1、初三數學二次函數和圓的學問點總結1. 定義：一般地，假如 y = ax 2+ bx + c(a, b, c 是常數， a ¹ 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函數.2. 二次函數 y = ax 2 的性質（1） 拋物線 y = ax 2 的頂點是坐標原點，對稱軸是 y 軸.（2） 函數 y = ax 2 的圖像與a 的符號關系.當a > 0 時Û 拋物線開口向上Û 頂點為其最低點；當a < 0時Û 拋物線開口向下Û 頂點為其最高點.（3） 頂點是坐標原點，對稱軸是 y 軸的拋物線的解析式形式為 y = ax 2（a ¹

2、0）.3. 二次函數 y = ax 2 + bx + c 的圖像是對稱軸平行于（包括重合） y 軸的拋物線.()2b4ac - b 24. 二次函數 y = ax 2+ bx + c 用配方法可化成：y = ax - h+ k 的形式，其中h = -，k =.2a4a5. 二次函數由特別到一般，可分為以下幾種形式： y = ax 2 ； y = ax 2+ k ； y = a(x - h)2 ；y = a(x - h)2+ k ； y = ax 2 + bx + c .6. 拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點. a 的符號打算拋物線的開口方向：當a > 0 時，開口向上；當a <

3、; 0時，開口向下；a 相等，拋物線的開口大小、外形相同.平行于 y 軸（或重合）的直線記作 x = h .特別地， y 軸記作直線 x = 0.7. 頂點打算拋物線的位置.幾個不同的二次函數，假如二次項系數 a 相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8. 求拋物線的頂點、對稱軸的方法æb ö24ac - b2b4ac - b 2（1） 公式法： y = ax 2線 x = - b .2a+ bx + c = aç x +è÷+2a ø4a，頂點是（-，），對稱軸是直2a4a（2） 配方法：運用配方的方法，

4、將拋物線的解析式化為y = a(x - h)2對稱軸是直線 x = h .+ k 的形式，得到頂點為( h , k )，（3） 運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.9. 拋物線 y = ax 2+ bx + c 中， a, b, c 的作用（1） a 打算開口方向及開口大小，這與 y = ax 2 中的a 完全一樣.（2） b 和a 共同打算拋物線對稱軸的位置.由于拋物線 y = ax 2 + bx + c 的對稱軸是直線x = -

5、b，故： b = 0 時，對稱軸為 y 軸； b> 0 （即a 、b 同號）時，對稱軸在 y 軸左側；2aa b < 0 （即a 、b 異號）時，對稱軸在 y 軸右側.a（3） c 的大小打算拋物線 y = ax 2 + bx + c 與 y 軸交點的位置.當 x = 0時， y = c ，拋物線 y = ax 2+ bx + c 與 y 軸有且只有一個交點（0， c ）： c = 0 ，拋物線經過原點; c > 0 ,與 y 軸交于正半軸； c < 0 ,與 y 軸交于負半軸.函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標y = ax 2x = 0（ y 軸）（0,0）y = ax

6、 2 + kx = 0（ y 軸）(0,k )y = a(x - h)2y = a(x - h)2 + k當 a > 0 時x = h( h ,0)開口向上x = h( h , k )當 a < 0時y = ax 2 + bx + c開口向下x = -2ab(- b4ac - b 22a，4a)以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在 y 軸右側，則10.幾種特別的二次函數的圖像特征如下：b < 0 .a11. 用待定系數法求二次函數的解析式（1） 一般式： y = ax 2 + bx + c .已知圖像上三點或三對x 、 y 的值，通常選擇一般式.（2）

7、頂點式： y = a(x - h)2+ k .已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.（3） 交點式：已知圖像與x 軸的交點坐標 x 、 x12，通常選用交點式： y = a(x - x1)(x - x ).212. 直線與拋物線的交點（1） y 軸與拋物線 y = ax 2+ bx + c 得交點為(0, c ).（2） 與 y 軸平行的直線 x = h 與拋物線 y = ax 2（3） 拋物線與 x 軸的交點+ bx + c 有且只有一個交點( h , ah 2+ bh + c ).二次函數 y = ax 2+ bx + c 的圖像與 x 軸的兩個交點的橫坐標 x 、 x ，是對應一元二次

8、方程12ax 2 + bx + c = 0 的兩個實數根.拋物線與 x 軸的交點狀況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點Û d > 0 Û 拋物線與 x 軸相交；有一個交點（頂點在x 軸上） Û d = 0 Û 拋物線與 x 軸相切；沒有交點Û d < 0 Û 拋物線與 x 軸相離.（4） 平行于 x 軸的直線與拋物線的交點同（3）一樣可能有 0 個交點、1 個交點、2 個交點.當有 2 個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k ，則橫坐標是ax 2+ bx + c = k 的兩個實數根.（5） 一次函數

9、 y = kx + n(k ¹ 0)的圖像l 與二次函數 y = ax 2y = kx + n+ bx + c(a ¹ 0)的圖像g 的交點，由方程組y = ax2 + bx + c的解的數目來確定：方程組有兩組不同的解時Û l 與g 有兩個交點; 方程組只有一組解時Û l 與g 只有一個交點；方程組無解時Û l 與g 沒有交點.（6） 拋物線與 x 軸兩交點之間的距離：若拋物線 y = ax 2+ bx + c 與 x 軸兩交點為 a(x ，0)，b(x1，0)，2由于 x 、 x 是方程ax 212+ bx + c = 0 的兩個根，故x

10、+ x= - b , x × x= c(x - x )2 - 4x x121 2æç-÷-b ö2èa ø4cab2 - 4acada12ab = x1a12a(x - x )212- x=2=1.垂徑定理及推論:幾何表達式舉例：如圖：有五個元素，“知二可推三”；需記憶其中四個定理， cd 過圓心即“垂徑定理”“中徑定理” “弧徑定理”“中垂定理”. cdabc平分優弧 ae=beoeabd過圓心垂直于弦平分弦平分劣弧ac=bcad=bd2.平行線夾弧定理：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.幾何表達式舉例：ababcdocdac

11、= bd3. “角、弦、弧、距”定理：（同圓或等圓中）“等角對等弦”； “等弦對等角”；b“等角對等弧”； “等弧對等角”；e“等弧對等弦”；“等弦對等(優，劣)弧”；ao“等弦對等弦心距”；“等弦心距對等弦”.cf幾何表達式舉例：(1) aob=cod ab = cd(2) ab = cdaob=codd4. 圓周角定理及推論:（1） 圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半；（2） 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；(如圖)幾何表達式舉例：1（1） acb= 2 aob（3）“等弧對等角”“等角對等弧”； （4） “直徑對直角”“直角對直徑”；(如圖)（2） ab 是直徑（5） 如

12、三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是 acb=90° 直角三角形.(如圖)（3） acb=90°cca ab 是直徑oabdobcba（4） cd=ad=bd abc 是 rt（1）（2）（3）（4）5. 圓內接四邊形性質定理:圓內接四邊形的對角互補，并且任何一個外c幾何表達式舉例：b abcd 是圓內接四邊形角都等于它的內對角.a6. 切線的判定與性質定理:如圖：有三個元素，“知二可推一”；需記憶其中四個定理.o（1） 經過半徑的外端并且垂直于這條c半徑的直線是圓的切線；a（2） 圓的切線垂直于經過切點的半徑；de是半徑b垂直是切線 cde =abcc+a

13、=180°幾何表達式舉例：（1） oc 是半徑ocabab 是切線（2） oc 是半徑ab 是切線（3）經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點；（4）經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.7. 切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線， 它們的切線長相等；圓心和這一p點的連線平分兩條切線的夾角.8. 弦切角定理及其推論:（1）弦切角等于它所夾的弧對的圓周角；ocab（3） 幾何表達式舉例：a pa、pb 是切線 pa=pbopo 過圓心b apo =bpo幾何表達式舉例：（1）bd 是切線，bc 是弦（2） 假如兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等；（3） 弦切角的度數等于它所夾

14、的弧的度數的一半.（如圖）dacbd =cab（2） ef= abfc ea ed，bc 是切線bdbc cba =def9. 相交弦定理及其推論:幾何表達式舉例：（1） 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的乘積相等； （1） pa·pb=pc·pd（2） 假如弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段長的比例中項.（2） ab 是直徑dcapaopbcbpcabpc2=pa·pb10. 切割線定理及其推論:（1） 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項；（2） 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓

15、的交點的兩條線段長的積相等.幾何表達式舉例：（1） pc 是切線，pb 是割線pc2=pa·pb（2） pb、pd 是割線bbpa·pb=pc·pdaapcdpc11. 關于兩圓的性質定理:（1） 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦；（2） 假如兩圓相切，那么切點肯定在連心線上.幾何表達式舉例：（1） o ，o 是圓心12o o 垂直平分ab1 2（2） a1、 相切2ao1o2o1o2o 、a、o12線三點一b（1）（2）12. 正多邊形的有關計算:公式舉例：（1） 中心角an，半徑rn， 邊心距r ，ondae(1) a360°n= n；邊長an，

16、內角bn， 邊數 n；nrnrn（2） 有關計算在rtaoc 中進行.bn(2)an = 180°naacb2n幾何 b 級概念：（要求理解、會講、會用，主要用于填空和選擇題） 基本概念：圓的幾何定義和集合定義、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高三角形的外接圓、三角形的外心、三角形的內切圓、 三角形的內心、 圓心角、圓周角、 弦切角、 圓的切線、 圓的割線、兩圓的內公切線、 兩圓的外公切線、 兩圓的內（外） 公切線長、 正多邊形、 正多邊形的中心、 正多邊形的半徑、 正多邊形的邊心距、 正多邊形的中心角.二 定理：oab1. 不在始終線上的三個點確定一個圓.2. 任何正多邊

17、形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.3. 正n 邊形的半徑和邊心距把正n 邊形分為 2n 個全等的直角三角形.三 公式：1. 有關的計算：（1）圓的周長 c=2r；（2）弧長 l=npr 180；（3）圓的面積 s=r2.（4） 扇形面積s扇形= npr 2 = 1 lr ；（5）弓形面積 s3602弓形=扇形面積s±aob 的面積.（如圖）aob2. 圓柱與圓錐的側面開放圖：（1）圓柱的側面積：s=2rh； (r:底面半徑；h:圓柱高)圓柱側1（2）圓錐的側面積：s四 常識：圓錐側= lr . （l=2r，r 是圓錐母線長；r 是底面半徑）21. 圓是軸對稱和中心對稱圖

18、形.2. 圓心角的度數等于它所對弧的度數.3. 三角形的外心 Û 兩邊中垂線的交點 Û 三角形的外接圓的圓心； 三角形的內心 Û 兩內角平分線的交點 Û 三角形的內切圓的圓心.4. 直線與圓的位置關系：（其中 d 表示圓心到直線的距離；其中r 表示圓的半徑）直線與圓相交 Û dr ； 直線與圓相切 Û d=r ； 直線與圓相離 Û dr.5. 圓與圓的位置關系：（其中 d 表示圓心到圓心的距離，其中r、r 表示兩個圓的半徑且rr）兩圓外離 Ûdr+r；兩圓外切 Ûd=r+r； 兩圓相交 Ûr-rdr+r；兩圓內切 Ûd=r-r；兩圓內含 Ûdr-r.6. 證直線與圓相切，常利用：“已知交點連半徑證垂直”和“不知交點作垂直證半徑” 的方法加關心線.7. 關于圓的常見關心線：ccaoaobbooabacb已知弦構造rt.已知直徑構造直角.已知弦構造弦心距.已知切線連半徑，出垂直.ddcaapcoaopboodb