以忽略不計，即是一個人傳染病的潛伏期

7、很短，可以忽略不計，即是一個人患了病之后立即成為傳染者。在這種情況下把居民患了病之后立即成為傳染者。在這種情況下把居民分成三類：分成三類： 第一類是有能夠把疾病傳染第一類是有能夠把疾病傳染(chunrn)給別人的那些給別人的那些傳染傳染(chunrn)者組成的，用者組成的，用I(t)表示表示t時刻第一類人的人時刻第一類人的人數。數。 第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那些第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那些人組成的，用人組成的，用S(t)表示表示t時刻第二類人的人數。時刻第二類人的人數。第7頁/共14頁第八頁，共15頁。 第三類是包括患病死去的人、病愈后具有第三類是包括患

8、病死去的人、病愈后具有(jyu)長期免疫力的人以及在病愈并出現長期免疫力以前被長期免疫力的人以及在病愈并出現長期免疫力以前被隔離起來的人，用隔離起來的人，用R(t)表示表示t時刻第三類人的人數。時刻第三類人的人數。 假設疾病假設疾病(jbng)傳染服從下列法則：傳染服從下列法則： (1)在所考慮的時期內人口總數保持在固定水平在所考慮的時期內人口總數保持在固定水平N，即，即不考慮出生不考慮出生(chshng)及其它原因引起的死亡以及遷入、及其它原因引起的死亡以及遷入、遷出情況。遷出情況。 (2)易受傳染者人數易受傳染者人數S(t)的變化率正比于第一類人的的變化率正比于第一類人的人數人數I(t)與

9、第二類人的人數與第二類人的人數S(t)的乘積。的乘積。 (3)由第一類向第三類轉變的速率與第一類人的由第一類向第三類轉變的速率與第一類人的人數成正比。人數成正比。 由此得下關系式由此得下關系式第8頁/共14頁第九頁，共15頁。)68( ISIdtdIIdtdRSIdtdS 其中其中(qzhng)、為兩比例常數，為兩比例常數，為傳為傳染率，染率，為排除率。為排除率。由由(8-6)的三個方程的三個方程(fngchng)相加得相加得0)()()(tRtItSdtd又又 S(t)I(t)R(t)N （常數（常數(chngsh)）所以所以 R(t)NS(t)I(t)由此知，只要知道了由此知，只要知道了S

10、(t)和和I(t)，即可求出，即可求出R(t)。 第9頁/共14頁第十頁，共15頁。 由由(8-6)中第一中第一(dy)、三兩式得、三兩式得 )78( ISIdtdISIdtdS 由此推出由此推出)88(11SSIISIdSdI 所以所以(suy)CSSSIln)( 當當tt。時。時 I(t。)I。，。，S(t。)S。，。， 記記)98(ln)(000SSSSISI 即有即有第10頁/共14頁第十一頁，共15頁。下面我們討論下面我們討論(toln)積分曲線積分曲線(8-9)的性質：的性質： 由由(8-8)式知式知 SSSSSI0001)(所以所以(suy)當當S時，時，I(S)是是S的減函數的

11、減函數(hnsh)。 而而I(0)，I(S。)I。0， 由連續函數的零點定理及單調性知，由連續函數的零點定理及單調性知， 存在唯一存在唯一 使得使得 ，且當，且當 時，時，I(S)0。 0*0,SSS0)(*SI0*SSS第11頁/共14頁第十二頁，共15頁。當當tt。時，方程。時，方程(fngchng)(8-9)的的圖形如圖圖形如圖 由此知，當由此知，當t由由t。變化到。變化到時，點時，點(S(t),I(t)沿曲線沿曲線(8-9)移動，并沿移動，并沿S減少方向移動，因為減少方向移動，因為S(t)隨時間的增加隨時間的增加而單調減少。因此如果而單調減少。因此如果S。小于。小于，則，則I(t)單調

12、減少到零，單調減少到零，S(t)單調減少到單調減少到 。所以，如果為數不多的一群傳染。所以，如果為數不多的一群傳染者者I。分散在居民。分散在居民S。中，且。中，且 ，則這種疾病會很快被，則這種疾病會很快被消滅消滅(xiomi)；如果；如果S。，則隨著，則隨著S(t)減少到減少到，I(t)增增加，且當加，且當S時時I(t)達到最大值；當達到最大值；當S(t)時，時，I(t)才開始才開始減少。減少。*S 0S第12頁/共14頁第十三頁，共15頁。由上分析由上分析(fnx)可得如下結可得如下結論：論： 只有當地居民中的易受傳染者的人數超過閾值只有當地居民中的易受傳染者的人數超過閾值(y zh) 時，

13、傳染病才會蔓延。時，傳染病才會蔓延。 用一般的常識來檢驗上面的結論也是符合的。當人用一般的常識來檢驗上面的結論也是符合的。當人口擁擠、密度高，缺乏應有的科學文化知識，缺乏必要口擁擠、密度高，缺乏應有的科學文化知識，缺乏必要的醫療條件，隔離不良而排除率低時，傳染病會很快蔓的醫療條件，隔離不良而排除率低時，傳染病會很快蔓延；反之，人口密度低，社會條件好，有良好的公共衛延；反之，人口密度低，社會條件好，有良好的公共衛生設施和較好的管理而排除率高時，則疾病在有限范圍生設施和較好的管理而排除率高時，則疾病在有限范圍(fnwi)內出現卻很快被消滅。內出現卻很快被消滅。 將模型三在實際中檢驗，還有不合理的地方，因將模型三在實際中檢驗，還有不合理的地方，因此還可修改假設，建立更切合實際的模型。（略）此還可修改假設，建立更切合實際的模型。（略）第13頁/共14頁第十四頁，共15頁。NoIma