1、此文檔僅供收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除韋達定理：對于一元二次方程ax2bx c 0( a 0) ，如果方程有兩個實數根x1, x2 ，則x1 x2b , x1 x2caa說明：（ 1）定理成立的條件0（2）注意公式重 x1x2b的負號與 b 的符號的區別a根系關系的幾大用處驗根：不解方程，利用根與系數的關系可以檢驗兩個數是不是一元二次方程的兩根；例如：已知方程x2-5x+6 0，下列是它兩根的是（）A 3，-2B.-2,3C.-2，-3D.3,2 求代數式的值：在不解方程的情況下，可利用根與系數的關系求關于x1和 x2 的代數式的值，如； 求作新方程：已知方程的兩個根，可利用根與系數的關

2、系求出一元二次方程的一般式 .求根及未知數系數：已知方程的一個根，可利用根與系數的關系求出另一個數及未知數系數 .（后三種為主）（1）計算代數式的值例 若 x1 , x2 是方程 x22x 20070 的兩個根，試求下列各式的值：(1)x12x22；(2)11；(3)( x15)( x25) ；(4) | x1 x2 |x1x2解： 由題意，根據根與系數的關系得：x1x22, x1 x22007(1)x12x22( x1x2 )22x1x2(2) 22(2007)4018(2)11x1x222x1x2x1 x220072007只供學習與交流此文檔僅供收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除(3) (

3、x1 5)( x2 5) x1 x2 5( x1 x2 ) 252007 5( 2) 251972(4)| x1x2 |( x1x2 ) 2( x1x2 )24x1x2( 2)24(2007)2 2008說明： 利用根與系數的關系求值，要熟練掌握以下等式變形：x12x22(x1211x1 x2， (x12(x1 x2 )2x2 )2x1x2 ，x2x1 x2x2 )4x1 x2 ，x1| xx |( xx )24 x x2， x1 x22x1 2 x2x1 x2 (x1x2 ) ，12121x13x23( x1x2 )33x1 x2 ( x1x2 ) 等等韋達定理體現了整體思想（2）構造新方程

4、理論：以兩個數為根的一元二次方程是。只供學習與交流此文檔僅供收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除例 解方程組x+y=5xy=6解：顯然， x， y 是方程 z2-5z+6 0 的兩根由方程解得z 1=2,z 2=3原方程組的解為x 1=2,y 1=3x 2=3,y 2=2顯然，此法比代入法要簡單得多。（3）定性判斷字母系數的取值范圍例 一個三角形的兩邊長是方程的兩根，第三邊長為2，求 k 的取值范圍。只供學習與交流此文檔僅供收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除解：設此三角形的三邊長分別為a、 b、 c，且 a、b 為的兩根，則c=2由題意知2 k -4 × 2×2 0， k 4

5、 或 k-4只供學習與交流此文檔僅供收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除為所求。【典型例題】例 1 已知關于 x 的方程 x2(k1)x1 k 210 ，根據下列條件，分別求出k 的值4(1) 方程兩實根的積為5；(2)方程的兩實根x1 , x2 滿足 | x1 | x2 分析： (1) 由韋達定理即可求之；(2) 有兩種可能，一是x1x20 ，二是x1x2 ，所以要分類討論解： (1)方程兩實根的積為5 (k 1) 24( 1 k 21) 034k41 k 2, kx x215214所以，當 k4 時，方程兩實根的積為5(2)由 | x1 |x2 得知：當 x10時， x1x2 ，所以方程有兩

6、相等實數根，故0k3；2當 x10時，x1x2x1x20k10k1，由于0k3，故 k1不合題意，舍去23綜上可得， k時，方程的兩實根x1 , x2 滿足 | x1 |x2 2說明：根據一元二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母的值， 務必要注意方程有兩實根的條件，即所求的字母應滿足0 只供學習與交流此文檔僅供收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除例 2 已知 x1, x2 是一元二次方程4kx24kxk10 的兩個實數根(1)是否存在實數 k ，使(2x1x2 )( x12x2 )3成立？若存在，求出 k 的值；2若不存在，請您說明理由(2)求使x1x22 的值為整數的實數k 的整數值x2x1解

7、： (1)假設存在實數 k ，使 (2x1x2 )( x12x2 )3成立2 一元二次方程 4kx24kxk1 0的兩個實數根4k0k 0，( 4k)244k(k1)16k0又 x1 , x2 是一元二次方程 4kx24kx k1 0 的兩個實數根x1x21x1 x2k14k (2 x1x2 )( x12x2 ) 2( x12x22 ) 5x1 x22( x1 x2 ) 29x1 x2k93k9，但k 04k253不存在實數 k ，使 (2 x1x2 )( x12x2 )成立2(2)x1x22x12x222( x1x2 )244k44x2x1x1 x2x1x2k 1k 1 要使其值是整數， 只

8、需 k1能被 4 整除， 故 k11, 2,4 ，注意到 k0 ，x1x22 的值為整數的實數 k 的整數值為2, 3,5 要使x1x2說明：(1)存在性問題的題型，通常是先假設存在，然后推導其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在(2) 本題綜合性較強，要學會對4 為整數的分析方法 k 1只供學習與交流此文檔僅供收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除一元二次方程根與系數的關系練習題A 組1一元二次方程 (1 k )x22x10 有兩個不相等的實數根，則k 的取值范圍是 ()A k 2B k 2, 且 k 1C k 2D k 2, 且 k 12若 x1 , x2 是方程 2x26x30 的兩個根，

9、則11的值為 ()x1x2A 2B 2C192D 2x 的方3已知菱形 ABCD 的邊長為5，兩條對角線交于O 點，且 OA、OB 的長分別是關于程 x2(2 m1)xm230 的根，則 m 等于 ()A 3B 5C5或 3D 5或34t 是一元二次方程2bx c0 ( a0)24acax的根，則判別式b和完全平方若式 M(2atb)2 的關系是 ()A MB MCMD 大小關系不能確定5若實數 ab ，且 a, b 滿足 a28a 50, b28b50 ，則代數式b1a1 的值為 ()a1b1A 20B 2C 2或 20D 2或206如果方程 (bc)x2(ca)x(ab)0 的兩根相等，

10、則 a, b, c 之間的關系是_7已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程2x28x70 的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是_8若方程 2x2(k1)xk30 的兩根之差為1，則 k 的值是 _ 9設 x1, x2 是方程 x2pxq0 的兩實根， x11, x21是關于 x 的方程 x2qxp0的兩實根，則p = _， q = _10a,b, ca62ab9，則 a= _b = _c= _已知實數滿足，只供學習與交流此文檔僅供收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除11對于二次三項式x210 x36 ，小明得出如下結論：無論x 取什么實數，其值都不可能等于 10您是否同意他的看法？請您說明理

11、由12n021mn 0m 的，關于 x 的方程x(m 2n) x有兩個相等的的正實數根，求若4n值13已知關于x 的一元二次方程x2(4 m1)x2m10 (1) 求證：不論為任何實數，方程總有兩個不相等的實數根；(2) 若方程的兩根為x1 , x2111，且滿足x2，求 m 的值x1214已知關于 x 的方程 x2( k 1)x1 k21 0 的兩根是一個矩形兩邊的長4(1) k 取何值時，方程存在兩個正實數根？(2) 當矩形的對角線長是5 時，求 k 的值B 組1已知關于x 的方程 (k1)x2(2 k3) xk10 有兩個不相等的實數根x1 , x2 (1) 求 k 的取值范圍；(2) 是否存在實數k ，使方程的兩實根互為相反數？如果存在，求出k 的值；如果不存在，請您說明理由2已知關于 x 的方程 x23xm