1、1高中數學必修二空間幾何體1.11.1 空間幾何體的結構棱柱定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊 形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、 五棱柱等。表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如 五棱柱ABCDEABC D E幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行 且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形， 由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、 五棱

2、錐等表示：用各頂點字母，如五棱錐PABCDE幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似, 到截面距離與高的比的平方。其相似比等于頂點棱臺定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間 的部分分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱態、四棱臺、 五棱臺等表示：用各頂點字母，如四棱臺 ABCDABCD ABCDABCD幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形側面是梯形圓柱定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其余三邊旋轉所成的 曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面 圓的半徑垂直；側面展開圖是一個矩形。1賦側棱交于原棱錐的頂點23圓錐 定義

3、：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一周所成的 曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側面 展開圖是一個扇形。圓臺定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之 間的部分幾何特征：上下底面是兩個圓；側面母線交于原圓錐的頂點; 側面展開圖是一個弓形。球體定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的 幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點到球心的距離等 于半徑。1.21.2 空間幾何體的三視圖和直觀圖1 1 中心投影與平行投影中心投影：把光由一點向外散射形成的投影叫做中心投影 平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影 2.2.三視圖正

4、視圖：從前往后3.3.直觀圖：斜二測畫法斜二測畫法的步驟：（1 1）. .平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；（2 2）. .平行于 y y 軸的線長度變半，平行于 x x, z z 軸的線長度不變;（3 3）. .畫法要寫好。側視圖：從左往右 俯視圖：從上往下畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等41.31.3 空間幾何體的表面積與體積(1)幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。(2)特殊幾何體表面積公式(c c 為底面周長，h h 為高，h為斜高，| |為母線)空間點、直線、平面的位置關系公理 1 1:如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線是所有的點都在這個平面內。(即直線在平面內，

5、或者平面經過直線)應用：判斷直線是否在平面內用符號語言表示公理 1 1: A l,B l,A ,B l公理 2 2:經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理 2 2 及其推論作用：它是空間內確定平面的依據它是證明平面重合的依據公理 3 3:如果兩個不重合的平面有一個公共點， 那么它們有且只有一條過該點的公共直線 符號： 平面 a 和 B相交，交線是 a a，記作 aGB= a a。符號語言：P AI B AI B l,P l作用：1它是判定兩個平面相交的方法。2它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關

6、系：交線必過公共點。3它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據。公理 4 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行空間兩條直線的位置關系位置關系公共點的個數共面直線相交直線在同一個平面內，有且僅有一個公共點平行直線在同一個平面內，沒有公共點異面直線不同在任何一個平面內，沒有公共點直線與平面的位置關系位置關系公共點的個數S圓錐側面積rls正棱臺側面積扣c2)hS2S圓臺側面積(r R)lS圓柱表2r r r rlS圓錐表r r r r l ls圓臺表r2rl Rl(3 3)柱體、 ，錐體、臺體的體積公式V V柱ShShV V圓柱ShShr r2h h1小V錐ShV圓錐1r2hr h31V臺

7、3(sSSSS1 1S)hV V圓臺(S(S,SS,SS1 12S)h3 3(rrRrR R R2) ) h h球體的表面積和體積公式：V V球= =31S直棱柱側面積chS圓柱側2 rhS正棱錐側面積勺chR24 R3S S球面= =4 R25直線在平面內直線上有兩個點在平面內，則這條直線上的所有 點都在平面內直線在平面外直線和平面相交直線與平面有且僅有一個公共點直線和平面平行 n n直線與平面沒有公共點空間直線與直線之間的位置關系1異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線2異面直線性質：既不平行，又不相交。3異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線4

8、異面直線所成角：直線 a a b b 是異面直線，經過空間任意一點 0 0,分別引直線 aa/ a a, b b / b b,則把直線 aa和 bb所成的銳角(或直角)叫做異面直線 a a 和 b b 所成的角。兩條異面直線 所成角的范圍是(0 0, 9090 ,若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這 兩條異面直線互相垂直。說明：(1 1)判定空間直線是異面直線方法：根據異面直線的定義；異面直線的判定定 理(2 2)在異面直線所成角定義中，空間一點 O O 是任取的，而和點 O O 的位置無關。 求異面直線所成角步驟：A A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的

9、位置，頂點 選在特殊的位置上。B B、證明作出的角即為所求角C C、利用三角形來求角(7(7)等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。三種位置關系的符號表示：a a a a aGa = A Aa a/a(8(8)平面與平面之間的位置關系：平行一一沒有公共點；a/B相交- 有一條公共直線aQB= b b空間中的平行問題直線和平面平行：直線 l 與平面 沒有公共點，則稱直線 I 與平面 平行，記作1/兩個平面平行：沒有公共點的兩個平面叫做平行平面。(1)直線與平面平行的判定及其性質線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行，則該直線與此平面平行aba

10、 / /b線線平行線面平行a/6線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平 面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。aaa/ bb線面平行線線平行(2)平面與平面平行的判定及其性質 兩個平面平行的判定定理：1如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行a/b/al b Pa, b線面平行面面平行2如果兩個平面同垂直于一條直線，那么這兩個平面平行l l/l l/兩個平面平行的性質定理(1)(1)如果兩個平面平行，那么在一個平面內的所有直線都平行于另一個平面/且aa/(面面平行一線面平行)(2)(2)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線

11、平行/a a/ bb平行于同一個平面的兩個平面平行/ /7（面面平行 f 線線平行）（3 3）如果兩個平行平面中有一個垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線/且II空間角問題（1 1）直線與直線所成的角1兩平行直線所成的角：規定為02兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。3兩條異面直線所成的角：過空間任意一點0 0,分別作與兩條異面直線 a a，b b 平行的直線a , b，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。范圍：0,-0,-2 2（2 2）直線和平面所成的角1平面的平行線與平面所成的角：規定為 0 0。

12、平面的垂線與平面所成的角：規定為903平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。在“作角”時依定義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設中兩個主要信息：（1 1）斜線上一點到面的垂線；（2 2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質易得垂線。范圍：0,0,2 2（3 3）二面角和二面角的平面角1二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做 二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面

13、。2二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個 面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面 角的平面角。 3直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角， 那么這兩個平面垂直； 反過來，如果兩個平 面垂直，那么所成的二面角為直二面角4求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關點，過這個點分別在兩個面內作垂直于棱的射線得到平面角 垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角 為二面角的平面角 范圍：0,0,8空間中的垂直問題(1 1)線線、面面、線面垂直的定義1兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角

14、，就說這兩條異面直線互相垂 直。2線面垂直：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面 垂直。3平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角(從一條直線出發的兩個半平面所 組成的圖形)是直二面角(平面角是直角)，就說這兩個平面垂直。(2)(2)線線垂直定義：直線 I I 與平面 a 內的任意一條直線都垂直，就說直線 I I 與平面 a 互相垂直.該直線 叫做平面的垂線，該平面叫做這條直線的垂面線面垂直的性質：ab b線面垂直的判定定理判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線 垂直于這個平面a abb, c注意點：定理中的“兩條相交直線”這一

15、條件不可忽視；推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直這個平面a a / b b? ? b b 丄 aa a 丄 a線面垂直的性質定理(1)垂直于同一個平面的兩條直線平行a aa a / / /b./b.b b(2)如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面a/ba/bb ba a三垂線定理： 平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直三垂線定理的逆定理：平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也b b9和這條斜線的射影垂直(3)面面垂直定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，

16、就說這兩個平面互相 垂直. .面面垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面 - - -面面垂直的性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直I ba aa b直線與方程(1) 直線的傾斜角：對于一條與 x x 軸相交的直線，如果把 x x 軸繞著交點按逆時針方向旋轉 到和直線重合時，所轉的最小正角叫做直線的傾斜角直線的傾斜角 取值范圍是 O OWaV 180180(2) 直線的斜率定義： 傾斜角不是 9090的直線， 它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。 直線的斜率常 用 k k 表示。 即 k tan 。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當0,90時，k k

17、 0 0;當90 ,180時，k k 0 0; 當90時，k k 不存在。過兩點的直線的斜率公式：k k 塵丄(洛 x x2) )4截矩式：x y1 其中直線 I I 與x軸交于點(a,0)，與 y 軸交于點(0,b), ,即卩 I I 與x軸、y 軸的截a b距分別為 a,b。5一般式：Ax By C 0(A A，B B 不全為 0 0)(4)直線系方程：即具有某一共同性質的直線(一)平行直線系平行于已知直線Ax By C。0(SB。是不全為 0 0 的常數)的直線系：斜截式：y kx b，直線斜率為 k k，直線在 y y 軸上的截距為 b b(3(3)直線方程點斜式：y y1k(x xj

18、直線斜率 k k，且過點冷兩點式:y %y2y1二(兒x2,y1 y2)直線兩點 s，x2，y210Ax By C 0（C C 為常數）(二)過定點的直線系11（i ）斜率為 k k 的直線系：y yok X Xo，直線過定點心丫。；（ii）過兩條直線li: AXBiy Ci0,I2: A?xB?yC20的交點的直線系方程為Ax By GA2X B2y C20（為參數），其中直線 J 不在直線系中。（5 5）兩直線平行與垂直當 l li: : y yk kix xb bi，I I2: : y yk k?x x b b?時，11/12kk?, bib2；1112kk?i注意：利用斜率判斷直線的平

19、行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（6 6）兩點間距離公式：設人（知），（X2,y2）是平面直角坐標系中的兩個點，則 |AB| .（X2Xi）2（y2yi）2（7 7） 點到直線距離公式：一點P Xo, yo到直線 l li: : AxAx ByBy C C 0 0 的距離d_Axo_Byo_cB78 8）兩條平行線間的距離公式：兩條平行線li: Ax By Ci0與li: Ax By C20間的距離d_Ci_C2_JA2B2-圓的方程i i 定義：平面內到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓。定點就是圓心，定長就 是半徑一般采用待定系數法：先設后求。 確定一個圓需要三個獨立條件，若利用

20、圓的標準方程, 需求出 a,a, b b，r r；若利用一般方程，需要求出 D D，E E，F F；另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位置點、線、圓的位置關系：直線與圓的位置關系 有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：（1 1）設直線l : Ax By C 0,圓C: x a2y b2r2，圓心 C C a,ba,b 至 U U I I 的距離為(2 2)般方程x22yDx Ey F0當 D D2E E24F4F0 0 時, 方程表示圓，此時圓心為當D2E24F0時, 表示個點DE-,2,2當D2E24F0時，方程不表示任何圖形。2 2 圓的方程（i i）標準方程 x x2ay b2r2，圓心a, b，（3 3）求圓方程的方法:2 2 1 1，半徑為r2 2