1、教材教材: :原子物理學原子物理學, ,楊福家楊福家, ,高教社高教社,2008,2008第四版第四版Manufacture: Zhu Qiao ZhongZhu Qiao Zhong第三章第三章量子力學導論量子力學導論An Introduction to Quantum Mechanics2第三章量子力學導論第三章量子力學導論第三章量子力學導論3-1玻爾理論的局限性玻爾理論的局限性3-2實物粒子的波粒二象性實物粒子的波粒二象性3-3海森堡不確定關系海森堡不確定關系3-4波函數及其統計解釋波函數及其統計解釋3-5薛定諤方程薛定諤方程*3-6 量子力學中的一些理論和方法量子力學中的一些理論和方法

2、*3-7 氫原子的薛定諤方程解氫原子的薛定諤方程解目錄目錄3第三章量子力學導論3-13-1玻爾理論的局限性玻爾理論的局限性玻爾量子理論打開了認識原子結構的大門玻爾量子理論打開了認識原子結構的大門,取得成功取得成功.但它的局但它的局限性和存在的問題也逐漸為人們所認識限性和存在的問題也逐漸為人們所認識.玻爾理論將微觀粒子視為經典力學中的質點玻爾理論將微觀粒子視為經典力學中的質點,把經典力學的規把經典力學的規律用于微觀粒子律用于微觀粒子,使其理論中有難以解決的內在矛盾使其理論中有難以解決的內在矛盾,有重大缺陷有重大缺陷.如如:為什么核與電子間的相互作用存在為什么核與電子間的相互作用存在,但處于定態的

3、加速電但處于定態的加速電子不輻射電磁波？電子躍遷時輻射子不輻射電磁波？電子躍遷時輻射(或吸收或吸收)電磁波的根本原因電磁波的根本原因何在？何在？薛定諤薛定諤的非難的非難“糟透的躍遷糟透的躍遷”在兩能級間躍遷的電子處于什么狀態？4第三章量子力學導論玻爾理論的玻爾理論的“缺陷缺陷”1. 不能證明較復雜的原子甚至比氫稍復雜的氦原子的光譜；不能證明較復雜的原子甚至比氫稍復雜的氦原子的光譜；2. 不能給出光譜的譜線強度（相對強度）；不能給出光譜的譜線強度（相對強度）； 3. 不能解釋氫光譜的精細結構；不能解釋氫光譜的精細結構；4. 只能處理周期運動不能處理非束縛態問題只能處理周期運動不能處理非束縛態問題

4、,如散射問題；如散射問題； 5. 不能自洽不能自洽.在理論上在理論上,能量量子化概念與經典力學不相容能量量子化概念與經典力學不相容. （有人為的性質（有人為的性質,物理本質還不清楚）物理本質還不清楚）5第三章量子力學導論 19世紀末世紀末,物理學理論在當時看來已經發展到相當完善的階段物理學理論在當時看來已經發展到相當完善的階段.主要表現在以下兩個方面：主要表現在以下兩個方面： (1) 應用牛頓力學討論了從天體到地上各種尺度的力學客體應用牛頓力學討論了從天體到地上各種尺度的力學客體的運動的運動.牛頓力學應用于分子運動也取得有益的結果牛頓力學應用于分子運動也取得有益的結果.1897年年, J.J湯

5、姆遜發現了電子湯姆遜發現了電子,并表明電子的行為類似于一個牛頓粒子并表明電子的行為類似于一個牛頓粒子. (2) 光的波動性在光的波動性在1803年由托馬斯年由托馬斯.楊的衍射實驗有力揭示出楊的衍射實驗有力揭示出來來,麥克斯韋在麥克斯韋在1864年發現的光和電磁現象之間的聯系把光的波年發現的光和電磁現象之間的聯系把光的波動性置于更加堅實的基礎之上動性置于更加堅實的基礎之上.經典物理學的成功經典物理學的成功6第三章量子力學導論進入進入20世紀后世紀后,經典物理學受到沖擊經典物理學受到沖擊.經典理論在解釋一些新的經典理論在解釋一些新的試驗結果上遇到了嚴重的困難試驗結果上遇到了嚴重的困難.量子理論量子

6、理論1905年愛因斯坦提出光量子概念年愛因斯坦提出光量子概念.1913年玻爾引入量子態概念年玻爾引入量子態概念建立玻爾模型并成功地解釋了氫光譜建立玻爾模型并成功地解釋了氫光譜.1925年泡利提出不相容原年泡利提出不相容原理理,同年烏侖貝克、古茲米特提出電子自旋假說同年烏侖貝克、古茲米特提出電子自旋假說,很好地解釋元素很好地解釋元素周期性、塞曼效應等一系列實驗事實周期性、塞曼效應等一系列實驗事實.至此形成的量子論稱為至此形成的量子論稱為（有嚴重缺陷）（有嚴重缺陷）. 經典物理學的困難經典物理學的困難7第三章量子力學導論海森堡（德）海森堡（德）WERNER HEISENBERG (1901-197

7、6)獲獲1932諾獎諾獎玻恩（德）玻恩（德）M.Born(1882-1970)獲獲1954諾獎諾獎薛定諤（奧地利）薛定諤（奧地利）ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)獲獲1933諾獎諾獎狄拉克狄拉克PAUL DIRAC (1902-1984)獲獲1933諾獎諾獎在波粒二象性思想的基礎上在波粒二象性思想的基礎上,于于1925-1928年間由海森堡、玻恩、年間由海森堡、玻恩、薛定諤、狄拉克等人建立了量子力學薛定諤、狄拉克等人建立了量子力學,它與相對論成了近代物理它與相對論成了近代物理學的兩大理論支柱學的兩大理論支柱.8第三章量子力學導論索爾維會議索爾維會議(Solvay Co

8、nference):愛因斯坦與玻爾愛因斯坦與玻爾第五次會議主題為第五次會議主題為“電子電子和光子和光子”,愛因斯坦以愛因斯坦以“上帝上帝不會擲骰子不會擲骰子”的觀點反對測的觀點反對測不準原理不準原理,而玻爾反駁道而玻爾反駁道“愛愛因斯坦因斯坦,不要告訴上帝怎么做不要告訴上帝怎么做.”波爾波爾-愛因斯坦論戰愛因斯坦論戰 9第三章量子力學導論德德拜拜泡泡利利海海森森堡堡薛薛定定諤諤埃倫費斯特埃倫費斯特布拉格布拉格康普頓康普頓狄拉克狄拉克玻恩玻恩玻爾玻爾居里夫人居里夫人洛倫茲洛倫茲愛因斯坦愛因斯坦朗之萬朗之萬普朗克普朗克 10第三章量子力學導論1.經典物理中的波和粒子經典物理學中波和粒子各自獨立經典

9、物理學中波和粒子各自獨立,在邏輯上不允許同時用這兩在邏輯上不允許同時用這兩個概念描寫同一現象個概念描寫同一現象.粒子可視為質點粒子可視為質點,具有定域性具有定域性,位置可無限精確地被測定位置可無限精確地被測定.有確有確定的質量、動量、速度和電荷等；定的質量、動量、速度和電荷等；波可以在空間無限擴展波可以在空間無限擴展,波有確定的波長和頻率波有確定的波長和頻率.波的波長和頻波的波長和頻率也能被精確測定率也能被精確測定(因為波不能被約束因為波不能被約束).3-23-2實物粒子的波粒二象性實物粒子的波粒二象性11第三章量子力學導論1672年牛頓年牛頓(英英)提出光的微粒說提出光的微粒說.1678年惠

10、更斯年惠更斯(荷蘭荷蘭)提出光提出光的波動說的波動說.此后此后,兩種學說長期論戰兩種學說長期論戰.光的波粒二象性光的波粒二象性波動性：干涉、衍射、偏振波動性：干涉、衍射、偏振粒子性：熱輻射粒子性：熱輻射,光電效應光電效應,散射等散射等19世紀初世紀初,菲涅爾、夫瑯和費、楊氏等人通過光的干涉、衍射菲涅爾、夫瑯和費、楊氏等人通過光的干涉、衍射實驗實驗證實光的波動性證實光的波動性.19世紀末麥克斯韋和赫茲世紀末麥克斯韋和赫茲證明光是電磁波證明光是電磁波.2.2.光的波粒二象性光的波粒二象性1905年年,愛因斯坦用光量子說解釋了光電效應愛因斯坦用光量子說解釋了光電效應,提出光子的能提出光子的能量為量為

11、 ,并于并于1917年指出光子有動量年指出光子有動量 hp hE 光在傳播時顯示波性光在傳播時顯示波性,在傳遞能量時顯示粒子性在傳遞能量時顯示粒子性. (兩者不會同兩者不會同時出現時出現)12第三章量子力學導論3.3.德布羅意假設德布羅意假設(1924)(1924)de Broglie,法法(1892-1987),獲獲1929年諾獎年諾獎“ 過去過去,對光過分強調波對光過分強調波性而忽視它的粒性；現性而忽視它的粒性；現在對電子是否存在另一在對電子是否存在另一種傾向種傾向,即過分強調它的即過分強調它的粒性而忽視它的波性粒性而忽視它的波性.”所有物質粒子均具有波粒所有物質粒子均具有波粒二象性二象性

12、,“,“任何物質伴隨以波任何物質伴隨以波, ,而且不可能將物體的運動同而且不可能將物體的運動同波的傳播分開波的傳播分開”. .德布羅意德布羅意關系式：關系式： phhE 不論粒子靜質量是否為不論粒子靜質量是否為0,德德布羅意關系式均成立布羅意關系式均成立.13第三章量子力學導論引入波矢引入波矢 2 kkp 波動的傳播方向就是粒子的動量方向波動的傳播方向就是粒子的動量方向.h h的意義：量子化的量度的意義：量子化的量度, ,不連續程度的最小量度單位不連續程度的最小量度單位. .h在物質的在物質的波性和粒子性波性和粒子性間起著橋梁作用間起著橋梁作用.在在量子化和波粒二量子化和波粒二象性象性這兩個概

13、念中都起著關鍵作用這兩個概念中都起著關鍵作用.德布羅意關系式通過德布羅意關系式通過h把粒子性和波動性聯系起來把粒子性和波動性聯系起來.實際上實際上,任何表達式中只要有任何表達式中只要有h出現出現,就意味其具有量子力學特征就意味其具有量子力學特征.14第三章量子力學導論*4.戴維孫戴維孫-革末實驗（革末實驗（1927）(晶體對電子束的衍射晶體對電子束的衍射,用于驗證德布羅意波）用于驗證德布羅意波）電子槍電子槍KD之間有之間有U電子束透過電子束透過D打在打在M上上它在晶面被散射進入探測器它在晶面被散射進入探測器BG檢測電子束檢測電子束(電流電流)的強度的強度I電子束電子束強度強度U05101520

14、25實驗發現實驗發現:加速電壓加速電壓U=54V,散射角散射角 =50時時,探測器探測器B中的電流有極值中的電流有極值.15第三章量子力學導論晶體晶面為點陣結構晶體晶面為點陣結構,德布羅意波散射和德布羅意波散射和X射線衍射類似射線衍射類似,也滿也滿足布拉格公式足布拉格公式.兩反射的電子束兩反射的電子束,其相干加強條件：其相干加強條件： kd )2/cos()2/sin(22 kdsin理論解釋理論解釋利用利用 和和mvh meUv2 emUdkh21sin 代入代入得：得：051 VUnmd54,215. 016第三章量子力學導論戴維孫戴維孫C. Davisson(美美)和革末和革末L. Ge

15、rmar(美美)右圖為的電子右圖為的電子幾率波幾率波”戴維孫戴維孫- -革末觀測到的電子衍射圖樣革末觀測到的電子衍射圖樣17第三章量子力學導論電電子子束束X射射線線電子雙縫干涉圖樣電子雙縫干涉圖樣楊氏雙縫干涉圖樣楊氏雙縫干涉圖樣18第三章量子力學導論1961年年,C.約恩約恩孫讓電子束通過孫讓電子束通過單縫、多縫的衍單縫、多縫的衍射圖樣（見右圖）射圖樣（見右圖）1927年年,G.P湯湯姆遜作了電子束姆遜作了電子束透過多晶薄片的透過多晶薄片的衍射實驗衍射實驗,同樣驗同樣驗證了電子具有波證了電子具有波動性動性.（實驗裝置（實驗裝置見右圖）見右圖）電子束衍射圖樣電子束衍射圖樣19第三章量子力學導論2

16、0世紀世紀30年代后的實驗發現年代后的實驗發現,進一進一步證實了德布羅意假設的正確性步證實了德布羅意假設的正確性.質量為質量為m,速率為速率為v的實物粒子的德布羅意波長的實物粒子的德布羅意波長:kcvEmhvmhcvvmhmvh00202)(1 對于電子，當加速電對于電子，當加速電壓壓U不太大以致能量不太大以致能量不太高時：不太高時：nmVUeVEvmhk)(226.1)(226.10 20第三章量子力學導論 例例:計算經過電勢差計算經過電勢差U1=150V和和U2 =104 V加速的電子的德布羅加速的電子的德布羅意波長意波長(不考慮相對論效應不考慮相對論效應).解解: 據據加速后電子的速度為

17、加速后電子的速度為據德布羅意關系據德布羅意關系p = h /,電子的德布羅意波長為電子的德布羅意波長為討論：討論：遠遠大大于于光光學學顯顯微微鏡鏡電電子子顯顯微微鏡鏡的的分分辨辨率率觀觀測測儀儀器器的的分分辨辨本本領領長長電電子子波波波波長長光光波波波波 22. 1DR VUVUnmnmnmUUemhmh42110150000123. 01 . 0226. 112v 02meUv eUvm 202121第三章量子力學導論實物實物質量質量m/kg速度速度v/(m.s-1)波長波長/pm1V電壓加速的電子電壓加速的電子9.110-315.91051200100V電壓加速的電子電壓加速的電子9.11

18、0-315.91061201000V電壓加速的電子電壓加速的電子9.110-311.91073710000V電壓加速的電子電壓加速的電子9.110-315.910712He原子（原子（300K）6.610-271.410372Xe原子（原子（300K）2.310-252.410212壘球壘球2.010-1301.110-22槍彈槍彈1.010-21.01036.610-23實物粒實物粒子子的的德布羅意德布羅意波長波長由上表知由上表知, ,討論質量較重的粒子的德布羅意波已沒意義討論質量較重的粒子的德布羅意波已沒意義! !22第三章量子力學導論 朗之萬朗之萬:除了思想的獨創性外除了思想的獨創性外,

19、德布羅意以非凡的技巧作出努力克服阻礙物德布羅意以非凡的技巧作出努力克服阻礙物理學家的困難理學家的困難.愛因斯坦愛因斯坦的支持的支持: 德布羅意的導師朗之萬將論文寄給愛因斯坦德布羅意的導師朗之萬將論文寄給愛因斯坦.愛因斯坦向來欣賞物理學中愛因斯坦向來欣賞物理學中的對稱性的對稱性,而德布羅意的理論正是建立了這種光和物質的對稱性而德布羅意的理論正是建立了這種光和物質的對稱性.愛因斯坦稱愛因斯坦稱贊道贊道愛因斯坦寫信將論文推薦給洛侖茲和玻恩愛因斯坦寫信將論文推薦給洛侖茲和玻恩.他對玻恩說他對玻恩說: “你一定要讀它你一定要讀它, 雖然看起來有點荒唐雖然看起來有點荒唐,但可能是有道理的但可能是有道理的.

20、” 玻恩回信說玻恩回信說:“讀了德布羅意的論文讀了德布羅意的論文,漸漸明白他搞的是什么名堂漸漸明白他搞的是什么名堂,我現在相我現在相信物質波可能是很重要的信物質波可能是很重要的.” 德布羅意的論文經愛因斯坦推薦后德布羅意的論文經愛因斯坦推薦后,引起物理學界的極大重視引起物理學界的極大重視.薛定諤在朗薛定諤在朗之萬的促使下閱讀了德布羅意的論文之萬的促使下閱讀了德布羅意的論文.愛因斯坦也將論文推薦給他愛因斯坦也將論文推薦給他.在他給愛在他給愛因斯坦的回信中寫到因斯坦的回信中寫到:“如果不是你的關于氣體簡并的第二篇論文硬是把德如果不是你的關于氣體簡并的第二篇論文硬是把德布羅意的想法的重要性擺在我的鼻

21、子底下布羅意的想法的重要性擺在我的鼻子底下,整個波動力學就建立不起來整個波動力學就建立不起來.”物理學家對德布羅意的物質波的評價物理學家對德布羅意的物質波的評價23第三章量子力學導論此前此前,玻爾據其角動量量子化條件導出氫原子的第一玻爾半徑、玻爾據其角動量量子化條件導出氫原子的第一玻爾半徑、能量和動量的量子化結果能量和動量的量子化結果.以下介紹以下介紹德布羅意將原子中的定態和德布羅意將原子中的定態和駐波聯系起來駐波聯系起來,自然地得到角動量的量子化條件自然地得到角動量的量子化條件.5.5.德布羅意波和量子態德布羅意波和量子態電子的波長為電子的波長為mvhph 將此關系用于氫原子的電子將此關系用

22、于氫原子的電子.欲欲使電子穩定存在使電子穩定存在,與電子相應的波與電子相應的波就必須是一個就必須是一個,即電子繞核一即電子繞核一圈后其位相不變圈后其位相不變.氫原子中的電子氫原子中的電子相應的駐波示意圖相應的駐波示意圖要求圓周長是波長的整數倍要求圓周長是波長的整數倍l =4 r24第三章量子力學導論德布羅意把原子定態與駐波聯系起來德布羅意把原子定態與駐波聯系起來,即把粒子能量量子化和即把粒子能量量子化和有限空間中駐波頻率分立性聯系起來有限空間中駐波頻率分立性聯系起來. rnrnhnrhhp 22, 3 , 2 , 1,nnLmvhph mc2 mc12 a 將玻爾第一速度將玻爾第一速度v =

23、c代入代入得到得到而而 是是折合電子康普頓波長折合電子康普頓波長的的137倍倍,即第一玻爾半徑即第一玻爾半徑a1故故 所得的結果滿足駐波條件所得的結果滿足駐波條件.25第三章量子力學導論設一個速度為設一個速度為v的粒子在寬為的粒子在寬為d的剛性盒子中作一維運動的剛性盒子中作一維運動,由經由經典理論知典理論知,粒子的動能和周期分別為：粒子的動能和周期分別為：6.6.一維剛性盒子中的駐波一維剛性盒子中的駐波vdTmvEk2;212 用用分析：此粒子要在盒內永存分析：此粒子要在盒內永存,其德布羅意波必為駐其德布羅意波必為駐波波, x=0,x=d 必為波節必為波節.盒子寬至少為半波長盒子寬至少為半波長

24、.即波長必滿足即波長必滿足:, 2 , 1,2 ndn dx=0 x=d26第三章量子力學導論 結論：結論：1 1）被束縛粒子的動量和能量均呈量子化）被束縛粒子的動量和能量均呈量子化. . 2 2）只要粒子被束縛在某一空間（）只要粒子被束縛在某一空間（oror勢阱內）勢阱內）, ,粒子的最小動能粒子的最小動能不能為不能為0.0.（即使在（即使在T T0 0時）時）事實上事實上,若若EK可為可為0,則要求則要求x,這也說明粒子不可能被束縛這也說明粒子不可能被束縛住住. 以上內容可歸納為：以上內容可歸納為： mpEhpk22 22282mdhnEdnhpk所以所以,原子能級圖中不存在原子能級圖中不

25、存在E0的能級。的能級。27第三章量子力學導論7.7.波和非定域性波和非定域性氫原子實際上是一個德布羅意波被禁閉在庫侖場中的情形氫原子實際上是一個德布羅意波被禁閉在庫侖場中的情形.假設電子在庫侖場中是一簡單的正弦波假設電子在庫侖場中是一簡單的正弦波,匣子近似為剛性邊界匣子近似為剛性邊界( V),設匣子的線度是半波長設匣子的線度是半波長,即粒子處于基態即粒子處于基態,在此假設下粒在此假設下粒子的動能為：子的動能為：222222222)2(21)(88mrhmrrmhmdhEk 以上考慮到匣內一周期的路程與圓周長對應以上考慮到匣內一周期的路程與圓周長對應(2d=2r)總能量為動能總能量為動能T和勢

26、能和勢能V之和：之和：rkemrE2222 28第三章量子力學導論0 r假設的氫原假設的氫原子的波函數子的波函數123EEE123EEE )(rU實際的波實際的波函數函數實際的勢實際的勢能函數能函數由由0 drdE122minamker 得電子最小半徑：得電子最小半徑：進而可得氫原子基態能量：進而可得氫原子基態能量：eVkemE6 .132)(222 所得結果與玻爾 所給的結果相同！29第三章量子力學導論不確定關系的常見形式：不確定關系的常見形式：3-3 3-3 海森堡不確定關系（海森堡不確定關系（19271927）)3(2)2(2)1(2 pEtpxx角動量與角位移：角動量與角位移：能量與時

27、間：能量與時間：動量與位置：動量與位置：30第三章量子力學導論“動量動量- -位置不確定關系位置不確定關系”的含義的含義)1(2xpx動量與位置：動量與位置：不確定關系揭示了一條重要的規律：不確定關系揭示了一條重要的規律：31第三章量子力學導論 例例:原子的線度約為原子的線度約為 10-10 m ,求原子中電子速度的不確定量求原子中電子速度的不確定量.解解:原子中電子的位置不確定量原子中電子的位置不確定量 10-10 m=105fm2 xpx 由不確定關系由不確定關系得電子速度的不確定量為得電子速度的不確定量為m/s.fmMeV.m/sfmMeVxmcccxmmpvxx558210851051

28、10210319722 32第三章量子力學導論“能量能量- -時間不確定關系時間不確定關系”的含義的含義)2(2Et能量與時間：能量與時間： 反映了原子能級寬度反映了原子能級寬度E 和原子在該能級的平均壽命和原子在該能級的平均壽命t 之間之間的關系的關系.E2EE 2EE 壽命壽命t基態基態電磁輻射電磁輻射基態基態:t;E0激發態激發態:t10-8s; E10-8eV33第三章量子力學導論 “不能同時精確地測量不能同時精確地測量”只是這一客觀規律的一個必然結果只是這一客觀規律的一個必然結果.從這個意義上看從這個意義上看,“測不準關系測不準關系”這一名稱不妥這一名稱不妥.認為不能同時測準粒子的位

29、置坐標認為不能同時測準粒子的位置坐標x及相應的動量的解釋是及相應的動量的解釋是不確切的不確切的,易誤認為不確定關系是測量過程的一個限制易誤認為不確定關系是測量過程的一個限制.不確定關系在宏觀世界不能得到直接體現不確定關系在宏觀世界不能得到直接體現,但它并不為但它并不為0.對對“不確定關系不確定關系”的進一步理解的進一步理解34第三章量子力學導論基態氫原子的電子基態氫原子的電子r1=0.053nm,p=mc.從不確定關系看從不確定關系看,假定假定電子在電子在r1范圍內運動且位置確定范圍內運動且位置確定,即即x=r1,則相應的動量不確定則相應的動量不確定度度:5 . 0137053. 0511.

30、0219722/12 nmMeVMeVfmrmccpxpp 可見動量的不確定程度甚大可見動量的不確定程度甚大,以致無法確切說明在此范圍內運以致無法確切說明在此范圍內運動的電子動量為多大動的電子動量為多大.35第三章量子力學導論一個一個10g的小球以的小球以10cm/s的速度運動的速度運動,小球的瞬間位置可精確小球的瞬間位置可精確確定確定,如如x=10-4cm (已是很高的精度已是很高的精度),則相應的動量不確定度：則相應的動量不確定度：可見動量的不確定度甚小可見動量的不確定度甚小,目前沒有任何方法可覺察目前沒有任何方法可覺察,完全可忽完全可忽略不計略不計.24634103 . 510/1 .

31、001. 0210055. 122/ msmkgsJxmvpxpp說明說明:教材中的此上兩個例子均采用較為粗糙的不確定關系教材中的此上兩個例子均采用較為粗糙的不確定關系xph進行運算，因此所得結果與此有差異進行運算，因此所得結果與此有差異(相差相差1/4).36第三章量子力學導論* *2.2.不確定關系的簡單導出不確定關系的簡單導出x“波包波包”在實驗上在實驗上,可采取可采取“拍拍”的方法測一的方法測一個波的波長個波的波長.兩列振幅相同頻率不同的兩列振幅相同頻率不同的波相干涉即形成波相干涉即形成“拍拍”.由數學上的富里哀分析知由數學上的富里哀分析知,為得到一個位置確定的孤立波（波為得到一個位置

32、確定的孤立波（波包）包）,須用多個頻率不同的波相疊加須用多個頻率不同的波相疊加.“觀察觀察”一個一個“拍拍” 的時間：的時間：)1(11 tt式式(1)表示表示,要無限精確地測準頻率要無限精確地測準頻率(0)就需要無限長的時就需要無限長的時間間(t).37第三章量子力學導論在在t內波內波(波速為波速為v)通過的路程為：通過的路程為： vtvx 222 vxvdvdv)2(2 x式式(2)表示表示,要無限精確地測準波長要無限精確地測準波長(0),就需要在無限擴就需要在無限擴展的空間展的空間()中進行觀察中進行觀察.式式(1)、(2)是從經典物理學的概念出發得到的是從經典物理學的概念出發得到的.現

33、將它用于微現將它用于微觀粒子觀粒子,將其與德布羅意關系相結合將其與德布羅意關系相結合,則立刻產生了新的觀念則立刻產生了新的觀念.38第三章量子力學導論hhhhppxpphxxpphpphdpphdphxxxxxx 22222222 即得即得hpxx 同樣的處理方法同樣的處理方法,有有 1hEtthEhE hEt 這樣即得不確定關系的一種表示形式：這樣即得不確定關系的一種表示形式： hEthpxx39第三章量子力學導論0電子束電子束xph xx sin sinpm=1m=2m=3m=3m=2m=1確定中區位置確定中區位置的關系式：的關系式：d sindm sin決定中區旁各極決定中區旁各極小值的

34、關系式：小值的關系式： 假如入射電子具有確定的動量假如入射電子具有確定的動量p,經過單縫（經過單縫（d=x）后）后,即使只即使只考慮中心區考慮中心區(75%的電子落在此區域的電子落在此區域),也至少有也至少有psin的動量不確的動量不確定性定性,即即px psinhxpxpppxx sin40第三章量子力學導論3.3.應用舉例應用舉例設質量為設質量為m的粒子被束縛的粒子被束縛在線度為在線度為r的范圍內的范圍內,則則rppxxx22 據統計規律據統計規律,對于束縛在空間的粒子對于束縛在空間的粒子,其動量在任何方向的平均其動量在任何方向的平均分量必定為分量必定為0,即即 ,故有：故有：0 xp22

35、22231)()(pppppppxxxxxdefx 束縛粒子的最小平均動能：束縛粒子的最小平均動能：與上一節所得結論一致與上一節所得結論一致.說明此結論與形式無關說明此結論與形式無關,只要粒子束縛只要粒子束縛在空間在空間(或稱勢阱內或稱勢阱內),則粒子的最小動能就不能為則粒子的最小動能就不能為0,即粒子不可能即粒子不可能落到阱底落到阱底.41第三章量子力學導論當電子距核的距離越來越近時當電子距核的距離越來越近時,將從原子的線度將從原子的線度(0.1nm)過渡過渡到原子核的線度到原子核的線度(1fm)222832minmrmpEk 當電子距核越來越近時電子所需的平均動能將越來越大當電子距核越來越

36、近時電子所需的平均動能將越來越大,但電但電子無這樣大的能量補充子無這樣大的能量補充,故而電子不能繼續靠近核故而電子不能繼續靠近核,更不可能落入更不可能落入核內核內.42第三章量子力學導論光譜線系中光譜線系中,電子在兩能級間躍遷電子在兩能級間躍遷,在初能級上必有一在初能級上必有一（能級壽命會受外界的影響能級壽命會受外界的影響）,即即t不能無限長不能無限長.按不確定關系按不確定關系,此能級必存在相應的寬度此能級必存在相應的寬度E,這正是譜線的自然寬度這正是譜線的自然寬度,已由實驗已由實驗證實證實.例如：假定原子中某激發態壽命為例如：假定原子中某激發態壽命為st810 則則eVssMeVtctE88

37、22103 . 31021058. 622 43第三章量子力學導論4.4.互補原理互補原理(1927,(1927,由玻爾提出由玻爾提出) ) 一些經典概念的應用不可避免地排除另一些經典概念的應用一些經典概念的應用不可避免地排除另一些經典概念的應用, ,而而“另一些經典概念另一些經典概念”在另一些條件下又是描述現象不可缺少的在另一些條件下又是描述現象不可缺少的. .必須而且只須將這些互斥又互補的概念匯集起來必須而且只須將這些互斥又互補的概念匯集起來, ,才能也定能形才能也定能形成對現象的詳盡無遺的描述成對現象的詳盡無遺的描述. .海森堡的不確定關系從數學上表達了物質的波粒二象性海森堡的不確定關系

38、從數學上表達了物質的波粒二象性.玻爾玻爾的互補原理從哲學的角度概括了波粒二象性的互補原理從哲學的角度概括了波粒二象性.玻爾認為：粒子的波粒二象性不可能在同一玻爾認為：粒子的波粒二象性不可能在同一測量中同時出現測量中同時出現,兩個概念在描述微觀現象時是兩個概念在描述微觀現象時是互斥的互斥的,不會在同一實驗中直接沖突不會在同一實驗中直接沖突.二者在描二者在描述微觀時都是不可缺少的述微觀時都是不可缺少的,它們是互補并協的它們是互補并協的. 在任一時刻我們只能看到銀幣的一面在任一時刻我們只能看到銀幣的一面,而而只有當銀幣的正、反兩面都被看到后只有當銀幣的正、反兩面都被看到后,才可能銀幣有完整才可能銀幣

39、有完整的認識的認識.44第三章量子力學導論3-4 3-4 波函數及其統計解釋波函數及其統計解釋1.1.波粒二象性及幾率概念波粒二象性及幾率概念如果粒子在隨時間和位置變化的力場中運動如果粒子在隨時間和位置變化的力場中運動, ,它的動量和能量它的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）不再是常量（或不同時為常量）, ,粒子的狀態就不能用平面波描粒子的狀態就不能用平面波描寫寫, ,而必須用較復雜的波描寫而必須用較復雜的波描寫, ,一般記為：一般記為：),(tr (1) 怎樣描述粒子的狀態？怎樣描述粒子的狀態？(2) 如何體現波粒二象性？如何體現波粒二象性？(3) 描寫的是什么樣的波？描寫的是什么樣的波

40、？45第三章量子力學導論錯誤看法錯誤看法1：“波由粒子組成波由粒子組成”.與實驗矛盾與實驗矛盾, ,不能解釋長時間單個電子衍射實驗不能解釋長時間單個電子衍射實驗. .電子一個一個的通過小孔電子一個一個的通過小孔, ,但只要時間足夠長但只要時間足夠長, ,底片上就呈現底片上就呈現衍射花紋衍射花紋. .這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現象起時才有的現象, ,單個電子就具有波動性單個電子就具有波動性. . 波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面, ,而抹殺了粒子的波而抹殺了粒子的波動性的一面動性的

41、一面, ,具有片面性具有片面性. .事實上事實上, ,正是由于單個電子具有波動性正是由于單個電子具有波動性, ,才能理解氫原子中電才能理解氫原子中電子運動的穩定性以及能量量子化這樣一些量子現象子運動的穩定性以及能量量子化這樣一些量子現象. .46第三章量子力學導論錯誤看法錯誤看法2 : “粒子由波組成粒子由波組成”視電子為三維空間中連續分布的某種物質波包視電子為三維空間中連續分布的某種物質波包波包：各種波數（長）平面波的迭加波包：各種波數（長）平面波的迭加,因此呈現出干涉和衍射因此呈現出干涉和衍射等波動現象等波動現象.認為認為,波包的群速度即電子波包的群速度即電子的運動速度的運動速度. 平面波

42、描寫自由粒子平面波描寫自由粒子,其特點是其特點是充滿整個空間充滿整個空間,這是因為平面波這是因為平面波振幅與位置無關振幅與位置無關.如果粒子由波組成如果粒子由波組成,那么自由粒子將充滿整個空那么自由粒子將充滿整個空間間,這是沒有意義的這是沒有意義的,與實驗事實矛盾與實驗事實矛盾.實驗上觀測到的電子實驗上觀測到的電子,總是處于一個小區域內總是處于一個小區域內.例如在一個原子例如在一個原子內內,其其廣延不會超過原子線度（約廣延不會超過原子線度（約1 ）. 47第三章量子力學導論電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “電子既不是粒子也不是波電子既不是粒子也不是

43、波 ” “電子既是粒子也是波電子既是粒子也是波,它是粒子和波動二重性的統一它是粒子和波動二重性的統一” 波不再是經典概念的波波不再是經典概念的波,粒子也不是經典概念的粒子粒子也不是經典概念的粒子.經典概念中經典概念中: :“粒子粒子”意味著：意味著：1)1)有一定質量、電荷等有一定質量、電荷等“顆粒性顆粒性”的屬性；的屬性； 2)2)有確定的運動軌道有確定的運動軌道, ,每一時刻有確定的位置和速度每一時刻有確定的位置和速度. .“波波”意味著：意味著：1)1)實在的物理量的空間分布實在的物理量的空間分布, ,作周期性的變化作周期性的變化; ; 2)2)存在干涉、衍射現象存在干涉、衍射現象, ,

44、即相干疊加性即相干疊加性. .48第三章量子力學導論1)入射電子流強度小顯示電子的微粒性入射電子流強度小顯示電子的微粒性,長時間亦顯示衍射圖樣長時間亦顯示衍射圖樣.2)入射電子流強度大入射電子流強度大,很快顯示衍射圖樣很快顯示衍射圖樣.電子源電子源感光屏感光屏PPQQ結論結論電子的單縫衍射電子的單縫衍射衍射實驗揭示的電子波動性是許多電子在同一實驗中的統計衍射實驗揭示的電子波動性是許多電子在同一實驗中的統計結果結果, ,或者是一個電子在多次相同實驗中的統計結果或者是一個電子在多次相同實驗中的統計結果. .49第三章量子力學導論波函數正是為描述粒子的這種行為而引進的波函數正是為描述粒子的這種行為而

45、引進的,在此基礎上在此基礎上,玻恩玻恩(Born)提出了波函數意義的統計解釋提出了波函數意義的統計解釋. 在單縫衍射實驗中在單縫衍射實驗中,電子的位置和動量至少有一個是不確定的電子的位置和動量至少有一個是不確定的,無法精確地預知電子落在屏的何處無法精確地預知電子落在屏的何處.但在不確定性中又有完全的但在不確定性中又有完全的確定性確定性, 如電子落入中區的幾率是完全確定的如電子落入中區的幾率是完全確定的,為為75%.又如處于能級寬又如處于能級寬度為度為E的微粒的壽命為的微粒的壽命為,在在時間內粒子何時衰變時間內粒子何時衰變(或躍遷或躍遷)完全不確定完全不確定,但衰變幾率是完全確定的但衰變幾率是完

46、全確定的.50第三章量子力學導論2.2.波函數（波函數（oror幾率幅）幾率幅）微觀粒子微觀粒子具有波動性具有波動性用物質波波函數描述用物質波波函數描述微觀粒子狀態微觀粒子狀態用波函數能確切描述粒子的運動狀態用波函數能確切描述粒子的運動狀態,給波函數賦于一定的物給波函數賦于一定的物理意義后理意義后,就能把粒子和粒子的波性這兩種對立的屬性統一起來就能把粒子和粒子的波性這兩種對立的屬性統一起來.2 經典波的振幅是可測的經典波的振幅是可測的,而在一般情況下而在一般情況下 是不可測的是不可測的,可測的可測的只是只是51第三章量子力學導論自由粒子不受力自由粒子不受力, p及與其聯系的及與其聯系的也不變也

47、不變,是單色波是單色波.表示為表示為:一個自由粒子的波自由粒子的波)cos(2sin0vtr zxyo平面波諸量間的關系平面波諸量間的關系 rBAC)(knnr 這是沿任意方向傳播的平面波這是沿任意方向傳播的平面波.較為方便的復數形式為：較為方便的復數形式為： 式中式中、v、t 分別表示角頻、波分別表示角頻、波速速 和時間和時間, rn是原點到波面的垂直是原點到波面的垂直距離距離,是是r和和rn 的夾角的夾角.)cos(20vtrie 52第三章量子力學導論為使平面波與粒子對應起來而找出自由粒子的波函數為使平面波與粒子對應起來而找出自由粒子的波函數,利用德利用德布羅意關系布羅意關系,則則自由粒

48、子的波函數一般表示為：自由粒子的波函數一般表示為：)(0Etrpie )(0)2(0)2(0tErpithErkitrkieee )(0trkie )/2( kk用用 代表波的前進方向代表波的前進方向,則則:53第三章量子力學導論3. 3. 玻恩的統計解釋玻恩的統計解釋(1926)(1926)波函數是描述粒子量子狀態的一個波動方程波函數是描述粒子量子狀態的一個波動方程.如有大量的粒子如有大量的粒子,那么某處粒子的密度就與此處發現一個粒子的幾率成正比那么某處粒子的密度就與此處發現一個粒子的幾率成正比.（可（可與光進行類比）與光進行類比）2 P電子在原子空間某點附近單位微體積內出現電子在原子空間某

49、點附近單位微體積內出現的幾率的幾率.若波函數用復數表示若波函數用復數表示,則表示為：則表示為：*2 在體積在體積d中發現一個粒子的幾率為：中發現一個粒子的幾率為： ddp2 t 時刻時刻,粒子在空間粒子在空間 處的單位體積處的單位體積 中出現的幾率中出現的幾率,又稱為幾率密度又稱為幾率密度.波函數的物理意義：波函數的物理意義：2| ),(|tr r d54第三章量子力學導論連續、單值、有限連續、單值、有限因幾率不會在某處突變因幾率不會在某處突變,波函數必須處處連續波函數必須處處連續.因在空間任意處只能有一個幾率因在空間任意處只能有一個幾率,波函數必須單值波函數必須單值.因幾率不能無限大因幾率不

50、能無限大,所以波函數必須有限所以波函數必須有限. 12 d粒子在整個空間出現的幾率為粒子在整個空間出現的幾率為1,即即1),(2 dxdydz|tr|55第三章量子力學導論電子數電子數 N=7電子數電子數 N=100電子數電子數 N=3000電子數電子數 N=20000電子數電子數 N=70000出現幾率大出現幾率大出現幾率小出現幾率小電子雙縫干涉圖樣電子雙縫干涉圖樣56第三章量子力學導論量子力學中態的疊加與經典物理中波的疊加雖然形式相同但量子力學中態的疊加與經典物理中波的疊加雖然形式相同但本質不同本質不同.兩列經典波可疊加導致一個新的波兩列經典波可疊加導致一個新的波,但兩個波函數疊加但兩個波

51、函數疊加并不形成新的波函數并不形成新的波函數.4.態的疊加原理態的疊加原理57第三章量子力學導論電子源電子源1S2S感感光光屏屏1 2 P 通過單縫通過單縫S1的電子處于的電子處于 1態；通過單縫態；通過單縫S2的電子處于的電子處于 2態態.雙雙縫同時打開時電子處在縫同時打開時電子處在 態態.雙縫同時誘導的狀態是它們的線性雙縫同時誘導的狀態是它們的線性組合態組合態 C1 1+C2 2.58第三章量子力學導論電子處于兩態的幾率分別為：電子處于兩態的幾率分別為：雙縫同時打開時電子的幾率雙縫同時打開時電子的幾率分布為：分布為：S 12D1PA2PBP相干項相干項考慮到考慮到2211 CC 則有：則有

52、：)()(2*21*121211*22*1212*2221*121 CCPPCCCCP222211|,| CC |2P59第三章量子力學導論 量子力學中態的迭加量子力學中態的迭加, ,雖然在數學上與經典波的迭加原理相同雖然在數學上與經典波的迭加原理相同, ,但在物理本質上卻有根本的不同：但在物理本質上卻有根本的不同：而且這種態的迭加將導致在迭加態下測量結果的不而且這種態的迭加將導致在迭加態下測量結果的不確定性確定性. .微觀粒子遵循的是統計規律微觀粒子遵循的是統計規律, ,而不是經典的決定性規律而不是經典的決定性規律. .(牛頓牛頓:只要給出了初始條件只要給出了初始條件,下一時刻粒子的軌跡是已

53、知的下一時刻粒子的軌跡是已知的,決定決定性的性的.)60第三章量子力學導論電子半徑小于電子半徑小于1016cm. 到目前為至到目前為至,人們在人們在1016cm范圍內尚未發范圍內尚未發現電子的更小結構現電子的更小結構.欲欲 “窺視窺視”電子如何通過雙縫電子如何通過雙縫,則須在雙縫旁置一則須在雙縫旁置一“光源光源”和和“光探測器光探測器”.但人們經過各種條件、不同方式的反復實驗與考但人們經過各種條件、不同方式的反復實驗與考慮慮,發現發現在原則上無法避免在原則上無法避免.事實上事實上,在在1961年前年前,單縫衍射和雙縫干涉實驗都為單縫衍射和雙縫干涉實驗都為即在承認電子具有波性的前提下設想一定存在

54、電子的衍射即在承認電子具有波性的前提下設想一定存在電子的衍射和干涉現象和干涉現象.1961年年,約恩孫約恩孫才巧妙地通過實驗獲得電子的衍射和才巧妙地通過實驗獲得電子的衍射和干涉圖樣干涉圖樣.而清晰的電子雙縫干涉實驗在而清晰的電子雙縫干涉實驗在1989年完成年完成.61第三章量子力學導論理查德理查德菲利普菲利普費曼（費曼（R. P.Feynman)（1918-1988）美）美,因在量子電動力學方面的因在量子電動力學方面的成就成就獲獲1965諾貝爾物理學獎諾貝爾物理學獎這些實驗這些實驗,都是用任何經都是用任何經典方法所絕對不能解釋典方法所絕對不能解釋的的,但是但是,量子力學的核心量子力學的核心正是

55、包含在這些實驗之正是包含在這些實驗之中中.62第三章量子力學導論5.5.波函數服從的幾個規則波函數服從的幾個規則假如在假如在if 間有間有n種可能的躍遷方式種可能的躍遷方式,則躍遷幾率幅是各種可則躍遷幾率幅是各種可能發生的躍遷幾率幅之和能發生的躍遷幾率幅之和.即即 此規則為態的疊加的一條基本原理此規則為態的疊加的一條基本原理.費曼稱其為費曼稱其為“量子力學第一原理量子力學第一原理”.至今無法從更基本的觀念將其導出至今無法從更基本的觀念將其導出）fi假如在假如在if 間有間有n個獨立的末態個獨立的末態,則躍遷幾率等于到達各末態則躍遷幾率等于到達各末態的躍遷幾率之和的躍遷幾率之和.即即nnifif

56、22nnifif63第三章量子力學導論假如在假如在if間有某一中間態間有某一中間態,則躍遷幾率幅等于分段幾率幅之則躍遷幾率幅等于分段幾率幅之積積.即即ivvfif假如一獨立體系中的兩個粒子同時躍遷假如一獨立體系中的兩個粒子同時躍遷,則體系的躍遷幾率則體系的躍遷幾率等于兩粒子幾率幅之積等于兩粒子幾率幅之積.IFifiIfF（規則（規則3、4均系獨立事件的幾率相乘律）均系獨立事件的幾率相乘律）64第三章量子力學導論3-5 3-5 薛定諤方程薛定諤方程“我的朋友德拜要求有個波動方程,諾,我找了一個.”設一個非相對論自由粒子設一個非相對論自由粒子(m、p)在勢場在勢場V(x)中作一維運動中作一維運動,

57、則粒子的能量為：則粒子的能量為：)0()(22xVmpE kphE , 考慮到考慮到則有則有)1()(2)(2xVmk 粒子的波函數粒子的波函數平面波形式平面波形式; (1) 的解的解：)2(),()(0)(0Etpxitkxieetx 65第三章量子力學導論0)2()2()(2222 xmtimpExV或：或： 2222xmti 2222)(0;)2(),(pxpxiEtietxEtpxi 有：有：由：由：66第三章量子力學導論式式(2)是方程是方程tiVxm 02222的解且與式的解且與式(1)一致一致.推廣到一般的勢場推廣到一般的勢場V(x),即得一維薛定諤方程：即得一維薛定諤方程：)3

58、()(2222tixVxm 將其與經典關系式（將其與經典關系式（0）比較）比較,知作了如下的變換：知作了如下的變換：xiptiE ;將其作用到波函數將其作用到波函數上即得式（上即得式（3）67第三章量子力學導論薛定諤方程的一般表達式薛定諤方程的一般表達式)4(),(),()(222trtitrrVm 當勢場當勢場V(x)=0時自由時自由粒子的解為：粒子的解為：)5(),()(0trkietr 將其與經典關系將其與經典關系 比較比較,知作了如下的變換：知作了如下的變換：)(22rVmpE)6(iptiE68第三章量子力學導論當當V(r)不顯含時間不顯含時間t時時,用分離變數法對薛定諤方程用分離變

59、數法對薛定諤方程(4)求特解求特解即得定態薛定諤方程即得定態薛定諤方程.將波函數寫成：將波函數寫成：2.2.定態薛定諤方程定態薛定諤方程)()(),(tTrtr 代入式代入式(4)后兩邊除以后兩邊除以T得：得：dtdTTirVm )(2122于是有：于是有：)8()7()(2122EdtdTTiErVm 式中式中E是與是與r、t無關的分離常數無關的分離常數,具有能量的量綱具有能量的量綱69第三章量子力學導論式（式（8）的解為：）的解為：iEteTT0 把常數把常數T0歸到歸到的常數中的常數中,則得到則得到：)9()(),(iEtertr 解定態薛定諤方程的一般步驟：解定態薛定諤方程的一般步驟：

60、1 1）首先分區）首先分區, ,找出問題中找出問題中勢能函數的具體形式勢能函數的具體形式；2 2）建立薛定諤方程并）建立薛定諤方程并求出通解求出通解；3 3）根據波函數的標準化條件和歸一化條件）根據波函數的標準化條件和歸一化條件確定常數確定常數. .)10()(222 ErVm :定態薛定諤方程定態薛定諤方程70第三章量子力學導論3.3.應用舉例應用舉例0 d xV ( x ) 0 0 在一維無限深勢阱中運動的粒子在一維無限深勢阱中運動的粒子勢能函數為：勢能函數為： 勢阱內體系滿足勢阱內體系滿足的薛定諤方程為：的薛定諤方程為：令令:則方程為：則方程為：其解為：其解為： dxxdxxV, 0,0