1、排列組合知識點總結+典型例題及答案解析基本原理1 加法原理：做一件事有 n 類辦法，則完成這件事的方法數等于各類方法數相加。2.乘法原理：做一件事分 n 步完成，則完成這件事的方法數等于各步方法數相乘。注：做一件事時，元素或位置允許重復使用，求方法數時常用基本原理求解。二.排列：從 n 個不同元素中，任取 m ( mWn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所 有排列的個數記為A；.中任取 m 個元素的組合數，記作 Cn。1.公式：1.An n 1 nn!n m !冷工用，刃Al,聊AO,酪2 $訊冬月 2)2 1規定：0!(1)n! n (n 1)!,

2、( n 1) n!(n 1)!n!(n 1) 1 n! (n 1) n! n! (n 1)! n!;(n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)! n!1(n 1)!三.組合：從 n 個不同元素中任取 m( mWn)個元素并組成一組，叫做從 n 個不同的m 元素1.公式：cmAn n 1. nm 1Am!m! n m !n!_起工燒，評工1,搐工Q,梢 蛾皂N 規定.c2組合數性質：CCnm,CCnm 1C1,C0C1C；2n：-；注：C：C；!Crr2L C爲cnCr 1 r：r：1：r：1r 1Cr 1Cr 2L Cn 1CnCr 2Cr 2L Cn 1CnCn 1若C四.處理排列

3、組合應用題1.明確要完成的是一件什么事(審題)有序還是無序分步還是分類2. 解排列、組合題的基本策略（1） 兩種思路：直接法；間接法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解 決排列組合應用題時一種常用的解題方法。（2） 分類處理：當問題總體不好解決時，常分成若干類，再由分類計數原理得出結論。注意:分類不重復不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。（3） 分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類， 后分步。（4）兩種途徑：元素分析法；位置分析法

4、。3. 排列應用題：（1）窮舉法（列舉法）：將所有滿足題設條件的排列與組合逐一列舉出來；（2）、特殊元素優先考慮、特殊位置優先考慮；（3） .相鄰問題：捆邦法：對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一 “大”元素與 其余元素排列，然后再對相鄰元素內部進行排列。（4） 、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空 法.即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩 端的空隙之間插入。（5） 、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全

5、排列，然后用總的排列數除于這幾個元素的全排列數。 即先全排，再除以定序元素的全排列 解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對其他元素進行排列，剩余的幾個 位置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列， 則只有 1 種排法；若不要求， 則有 2 種排法；（6） “小團體”排列問題一一采用先整體后局部策略對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團體”時，可先將“小團體”看作一個元素與其余元素排列，最后再進行“小團體”內部的排列。（7） 分排問題用“直排法”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（8） .數字問題（組成無重復數字的整數）1能被 2 整除的數的特征：

6、末位數是偶數；不能被 2 整除的數的特征：末位數是奇數。能被 3 整除的數的特征：各位數字之和是 3 的倍數；能被 9 整除的數的特征：各位數字之和是 9 的倍數能被 4 整除的數的特征：末兩位是 4 的倍數。能被 5 整除的數的特征：末位數是 0 或 5。能被 25 整除的數的特征：末兩位數是 25, 50, 75。能被 6 整除的數的特征：各位數字之和是 3 的倍數的偶數。4.組合應用題：（1）.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法：（2）. “含”與“不含”用間接排除法或分類法：3. 分組問題：均勻分組：分步取，得組合數相乘，再除以組數的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合數

7、相乘。即組合處理。混合分組：分步取，得組合數相乘，再除以均勻分組的組數的階乘。4. 分配問題：定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數，分步取，得組合數相乘。隨機分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數的階乘。5.隔板法：不可分辨的球即相同元素分組問題例 1.電視臺連續播放 6 個廣告，其中含 4 個不同的商業廣告和 2 個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有 _ 種不同的播放方式（結果用數值表示）.解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有A2種；中間4個為不同的商業廣告有A4種，從而 應當填A22 A4= 48

8、.從而應填 48.例 3.6 人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？解一：間接法：即A6A5A5A4720 2 120 24 504解二：（1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.（1）甲排在最右端時，有A；種排法；（2）甲不排在最右端（甲不排在最左端）時，則甲有Ai種排法，乙有A：種排法，其他人有A44種排法，共有A4A4A：種排法，分類相加得共有 岸+冗A；A4=504 種排法例.有 4 個男生，3 個女生，高矮互不相等，現將他們排成一行，要求從左到右，女生 從矮到高排列，有多少種排法？分析一：先在 7 個位置上任取 4 個位置排男生，有 A7種排法.剩余的 3 個位

9、置排女生，因要 求“從矮到高”，只有 1 種排法，故共有 A4 1=840 種.1.從 4 臺甲型和 5 臺乙型電視機中任取 3 臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺， 則不同的取法共有解析 1:逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有C；C：C；70種,選.C解析 2:至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型 1 臺乙型 2 臺；甲型 2 臺乙型1 臺；故不同的取法有C52C4C5C270臺,選C.2.從 5 名男生和 4 名女生中選出 4 人去參加辯論比賽+（1） 如果 4 人中男生和女生各選 2 人，有_ 種選法；（2）如果男生中的

10、甲與女生中的乙必須在內，有 _種選法；（3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有 1 人在內，有_種選法；（4）如果 4 人中必須既有男生又有女生，有 _ 種選法.分析：本題考查利用種數公式解答與組合相關的問題.由于選出的人沒有地位的差異，所以是 組合問題.解：（1）先從男生中選 2 人，有C52種選法，再從女生中選 2 人，有C：種選法，所以共有C；C：=60 （種）；（2）除去甲、乙之外，其余 2 人可以從剩下的 7 人中任意選擇，所以共有C；C；=21 （種）；（3） 在 9 人選 4 人的選法中， 把甲和乙都不在內的去掉， 得到符合條件的選法數： Cg C；=91 （種） ；直接法，則可

11、分為3 類：只含甲；只含乙；同時含甲和乙，得到符合條件的方法數de；c；c；c；c；C C73c|=91 （種）.（4）在 9 人選 4 人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數e4e5C4=120（種）.直接法：分別按照含男生 1、2、3 人分類，得到符合條件的選法為c5c：C；C2C；c4=12O （種）.1. 6 個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐 4 人，則不同的乘車方法數為（）C3A. 40B. 50C. 60D. 70解析先分組再排列，一組 2 人一組 4 人有 C6= 15 種不同的分法；兩組各 3 人共有A=10 種不同的分法，所以乘車方法數為 25X2 =

12、 50,故選 B.2.有6個座位連成一排，現有 3 人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有（）A. 36 種B. 48 種 C . 72 種D. 96 種解析恰有兩個空座位相鄰，相當于兩個空位與第三個空位不相鄰，先排三個人，然后插空，從而共 A3A4= 72 種排法，故選 C.3.只用 1,2,3 三個數字組成一個四位數，規定這三個數必須同時使用，且同一數字不能相鄰出現，這樣的四位數有（）A. 6 個B. 9 個 C . 18 個D. 36 個解析注意題中條件的要求，一是三個數字必須全部使用，二是相同的數字不能相鄰，選 四個數字共有 C= 3（種）選法，即 1231,1232,1233，而每

13、種選擇有 AxC= 6（種）排法，所以 共有 3X6=18（種）情況，即這樣的四位數有 18 個.4. 男女學生共有 8 人，從男生中選取 2 人，從女生中選取 1 人，共有 30 種不同的選法，其中女生有（）A. 2 人或 3 人 B . 3 人或 4 人 C . 3 人 D . 4 人解析設男生有n人，則女生有（8 n）人，由題意可得 CCL = 30,解得n= 5 或n= 6,代 入驗證，可知女生為 2 人或 3 人.5.某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10 級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規定從二樓到三樓用 8 步走完，則方法有（）A. 45 種B. 36 種 C . 28 種D

14、. 25 種解析因為 10 寧 8 的余數為 2,故可以肯定一步一個臺階的有 6 步，一步兩個臺階的有 2 步，那么共有 C8= 28 種走法.6某公司招聘來 8 名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不 能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門，則不同的分配方案共 有( )A24 種B36 種 C 38 種D108 種 解析本題考查排列組合的綜合應用，據題意可先將兩名翻譯人員分到兩個部門，共有 2 種方法，第二步將 3 名電腦編程人員分成兩組，一組 1 人另一組 2 人，共有 C3種分法，然后 再分到兩部門去共有C3A2種方法，第三步只需將其他 3

15、人分成兩組，一組 1 人另一組 2 人即 可，由于是每個部門各 4 人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有C 種方法，由分步乘法計數原理共有2C3A2C3=36(種).7.已知集合A=，B= 1,2 ,C-1,3,4，從這三個集合中各取一個元素構成空間 直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數為 ()A. 33B. 34 C . 35D. 36解析所得空間直角坐標系中的點的坐標中不含1 的有 C A3=12 個；2所得空間直角坐標系中的點的坐標中含有1 個 1 的有 C A3+A3=18 個；3所得空間直角坐標系中的點的坐標中含有 2 個 1 的有 C = 3 個.故共有符合條件的

16、點的個數為 12+18+ 3 = 33 個，故選 A.8.由1、2、3、4、5、6 組成沒有重復數字且 1、3 都不與 5 相鄰的六位偶數的個數是 ()A. 72B. 96 C . 108D. 144解析分兩類：若 1 與 3 相鄰，有 A CAA72(個)，若 1 與 3 不相鄰有 A3 A = 36(個)故共有 72+ 36= 108 個.9. 如果在一周內 (周一至周日 )安排三所學校的學生參觀某展覽館， 每天最多只安排一所學校，要求甲學校連續參觀兩天，其余學校均只參觀一天，那么不同的安排方法有 ()解析先安排甲學校的參觀時間，一周內兩天連排的方法一共有 6 種：1,2）、（2,3）、（

17、3,4）、（4,5）、（5,6）、（6,7），甲任選一種為 C6,然后在剩下的 5 天中任選 2 天有序地安排其余兩所 學校參觀，安排方法有 A5種，按照分步乘法計數原理可知共有不同的安排方法（C A2= 120 種， 故選 C.10._ 安排 7位工作人員在 5 月 1日到 5月 7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不 能安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有_中.（用數字作答）解析先安排甲、乙兩人在后 5 天值班，有A5=20（種）排法，其余 5 人再進行排列，有氏=120（種）排法，所以共有 20X120= 2400（種）安排方法.11 .今有 2 個紅球、3 個黃球、

18、4 個白球，同色球不加以區分，將這 9 個球排成一列有 _種不同的排法.（用數字作答）解析由題意可知，因同色球不加以區分，實際上是一個組合問題，共有 C4C C3= 1260（種）排法.12._將 6 位志愿者分成 4 組，其中兩個組各 2 人，另兩個組各 1人，分赴世博會的四個不同 場館服務，不同的分配方案有種（用數字作答）.C2C2解析先將 6 名志愿者分為 4 組，共有 A2種分法，再將 4 組人員分到 4 個C2. C2不同場館去，共有 A!種分法，故所有分配方案有：- A!= 1 080 種.13._ 要在如圖所示的花圃中的 5 個區域中種入 4 種顏色不同的花，要求相鄰區域不同色，

19、 有中不同的種法（用數字作答）.A. 50 種B. 60 種 C . 120 種D. 210 種解析5 有 4 種種法，1 有 3 種種法，4 有 2 種種法.若 1、3 同色，2 有 2 種種法，若 1、3 不同色，2 有 1 種種法，二有 4X3X2X（1X2+ 1X1） = 72 種.14.將標號為 1, 2, 3, 4, 5, 6 的 6 張卡片放入 3 個不同的信圭寸中.若每個信圭寸放 2 張，其中標號為 1, 2 的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A） 12 種（B） 18 種（Q 36 種（D） 54 種【解析】標號 1,2 的卡片放入同一封信有 G 種方法；其他四封信放入兩

20、個信封，每個信封兩I廣：乂擁&乂/二址個有芯種方法，共有圧_種，故選 B.15.某單位安排 7 位員工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，則不同的安排方案共有A. 504 種 B. 960種 C. 1008 種 D. 1108 種 解析：分兩類：甲乙排 1、2 號或 6、7 號共有2A；A：A：種方法甲乙排中間，丙排 7 號或不排 7 號，共有 4A；（A：A3A；A；）種方法故共有 1008 種不同的排法排列組合二項式定理1, 分類計數原理 完成一件事有幾類方法

21、，各類辦法相互獨立每類辦法又有多種不同的辦法（每一種都可以獨立的完成這個事情）分步計數原理 完成一件事，需要分幾個步驟，每一步的完成有多種不同的方法2, 排列排列定義：從 n 個不同元素中，任取 m（ me n）個元素（被取出的元素各不相同），按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列。排列數定義；從 n 個不同元素中，任取 m（men）個元素的所有排列的個數3,組合組合定義 從 n 個不同元素中，任取 m( me n)個元素并成一組，叫做從n 個不同元素中取出 m 個元素的一個組合組合數 從 n 個不同元素中，任取 m(me n)個元素的所有組合個數排列組合題

22、型總結一. 直接法1 特殊元素法例 1 用 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6 這 6 個數字組成無重復的四位數，試求滿足下列條件的四位數各有多少個(1) 數字 1 不排在個位和千位(2)數字 1 不在個位，數字 6 不在千位。分析：(1)個位和千位有 5 個數字可供選擇A，其余 2 位有四個可供選擇A2，由乘法原理：A|A2=2402 .特殊位置法(2) 當 1 在千位時余下三位有A；=60 , 1 不在千位時，千位有A4種選法，個位有A4種，余下的有A：，共有A；A4A：=192所以總共有 192+60=252二間接法當直接法求解類別比較大時，應采用間接法。如上例中(2)可用間接法A

23、：2A；A=252例：有五張卡片，它的正反面分別寫 0 與 1 , 2 與 3, 4 與 5, 6 與 7 , 8 與 9，將它們任意三張并排放在一 起組成三位數，共可組成多少個不同的三位數？ 分析：:任取三張卡片可以組成不同的三位數C；23A個，其中 0 在百位的有C：22A；個，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數C；23A3-C422A；=432公式m=n!An(n m)!規定 0! =1mCn=n!m!( n m)!性質mn mCn=CnCn例：三個女生和五個男生排成一排（1） 女生必須全排在一起 有多少種排法（捆綁法）（2） 女生必須全分開（插空法須排的元素必須相鄰）（3） 兩端不

24、能排女生（4） 兩端不能全排女生（5） 如果三個女生占前排，五個男生站后排，有多少種不同的排法二.插空法當需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。例 3 在一個含有 8 個節目的節目單中，臨時插入兩個歌唱節目，且保持原節目順序，有多少中插入方法？ 分析：原有的 8 個節目中含有 9 個空檔，插入一個節目后，空檔變為 10 個,故有A；Ai1o=100 中插入方法。三.捆綁法當需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。1 四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有_種（C2A；）,2，某市植物園要在 30 天內接待 20 所學校的學生參觀，但每天只能安排一所學校，

25、其中有一所學校人數較多，要安排連續參觀 2 天，其余只參觀一天，則植物園 30 天內不同的安排方法有（C；9A29）（注意連續參 觀 2 天，即需把 30 天種的連續兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有C；9其余的就是 19 所學校選 28 天進 行排列）四.閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例 5 某校準備組建一個由 12 人組成籃球隊，這 12 個人由 8 個班的學生組成，每班至少一人，名額分配 方案共_ 種。分析：此例的實質是 12 個名額分配給 8 個班，每班至少一個名額，可在 12 個名額種的 11 個空當中插 入 7 塊閘板，一種插法對應一種名額的分配方式，故有C1種五平均分推問題例：6 本不同的書按一下方式處理，各有幾種分發?（1）平均分成三堆，(2)平均分給甲乙丙三人(3)一堆一本，一堆兩本，一對三本甲得一本，乙得兩本，丙得三本（一種分組對應一種方案）1，分出三堆書（ai,a2） ,（a3,a4），（a5,a6）由順序不同可以有A3=6 種，而這 6 種分法只算一種分2 2 2C6C4C2五.合并單元格解決染色問