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1、會計學1D多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則v 一元復合函數一元復合函數求導法則求導法則微分法則微分法則v 二元復合函數二元復合函數求導法則求導法則微分法則微分法則若多元復合函數的若多元復合函數的中間變量不止一個中間變量不止一個,結果如何結果如何?第1頁/共19頁定理定理 處處偏導數連續偏導數連續, 在點 t 可導, 則復合函數證明證明:則相應中間變量且vutt有增量u ,v ,（全導數）（全導數）若函數設 t 取得增量t ,由題設知),(vufz 可微則則第2頁/共19頁( 全導數公式全導數公式 )zvutt(t0 時,根式前加“”號)第3頁/共19頁(1) 中間變量多于兩個的情形

2、中間變量多于兩個的情形. 設下面所涉及的函數都可微(2) 中間變量是多元函數的情形中間變量是多元函數的情形.z如如如如yx第4頁/共19頁(3) 中間變量既有一元函數又有多元函數的情形中間變量既有一元函數又有多元函數的情形.xzyzzvuyxxuuzyuuz如如第5頁/共19頁當它們都具有可微條件時當它們都具有可微條件時, 有有注意注意:這里這里xzxz表示表示 f ( x, ( x, y ) )固定固定 y 對對 x 求導求導xf表示表示f ( x, v )固定固定 v 對對 x 求導求導與與不不同同x第6頁/共19頁解解:xzyzvusinexvvzyvvzvucosezyx第7頁/共19

3、頁解解:y第8頁/共19頁zt求全導數解解:(4) 多元抽象復合函數求導多元抽象復合函數求導下列幾個例題有助于掌握這方面問題的求導下列幾個例題有助于掌握這方面問題的求導技巧與常用導數符號技巧與常用導數符號.推廣推廣:t第9頁/共19頁為簡便起見為簡便起見 , 引入記號引入記號f 具有二階連續偏導數具有二階連續偏導數,求求解解:zyx則則(,)xyz xyz令令第10頁/共19頁xzxyx 全微全微分分其中其中f偏導數，求偏導數，求解解: 具具有二階連續的有二階連續的y第11頁/共19頁設函數設函數的全微分的全微分為為可見無論可見無論 u , v 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量, 則復

4、合函數則復合函數都可微都可微, , 其全微分表達其全微分表達 形式都一樣形式都一樣, 這性質叫做這性質叫做全微分形式不變性全微分形式不變性.第12頁/共19頁例例1 .,yzxz求利用全微分形式不變性再解例利用全微分形式不變性再解例1解解: :所以所以 練習練習例1 第13頁/共19頁1 復合函數的求導法則復合函數的求導法則如如 3f2 全微分形式不變性全微分形式不變性不論不論 u , v 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量,第14頁/共19頁解答提示解答提示:P31 題題71 xzP31 題題7; 8(2)zyxvuvu第15頁/共19頁P31 題題8(2)y11f 1f )(2yx2f yx zy第16頁/共19頁1 已知求解解:兩邊對 x 求導, 得由

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