1、專題：拋物線與圓綜合探究題拋物線與圓綜合探究題，綜合性強，難度較大，通常都作為“壓軸題”，解此類題通常 需要熟練掌握拋物線與圓相關(guān)的基本知識和基本技能，求解時注意運用有關(guān)性質(zhì)，進行綜 合、分析、探究解題思路。例1、拋物線y = ax1 + bx + c交x軸于a、b兩點,交y軸于點c,已知拋物線的對稱 軸為兀=1, b(3,0),c(0, - 3),求二次函數(shù)y = ax2+bx + c的解析式；在拋物線對稱軸 上是否存在一點p,使點p到b、c兩點距離z差最大？若存在，求岀p點坐標；若不存在, 請說明理由；平行丁x軸的一條直線交拋物線于m、"兩點，若以為直徑的圓恰好與x 軸相切，求此

2、圓的半徑.解：(1)將 c(0, -3)代入 y = ax2 +bx + c f 得 c = -3 將 c = -3, b(3,0)代入y = ax2 +bx + c ,得 9q + 3b + c = 0 . t x = 1 是對稱軸，/.=1 .將(2)代入(1)得a = l, b = -2.二次函數(shù)得解析 2a式是，二兀2一2兀一3(2) ac與對稱軸的交點p即為到b、c的距離z差最大的點 tc點的坐標為(0,-3), a點的坐標為(1,0),直線4c的解析式是y = -3x-3, 乂對稱軸為x = ,:.點p的坐標(1,-6) .(3)設m(%j, y) > n(x2,y),所求圓

3、的半徑為 r,貝ij x2 = 2r , .(1) * 對稱軸為 x = 1 , /.七+則=2.(2)由(1)、(2)得：兀2二廣+1心)將川(廠+ 1,刃代入解析式y(tǒng) = x2-2x-3,得 y =(廠+ 1)2_2(廠 + 1) 3, .(4)整理得：y = r2-4.山于 r=±y, 當y0時，r2-r-4 = 0,解得，廠=“嚴, r2(舍去)，當時,r2 + r-4 = o,解得，=z!±i!i,二丄山(舍去).所以鬪的半徑是2 - 2 2 或-1 + v17例2、已知：在平面玄角坐標系xoy中，一次函數(shù)y=kx-4k的圖彖與x軸交于點a,拋物線y = ax+b

4、x + c經(jīng)過0、a兩點。試用含a的代數(shù)式表示b；設拋物線的頂點 為d,以d為圓心，da為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分。若將劣弧沿x軸 翻折，翻折后的劣弧落在od內(nèi)，它所在的圓恰與0d相切，求0d半徑的長及拋物 線的解析式；設點b是滿足屮條件的優(yōu)弧上的一個動點，拋物線在x軸上方 的部分上是否存在這樣的點p,使得zpoa = -zoba若存在，求出點p的坐標;3若不存在，請說明理由。（1）解法一：一次函數(shù)y = kx-4k的圖象與x軸交于點a點a的坐標為（4, 0） v拋物線 y = ax2 +bx + c 經(jīng)過 0、a 兩點 /. c = 0a6a + 4/? = 0 /. b = -4

5、a解法二：一次函數(shù)y = kx-4k的圖象與x軸交丁-點a點a的坐標為（4, 0） 拋物線y = ax2 +bx + c經(jīng)過0、a兩點拋物線的對稱軸為直線x = 2 x = 22a（2）解：山拋物線的對稱性可知，do=da點0在od±，且zdoa=zdao又山（1）知拋物線的 解析式為y = ax2 -4ax 點d的坐標為（2, -4a ） 當a >0時， 如圖1,設。d被x軸分得的劣弧為oma ,圖2它沿x軸翻折后所得劣弧為總，顯然氐所在的圓與od關(guān)于x軸對稱,設它的闘心為以點d'與點d也關(guān)于x軸對稱點0在od*±，且0d與od'相切點0為切點d&#

6、39;o丄0d azd0a=zd，0a=45° a a-4a = -2ado為等腰直角三和形.od = 2vi點d的縱坐標為一2ici 9 b = 4a = -2 2拋物線的解析式為y = -x2-2x當ovo時， 同理可得：od = 2邁 拋物2線的解析式為y =-丄兀$ + 2x綜上，od半徑的長為22 ,拋物線的解析式為y = -x2-2x或y =昇+2兀（3）解答：拋物線在x軸上方的部分上存在點p,使得zpoa = -zoba 設點p的坐標為（x, 3y), jdl y>0當點p在拋物線y一2兀上時（如圖2）點b是（dd的優(yōu)弧上的一點:.zpoa=-zoba = 6()

7、° 過點 p 作 pe丄x3%)=44-2a/3 jx2 = 0 y =6 + 4-73=°.zoba = -zado = 45°2ep :.tanzpoe =oe軸于點 ea z = tan 6()°xy = y/3x(舍去)點p的坐標為(4 + 23,6 + 473)當點p在拋物線y =-丄f +2兀上時(如圖3)2同理可得，y =山vx =4-23 區(qū)=0 (舍去)點p的= -6 4- 4v3歹2 =°坐標為(4-2v3,-6 + 4a/3)綜上，存在滿足條件的點p,點p的坐標為(4 + 2循,6 + 4侖)或(4 - 23»-

8、 6 + 43)例3、如圖，在直角坐標系中,oc過原點0,交x軸t點a(2, 0),交y軸于點b(0, 23 )。求i員i心的朋標；拋物線y=ax'+bx + c過0、a兩點，且頂點在正比例函數(shù) y=_傘的圖象上，求拋物線的解析式；過圓心c作平行八軸的線de,交oc 丁-d、e兩點，試判斷d、e兩點是否在屮的拋物線上；若屮的拋物 線上存在點p (xo, yo),滿足zapb為鈍角，求x。的取值范圍。解：(1) voc經(jīng)過原點0,ab為oc的直徑。c為ab的中點。過點c作ch垂直x軸于點h,則有ch=-0b=>/3 , 0h=-0a=k a圓心c的坐標為(1, v3 )o(2) 拋

9、物線過0、a兩點，拋物線的對稱軸為x=lo v拋物線的頂點在直線y=-亍上，.頂點坐標為(1,朋標代入拋物線拋物線y=2+bx + c,得c = 04a + 2b + c = 0a+b+c="=t拋物線的解析式為b亠3c = 0呻*點的(3) v0a=2, 0b=2, a ab = 4即oc的半徑r=2oad(3,巧)，e(-1，q代入尸豐宀琴兀檢驗,知點d、e均在拋物線上(4)vab2 2為直徑，.當拋物線上的點p在oc的內(nèi)部時,滿足zapb為鈍角。一1vxovo,或2<x0<3o(a<0)又拋物線例4、如圖,已知拋物線的頂點坐標為m(l,4),且經(jīng)過點n(2,3

10、), 點(點a在點b左側(cè)),與y軸交于點co求拋物線的解析式及點a、b、 c的坐標；若直線y=kx+t經(jīng)過c、m兩點，且與x軸交于點d,試證明 四邊形cdan是平行四邊形；點p在拋物線的對稱軸x=l上運動，請?zhí)?索：在x軸上方是否存在這樣的p點，使以p為圓心的圓經(jīng)過a、b兩點， 并且與直線cd和切，若存在，請求出點p的處標；若不存在，請說明理由。解:(1)由拋物線的頂點是m (1, 4),設解析式為y=a (x-1)2+4經(jīng)過點n (2, 3),所以3=a (2-1)2+4 解得a=-l 所以所求拋物線的解析式為y = (x1嚴+4= x?+2x+3.令 y=0,得一x2+2x+3=0,解得：

11、x= 1, x2=3.得 a (1, 0)b (3, 0)；令 x = 0,得 y = 3,所以 c (0, 3).(2)直線y=kx+t經(jīng)過c、1兩點，所以f3 即k = l, t=3肓線解析式為y = xk+t=4+3. 令y=0,得x = -3,故d (-3, 0)cd=3>/2 連接an,過n做x軸的垂線，垂足為f. 設過a、n兩點的肓線的解析式為y=mx + n,貝"一°解得m=1, n = i2m+n=3所以過a、n兩點的直線的解析式為y=x+l所以dc>7an. 在rtaanf中，an=3, nf=3,所以an= 3a/2 所以dc=ano 因此四

12、邊形cdan是平行四邊形.(3)假設在x軸上方存在這樣的p點，使以p為圓心的圓經(jīng)過a、b兩點，并且與直線cd相切，設p(1, u)其中u>0,則pa是圓的半徑且pa2=i+22過p做直線cd的垂線，垂足為q,則pq=pa時以p為圓心的圓與直線cd相切。由第(2)小題易得：amde為等腰直角三角形，故pqm也是等腰直角三角形，由p(l, u)得pe=u, pm=|4-u|, pq = 拋物線頂點坐標；過a、b、c的三點的om交y軸于另一點d,連結(jié)dm并延長交om于點e, 過e點的om的切線分別交x軸、y軸于點f、g,求直線fg的解析式；(3)在條件下,設p為 頜上的動點(p不與c、d重合)

13、，連結(jié)pa交y軸于點h,問是否存在一個常數(shù)k,始終滿足 ahap=k,如果存在，請寫出求解過程；如果不存在，請說明理由.pm _ 4-u由pq2=pa2得方程:字"+負解得u = -4±2亦，舍去負值u=-4-26 ,符合題意的u=-4+2a/6，所以，滿足題意的解：由拋物線可知，點c的坐標為(0, m),且m<0.設 a (xi, 0), b (x2, 0).則有 xr x2=3m 又 0c 是 rtaabc 的斜邊上的高,aaaocacob ._- _, 即 xix2= m2 = 3m, 解得 m=0 或 m=oc ob - m x2in u1-3 jfum<

14、;0,故只能取 m= 3 這吋，y = -x2- x-3 = -(x-v3)2-4333故拋物線的頂點朋標為(jl -4)解法一：由已知可得：m ( v3 , 0), a (-v3 , 0), b (3a/3 , 0), c (0, -3),d (0,3) t拋物線的對稱軸是x= v3 ,也是(dm的對稱軸，連結(jié)cevde是om的直徑,azdce = 90° , 直線x=v3 ,垂直平分ce, ae點的坐標為(2語，-3)oa _ om7)cod,za0c=zd0m=90° , a zac0=zmd0=30° ,3/.ac/detacicb,cb丄de 乂 fg丄

15、de,afg/cb hi b (3l 0)、c (0, -3)兩點的坐標易求直線 cb的解析式為:y=t%_3可設直線fg的解析式為y=+ n,把(2 jl -3)代入求得n=5故直線eg的解析式為y=x 一53解法二：令 y=0,解兀2x 3=0 得 xi = v3，x2=3a/3 ,即 a ( v3 ,330), b (3巧，0)根據(jù)圓的對稱性，易知：om半徑為23 , m ( v3 , 0)在rtaboc中，zb0c = 90° , 0b=3v3 , 0c=3zcb0=30° ,同理，z0dm = 30°。jfu'zbme=zdmo, zd0m=90

16、o , adeibcvdeifg,：.c/fgzefm = zcbo=30° 在 rtaefm 中，zmef=90° , me=2 巧，zfem=30° , amf=4v3 ,.0f=0m+mf = 5 jl .f 點的坐= 5ag點的坐標為(0,標為(5a/3 , 0)在 rtaofg 中，og=of tan30°-5).直線fg的解析式為y=*-5倆法二的評分標準參照解法酌定)cc解法一：存在常'數(shù)k=12,滿足ahap=12連結(jié)cp山垂徑定理可知=zp=zach（或利用zp=zabc=zaco）又vzcah=zpac,ac apaachaa

17、pca = 即 ac2=ah ap 在 rtaaoc 屮，ac2 ah ac=ao2+oc2= （ v3 ） 2+32=12 （或利用 ac2=a0 ab=v3 x1v3 =12 a ah ap=12解法二 存在常數(shù)k=12,滿足ahap = 12設ah = x, ap=y由相交弦定理得 iidhc = ahhp 即(3_ j兀2 _3)(3 +(兀 _3)=兀(,_兀)化簡得：xy=12 即 ah ap=12練習:1、拋物線y = ax2 +bx + c (a vo)交兀軸于點a(-l,0)、b(3,0), 交y軸于點c,頂點為dt以bd為直徑的om恰好過點c. (1)求頂點d的 坐標(用。的代數(shù)式表示)；(2)求拋物線的解析式；(3)拋物線上是否存在點p使為直角三角 形？若存在，求出點p的處標；