1、會(huì)計(jì)學(xué)1Copula基本原理與模型構(gòu)建基本原理與模型構(gòu)建n金融波動(dòng)和危機(jī)的頻繁出現(xiàn)使風(fēng)險(xiǎn)度量和多變量金融時(shí)間序列分析成為國(guó)內(nèi)外關(guān)注的焦點(diǎn)，原有的多變量金融模型已不能完全滿足發(fā)展的需要。如用Var來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)時(shí)須具備一定的條件，它在非橢圓分布時(shí)就不可用。常用的Copula函數(shù)Copula函數(shù)的定義1Copula函數(shù)的相關(guān)測(cè)度23Copula模型的構(gòu)建45Copula模型的參數(shù)估計(jì)什么是Copula函數(shù)？ 形象地說(shuō)，我們可以把Copula函數(shù)叫做“連接函數(shù)”或“相依函數(shù)”，它是把多個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與它們各自的邊緣分布相連接起來(lái)的函數(shù)。 nnnxFxFxFCxxxF,221121多元聯(lián)合分布函數(shù)邊

2、緣分布Copula函數(shù)Sklar定理 令 為具有邊緣分布的聯(lián)合分布函數(shù)，那么存在一個(gè)Copula函數(shù) ，滿足：,FnFFF,21,C nnnxFxFxFCxxxF,221121 若 連續(xù)，則 唯一確定。 nFFF,21,C一個(gè)問(wèn)題 我們知道，對(duì)于兩個(gè)變量之間的相關(guān)性關(guān)系，我們可以利用相關(guān)系數(shù) 來(lái)度量，但是，我們看下面的問(wèn)題： 若 （x，y顯然關(guān)系密切） 則 即x，y的相關(guān)系數(shù)為0。 因此，當(dāng)變量間的關(guān)系是非線性時(shí)，用相關(guān)系數(shù)來(lái)度量其關(guān)系是不可靠的。而Copula函數(shù)在一定的范圍內(nèi)就可以避免這個(gè)問(wèn)題。2,1 , 0 xyNx 0,23xExExEyExExyEyxCov定理 對(duì)隨機(jī)變量 做嚴(yán)格的

3、單調(diào)增變換，相應(yīng)的Copula函數(shù)不變。nxxx,21Kendall秩相關(guān)系數(shù)Spearman秩相關(guān)系數(shù)Gini關(guān)聯(lián)系數(shù)11, yx22, yxKendall秩相關(guān)系數(shù) 考察兩個(gè)變量的相關(guān)性時(shí)，最直觀的方法是考察它們的變化趨勢(shì)是否一致。若一致，表明變量間存在正相關(guān)；若不一致，表明變量間是負(fù)相關(guān)的。 令 和 為隨機(jī)向量(X,Y)的兩組觀測(cè)值，如果 且 ，或者 且 ,即 ，則稱 和 是一致的，反之，即 ，則為不一致。21xx 21yy 21xx 21yy 02121yyxx11, yx22, yx02121yyxx定義： 和 為獨(dú)立同分的隨機(jī)向量，0021212121yyxxPyyxxP1，完全正

4、相關(guān)； ，完全負(fù)相關(guān)； ，無(wú)法判定。10可以看到，對(duì)于單調(diào)增函數(shù)s(x)和t(y)，有 0021212121yyxxytytxsxs因此值對(duì)單調(diào)增的變換是不變的。Kendall秩相關(guān)系數(shù)可以由Copula函數(shù)給出（證明略）：1,41010 vudCvuC11, yx22, yxSpearman秩相關(guān)系數(shù)定義： 和 為獨(dú)立同分布的隨機(jī)向量，則 2211,yxyx33, yx00331213121yyxxPyyxxPSperman秩相關(guān)系數(shù)對(duì)嚴(yán)格單調(diào)增的變換也是不變的，由相應(yīng)的Copula函數(shù)來(lái)表示如下： 101010103,123,12duvvuCvuuvdCGini關(guān)聯(lián)系數(shù) 和只考慮了隨機(jī)變量

5、變化方向的一致性和不一致性，而Gini關(guān)聯(lián)系數(shù)則更細(xì)致地考慮了隨機(jī)變量變化順序的一致性和不一致性。 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的n個(gè)樣本為 ，將 按從小到大順序排列后， 的名次 稱為它的秩，同樣 在 中的名次（秩）記為 。 如果x，y的變化是一致的， 就應(yīng)該很小，所以 反映了不一致的程度。如果變化方向相反，那么與 應(yīng)處于兩端， 位于 位置時(shí)， 應(yīng)位于倒數(shù)第 的位置上，即第 的位置上，因此， 就應(yīng)該很小，而 就反映了相反變化的不一致程度。 nnyxyxyx,2211nxxx,21ixiriynyyy,21isiisr niiisr1irisixirisirirn1iirns1niiinsr11定義：令

6、 為隨機(jī)變量X,Y的樣本 ，i=1,2,.,n的秩，則iisr,iiyx ,niiiniiisrnsrn11212int1Gini系數(shù)可以擴(kuò)展到無(wú)限樣本的情形，并有相應(yīng)的Copula函數(shù)給出：vudCvuvu,121010 在金融風(fēng)險(xiǎn)分析中，更有意義的是隨機(jī)變量的尾部相關(guān)性，這一特性用Copula函數(shù)來(lái)處理十分方便。考慮條件概率 ，它可以用來(lái)討論金融市場(chǎng)之間或金融市場(chǎng)中各類資產(chǎn)之間的相關(guān)性。當(dāng)x,y趨于無(wú)窮大或足夠大時(shí)， 即反映了隨機(jī)變量X與Y的尾部相關(guān)性。xXyYP|xXyYP|定義：(上尾相關(guān)與獨(dú)立、下尾相關(guān)與獨(dú)立) 令 為連續(xù)隨機(jī)變量的向量，邊緣分布分別為F,G，則 的上尾相關(guān)系數(shù)為,Y

7、X,YX UuuFXuGYP111|lim若 ，X,Y稱為上尾相關(guān)；若 ，X,Y稱為上尾獨(dú)立。1 , 0U0U LuuFXuGYP110|lim下尾相關(guān)系數(shù)為若 ，X,Y稱為下尾相關(guān)；若 ，X,Y稱為下尾獨(dú)立。1 , 0L0L由于同樣可證因此，基于Copula函數(shù)的尾部相關(guān)性可以表示為 uuuCuFXPuFXuGYPuFXuGYP,|11111 uuuCuuFXuGYP1,21|11uuuCuuU1,21lim1uuuCuL,lim01,41010 vudCvuC 101010103,123,12duvvuCvuuvdCvudCvuvu,121010 uuuCuuU1,21lim1uuuCuL

8、,lim0Kendall秩相關(guān)系數(shù)Spearman秩相關(guān)系數(shù)Gini關(guān)聯(lián)系數(shù)上尾相關(guān)系數(shù)下尾相關(guān)系數(shù) uvdrdsrssrvuC112222122exp121;, 2exp122exp11;,212121121212vuvuvuvuc uTvTdsdtsttsvuC11222222121121,;,22221222212221221112121222,;,iivuc nnuuuuuuC21121,其中 稱為阿基米德Copula函數(shù)的生成元，它是一個(gè)凸的減函數(shù)。常用的二元阿基米德Copula函數(shù)： Gumbel Copula函數(shù) Clayton Copula函數(shù) Frank Copula函數(shù)Gu

9、mbel Copula函數(shù)11lnlnexp;,vuvuCG11lnlnlnlnlnln;,;,1121111vuvuuvvuvuCvucGG生成元1lnt1G22GU0GL上尾部變化十分敏感Clayton Copula函數(shù)11;,vuvuCcl 12111;,vuuvvuccl生成元1t0CU2C12CL下尾部變化十分敏感Frank Copula函數(shù)1111ln1;,eeevuCvuF 21111;,vuvuFeeeeevuc生成元11lneet111410dtettF0FU0FL描述對(duì)稱相關(guān)結(jié)構(gòu)，上尾下尾相關(guān)性變化都不敏感兩階段法：1.確定邊緣分布；2.選取一個(gè)適當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)，以便能很好地描述出隨機(jī)變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。選擇適當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)1.看這種Copula函數(shù)的特征是否與現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)指數(shù)的收益率之間的相關(guān)性符合。2.看這種Copula函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的可操作性。3.看這種Copula函數(shù)所模擬結(jié)果與實(shí)際符合的程度。邊緣分布的選擇:自回歸模型常用的單變量時(shí)間序列模型時(shí)間序列模