1、習題12-41. 求下列微分方程的通解：字+尸廠；ax解 y = edx(jex dxdx+ c) =ex exdx+c) = ea'(x+ c).(2)寸+)=/+3乳+2;解原方程變?yōu)閥+lv=x+3+.qxy=e(兀+3+?)丿兀 dx+cx=-f (x+3+-)xd+c=-f(x2+3 兀 + 2)力+cx jxx j=丄(馭 +卓2+2兀+0=異+弓x+2+c.x 3232 x(3)y+ycos 4戶匕 解)=討3皿(嚴貶.聲。如力+0g-sinx（"一血大/血山+c）= £-sinx（兀+c）.(4)/+jtan ksin 2x;解y=* 伽皿(卜山2心

2、伽皿力+c)incosx/sin2x-,nc0sv6zx+c)cosx(2sinxcos 兀一-dx-c)jcos 兀=cos x(-2cos x+c)=c cos x-2cos2x (5)(x2-1)y+2xy-cos x=0;解原方程變形為y+壬尸竽斗. xl-cosx1 f. (x2 -lkzr+cj=(sin x+c).x 1 j x 1x 1（略+3尸2； 解°之一國冷2叫&+c）= 0-%（j2/d0+c）+c)=+c嚴=嚴（討(7)子+2xy=4x；解）=£叩皿（"兀2皿么+c） =ex2 （j 4r / 必+c）二 £一*(2 討

3、+c) = 2+cww.(8)yln ydx+(x-n y)d)=°；解原方程變形為半+j兀=丄ay ylny yx=/fe<v(丄而dy+c)j y= m(hln+c)= m(2ln2y+c)=2inj+m-(兀-2)字=y+2(兀-2尸;dx解 原方程變形為字一 )=2(無2尸.y = j %一2 "j 2(%- 2)%=(x-2)j 2(x-2)2 古心+c =(x-2)(x-2)24-q=(x-2)3+c(x-2). (10)(y2-6x)-+2y=0.dxdx x-2丄dr -2 clx+c解原方程變形為半兀二-£兒dy y2 x=e於卜訥卅+c=

4、 yx-ydyc)=訊(古+c)=*y2+cy32. 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: dy(l)-r-ytanx=secx,?l-o=o；-itanxdr >,廠、j oy+c)ax解 y=jlanxdx(jsecx-=! (f sec a cos xdx- c)=- (x+c). cosx jcosx由)lz=0,得c=0,故所求特解為尸xsec x 字+紅沁“1；ax x x,-f丄厶 f解y-e兒(jx .兀/y+c)=丄(-cosx+c).xx由劉冃汙1,得c=7t-,故所求特解為歹=丄(龍-1-c0s尢).x 4-ycotx=5ecosv,兒龍=一4;sinx5嚴.si

5、n 皿+c)=j(-5嚴尤+c). sinx由劉 廠一4,得c=l,故所求特解為y=j-(5嚴s“+i). x=* sinx字+3)=8, yl.v=o=2;ax解尸*m(j8+c)=嚴(8 j r 仏 + c) = £-3吟3x + c) = £ + c£-3x 由y|*2,得c"#,故所求特解為y=j(4-e3x). (5)字+2_尹 y=l, yl=i=o.ax x52-3x2 >2-3戲解 y = j *(j.< x3 dx-c)=xex2/力+c) = x討(壯 *+c).x/由yla=0,得c=亠，故所求特解為丁=：兀3（1一云廠

6、1）.2e23. 求一曲線的方程，這曲線通過原點，并且它在點（x,y）處的切線斜率等于2x+y.解 由題意知y'=2兀+y,并且）牡=（）=0.由通解公式得y=幺m （|c）之xexdx+ c）=ex-2xex-2ex+c）=cex-2x-2.由yl*o=o,得c=2,故所求曲線的方程為尸2（0-1）.4. 設有一質量為加的質點作直線運動，從速度等于零的時刻起，有一個與運動方向一 至、大小與時間成正比（比例系數為冷）的力作用于它，此外還受一與速度成正比（比例系數 為局）的阻力作用.求質點運動的速度與時間的函數關系.解由牛頓定律 f=m, m- = kt-k2v,即-+v=z.atat

7、m m由通解公式得j卽（佝.j卽力+c）之勺（問.角+c）j mj m由題意，當=0時xo,于是得c =轡.因此*25. 設有一個由電阻r=10q、電感厶=2h(亨)和電源電壓e=20sin5/ v(伏)串聯組成的電路. 開關k合上后，電路屮有電源通過.求電流，與時間/的函數關系.解由回路電壓定律知20sin5r2卑10心0,即卑+5心 10sin5匚dtdt由通解公式得(=£一卩"(j* 10 si n 5f /+c)二 s i n 5f - cos 5/+ce5t.因為當r=0時歸0,所以c=l.因此i=si n 5tcos 5/+e5t = e_5/+v2sin(5r

8、-) (a).6. 設曲yf(x)dx2xf(x)-x2dy在右半平面q0)內與路徑無先 其中./w可導，且 人1)=1,求/(兀).解因為當人0時，所給積分與路徑無關，所以 拿*(兀)=芻2也兀)一", oydx即/(x)=2/(x)+2a/ -2x,因此13a/7或廣(兀)+圭/(無)= 】 由川)=1可得c = |,故/(x) = jx47. 求下列伯努利方程的通解:(1)卑+y = y2(cosx-sin x) dx解原方稈可變形為=cosx-sinx,即=sinx-cosx.j_+ly2 dx yyx =j （sin x-cos x） dx+ c=e_vj （cosx-si

9、n x）excbc+c = cex-sinx,原方程的通解為丄二cex-sinx.y字-3廠=與2；dx解原方程可變形為-v字-3x丄詁即筆巳+3如二-x.）"dx ydx產之-卩鬥j（_x）皿心+c_3 v2 c x2=e 2"（_卜£2"力+c）3 9 i 3 93 o <ix2 1原方程的通解為丄二c幺2 -1a3羋+*y=+（l-2q/；dx 33解原方程可變形為4爭+#弓1亠）,即字）尸 dx 3）戶 3dxy3 = 2x-l 嚴=“j（2x_1）£-<p+c原方程的通解為 = cex-2x-.dy s方一vf ；clx解

10、原方程可變形為)q axclx廠4之-帥j (_4兀)厶心+ q 之-4(_4陽仏+c) 二-x+f+c嚴，4原方程的通解為-v=-x+j+c4xy4 4(5)xdy-y+x)'(l+ln x)dx=o.解原方程可變形為a字一丄丄= (l+lnx),即+2廠2 =_2(1+“兀). clx x y-dx x)廠2 =嚴一2(1+111兀)丿/八力:+(7-2 -2( (1+in x)xdx+cx=£一專兀1口尢一£兀,q 39原方程的通解為-v=-xlnx-4x.yz xl 598. 驗證形如鞏巧皿+xg(小)d)=0的微分方程，可經變量代換匸巧化為可分離變量的方

11、程，并求其通解.解原方程可變形為dy = -yf(xy)dx xgxy) 在代換匸小下原方程化為x% v/(v)* x2g(v)'du=dx9x積分得血)v<g(v)-/(v)du=nx+c對上式求出積分后，將戶小代回，即得通解.9. 用適當的變量代換將下列方程化為可分離變量的方程，然 后求出通解：(1)討+"；解令u=x+y,則原方程化為dul=w2,即必=du1+1?兩邊積分得x=arctan u+c.將w=x+y代入上式得原方程的通解,¥=arctan(x+y)+c 即)=-rhan(無一c).字二丄+1;dx x-y解令心x-y,則原方程化為1 -=+

12、1,即 dx=-udu.ax u兩邊積分得x=-u2+c.將=x+y代入上式得原方程的通解x = (x-y)2+c,即(x-y)2=-2x+c(c=2c|).(3) xy+)=y(ln x+ln y);解令則原方程化為兀(丄半一耳)+鋼葉，即丄dx=-du .x dx x1 xxx umu兩邊積分得in 兀+ln c=lnln u,即 u=ecx.將=小代入上式得原方程的通解兀尸嚴，即y=-ecx.xr2(4) /=y+2(sin 兀一1 )y+sirrx-2sin x-cos x+1;解原方程變形為 )/=(j+sin x-1 丁一cos x.令u=y+sinx-1,則原方程化為cosx = w2-cosx, -krdu = dx ax兩邊積分得-=x+c.u將二y+sinx-1代入上式得原方程的通解 r=x+c,即 y = l-sinx- y+sinx-l(5) ><xy+1 )dx+x( 1+x5+x2/)6/)=0 . 解原方程變形為dy= 歹(心+1)dx x(+xy+x2y2)令心卩