1、8.5直線與圓的綜合應用典例精析題型一直線和圓的位置關系的應用【例1】已知圓c：(x1)2(y2)225及直線l：(2m1)x(m1)y7m4 (mr).來源:來源:數理化網(1)求證：不論m為何值，直線l恒過定點；(2)判斷直線l與圓c的位置關系；(3)求直線l被圓截得的弦長最短時的弦長及此時直線的方程.【解析】(1)證明：直線方程可寫作xy4m(2xy7)0，由方程組可得來源:所以不論m取何值，直線l恒過定點(3,1).(2)由5，故點(3,1)在圓內，即不論m取何值，直線l總與圓c相交.(3)由平面幾何知識可知，當直線與過點m(3,1)的直徑垂直時，弦|ab|最短. |ab|224，此時

2、 k，即2，解得m，代入原直線方程，得l的方程為2xy50.【點撥】解決弦長問題時，可利用弦長的幾何意義求解.【變式訓練1】若函數f(x)eax的圖象在x0處的切線l與圓c：x2y21相離，則p(a，b)與圓c的位置關系是()a.在圓外b.在圓內c.在圓上d.不能確定【解析】選b.f(x)eaxf(x)eaxf(0).又f(0)，所以切線l的方程為y(x0)，即axby10，由l與圓c：x2y21相離得11，即點p(a，b)在圓內，故選b. 題型二和圓有關的對稱問題【例2】設o為坐標原點，曲線x2y22x6y10上有兩點p、q關于直線xmy40對稱，又滿足·0.(1)求m的值；(2)

3、求直線pq的方程.來源:【解析】(1)曲線方程可化為(x1)2(y3)29，是圓心為(1,3)，半徑為3的圓.因為點p，q在圓上且關于直線xmy40對稱，所以圓心(1,3)在直線xmy40上，代入得m1.(2)因為直線pq與直線yx4垂直，所以設 p(x1，y1)，q(x2，y2)，則直線pq的方程為yxb.將直線yxb代入圓的方程，得2x22(4b)xb26b10，4(4b)24×2(b26b1)0，解得23b23.x1x2b4，x1x2，y1y2(x1b)(x2b)b2b(x1x2)x1x2，因為·0，所以x1x2y1y20，即0，得b1.故所求的直線方程為yx1.【點

4、撥】平面向量與圓的交匯是平面解析幾何的一個熱點內容，解題時，一方面要能夠正確地分析用向量表達式給出的題目的條件，將它們轉化為圖形中相應的位置關系，另一方面還要善于運用向量的運算解決問題.【變式訓練2】若曲線x2y2x6y30上兩點p、q滿足關于直線kxy40對稱；opoq，則直線pq的方程為.【解析】由知直線kxy40過圓心(，3)，所以k2，故kpq.設直線pq的方程為yxt，與圓的方程聯立消去y，得x2(4t)xt26t30.(*)設p(x1，y1)，q(x2，y2)，由于opoq，所以x1x2y1y20，來源:即x1x2(x1t)(x2t)0，所以(x1x2)(t)x1x2t20.由(*

5、)知，x1x2，x1x2，代入上式，解得t或t.此時方程(*)的判別式0. 從而直線的方程為yx或yx，即x2y30或2x4y50為所求直線方程.題型三與圓有關的最值問題【例3】求與直線xy20和曲線x2y212x12y540都相切的半徑最小的圓的標準方程.【解析】曲線x2y212x12y540可化為(x6)2(y6)218，它表示圓心為(6,6)，半徑為3的圓.作出直線xy20與圓(x6)2(y6)218，來源:由圖形可知，當所求圓的圓心在直線yx上時，半徑最小.設其半徑為r，點(6,6)到直線xy2的距離為5，所以2r35，即r，點(0,0)到直線xy2的距離為，所求圓的圓心為(2cos

6、45°，2sin 45°)，即(2,2)，故所求圓的標準方程為(x2)2(y2)22.【點撥】解決與圓有關的最值問題時，要借助圖形的幾何性質，利用數形結合求解【變式訓練3】由直線yx1上的點向圓c：(x3)2(y2)21引切線，則切線長的最小值為()a.b.3c.d.2【解析】選a.設m為直線yx1上任意一點，過點m的切線長為l，則l，當|mc|2最小時，l最小，此時mc與直線yx1垂直，即|mc|()218，故l的最小值為.總結提高1.解決直線與圓的綜合問題時，一方面，我們要注意運用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數化)，把它轉化為代數問題，通過代數的計算，使問題得到解決；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯系得非常緊密，因此，我們要勤動手，準確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識使問題較為簡捷地得到解決，即注