1、考點26 基本不等式基本不等式：（1）了解基本不等式的證明過程.（2）會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}.一、基本不等式1基本不等式：（1）基本不等式成立的條件：.（2）等號成立的條件，當且僅當時取等號2算術平均數與幾何平均數設，則a、b的算術平均數為，幾何平均數為，基本不等式可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數3利用基本不等式求最值問題（1）如果積xy是定值p，那么當且僅當時，xy有最小值是.(簡記：積定和最小)（2）如果和xy是定值p，那么當且僅當時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)4常用結論（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）二、基本不等式在實際中的應用1

2、問題的背景是人們關心的社會熱點問題，如物價、銷售、稅收等題目往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數學模型，轉化為數學問題求解；2經常建立的函數模型有正(反)比例函數、一次函數、二次函數、分段函數以及等解答函數應用題中的最值問題時一般利用二次函數的性質，基本不等式，函數的單調性或導數求解考向一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接滿足基本不等式條件，則直接應用基本不等式（2）若不直接滿足基本不等式條件，則需要創造條件對式子進行恒等變形，如構造“1”的代換等常見的變形手段有拆、并、配.拆裂項拆項對分子的次數不低于分母次數的分式進行整式分離分離成整式與“真

3、分式”的和，再根據分式中分母的情況對整式進行拆項，為應用基本不等式湊定積創造條件并分組并項目的是分組后各組可以單獨應用基本不等式，或分組后先由一組應用基本不等式，再組與組之間應用基本不等式得出最值配配式配系數有時為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據題設條件采取合理配式、配系數的方法，使配式與待求式相乘后可以應用基本不等式得出定值，或配以恰當的系數后，使積式中的各項之和為定值.（3）若一次應用基本不等式不能達到要求，需多次應用基本不等式，但要注意等號成立的條件必須要一致.注：若可用基本不等式，但等號不成立，則一般是利用函數單調性求解.典例1 若正數a，b滿足，則的最小值為a1 b6 c9

4、 d16【答案】b 【解析】解法一：因為，所以ab=ab(a1)·(b1)=1，所以=2×3=6(當且僅當，b=4時取“=”).故的最小值為6.解法二：因為，所以ab=ab，所以(當且僅當，b=4時取“=”)故的最小值為6.解法三：因為，所以，所以(當且僅當b=4時取“=”)故的最小值為6.【名師點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正各項均為正；二定積或和為定值；三相等等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤1函數的最大值為_，此時的值為_.考向二 基本不等式的實際應用有關函數最值的實際問題的解題技巧：（1）根據實際問題抽象出函數的解析

5、式，再利用基本不等式求得函數的最值（2）設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數（3）解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍（4）在應用基本不等式求函數最值時，若等號取不到，可利用函數的單調性求解.典例2 2017年，在國家創新驅動戰略下，北斗系統作為一項國家高科技工程，一個開放型的創新平臺，1400多個北斗基站遍布全國，上萬臺設備組成星地“一張網”，國內定位精度全部達到亞米級，部分地區達到分米級，最高精度甚至可以達到厘米或毫米級.最近北斗三號工程耗資a元建成一大型設備，已知這臺設備維修和消耗費用第一年為b元，以后每年增加b元（a、b是常數），用t表示設備使用的年數，記設備年

6、平均維修和消耗費用為y，即y= (設備單價+設備維修和消耗費用）÷設備使用的年數（1）求y關于t的函數關系式；（2）當a=112500，b=1000時，求這種設備的最佳更新年限【解析】（1）由題意，設備維修和消耗費用構成以b為首項，b為公差的等差數列， 因此年平均維修和消耗費用為(元).于是有y=b2(t+1)+at=b2+bt2+at,t>0. （2）由（1）可知，當a=112500，b=1000時，當且僅當t=225t,即t=15時，等號成立.答：這種設備的最佳更新年限為15年【名師點睛】利用基本不等式解決應用問題的關鍵是構建模型，一般來說，都是從具體的問題背景，通過相關的

7、關系建立關系式.在解題過程中盡量向模型上靠攏.2在城市舊城改造中，某小區為了升級居住環境，擬在小區的閑置地中規劃一個面積為的矩形區域（如圖所示），按規劃要求：在矩形內的四周安排寬的綠化，綠化造價為200元/，中間區域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價為100元/.設矩形的長為.（1）將總造價（元）表示為長度的函數；（2）當取何值時，總造價最低，并求出最低總造價.考向三 基本不等式的綜合應用基本不等式是高考考查的熱點，常以選擇題、填空題的形式出現通常以不等式為載體綜合考查函數、方程、三角函數、立體幾何、解析幾何等問題主要有以下幾種命題方式：（1）應用基本不等式判斷不等式是否成立或比較大

8、小解決此類問題通常將所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解（2）條件不等式問題通過條件轉化成能利用基本不等式的形式求解（3）求參數的值或范圍觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得到參數的值或范圍.典例3 下列不等式一定成立的是abcd【答案】c【解析】對于a：(當時，)，a不正確；對于b：，b不正確；對于c：，c正確；對于d：，d不正確.故選c.【思路點撥】利用基本不等式判斷不等關系及比較大小的思路：基本不等式常用于有條件的不等關系的判斷、比較代數式的大小等.一般地，結合所給代數式的特征，將所給條件進行轉換(利用基本不等式可將整式和根式相互轉化)，使其中的不等關系明晰即

9、可解決問題.3設，且恒成立，則的最大值是abcd典例4 設正項等差數列的前項和為，若，則的最小值為_【答案】【解析】因為，所以則即.所以.當且僅當時取等號.故答案為：.【名師點睛】條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值4已知向量，且為正實數，若滿足，則的最小值為abcd1已知，則的最大值為a1bcd2若直線過點，則的最小值等于a3b4cd3已知，則的最小值是a2b3c4d54當時，不等式恒成立，則的取值范圍是abcd5已知正數滿足，

10、則a有最大值b有最小值c有最大值10d有最小值106已知，則取到最小值時，abcd7用籬笆圍一個面積為的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，則最短的籬笆是a30 mb36 mc40 md50 m8下列式子的最小值等于4的是ab，c，d9已知，滿足，則的最小值是abcd10中，角的對應邊分別為，若成等差數列，則角的取值范圍是abcd11已知，則的最小值為ab6cd12已知實數，是與的等比中項，則的最小值是_13已知正數、滿足，則的最大值為_14已知直線被圓截得的弦長為，則的最大值為_.15設實數滿足條件，若目標函數的最大值為12，則的最小值為_.16已知函數.（1）解關于的不等

11、式；（2）若，令，求函數的最小值.17為了加強“平安校園”建設，有效遏制涉校案件的發生，保障師生安全，某校決定在學校門口利用一側原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務室.由于此警務室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計14400元設屋子的左右兩面墻的長度均為米（1）當左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？并求出最低報價（2）現有乙工程隊也要參與此警務室的建造競標，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能

12、競標成功，試求的取值范圍1（2019年高考浙江卷）若，則“”是 “”的a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充分必要條件d 既不充分也不必要條件2（2019年高考天津卷文數）設，則的最小值為_.3（2018年高考天津卷文數）（2018天津文科）已知，且，則的最小值為 .4（2018年高考江蘇卷）在中，角所對的邊分別為，的平分線交于點d，且，則的最小值為_5（2017年高考天津卷文數）若，則的最小值為_6（2017年高考山東卷文數）若直線過點,則2a+b的最小值為_7（2017年高考江蘇卷）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元要使一年的總運費與總

13、存儲費用之和最小，則的值是_變式拓展1【答案】3 2【解析】因為，又，所以，當且僅當時取等號.此時.即的最大值為，此時.【名師點睛】本題主要考查求函數的最值，熟記基本不等式即可，屬于?？碱}型.求解時，先將原式化為，再由基本不等式，即可求出結果.2【答案】（1），；（2）當時，總造價最低為元.【解析】（1）由矩形的長為m，得矩形的寬為m，則中間區域的長為m，寬為m，則，定義域為.整理得，.（2），當且僅當，即時取等號.所以當時，總造價最低為元.【名師點睛】本題主要考查了函數的表示方法，以及基本不等式的應用.在利用基本不等式時保證“一正二定三相等”，屬于中等題.（1）根據題意得矩形的長為m，則矩形

14、的寬為m，中間區域的長為m，寬為m，列出函數關系式即可.（2）根據（1）的結果利用基本不等式求解即可.3【答案】b【解析】等價于，而，當且僅當，即時取等號，故得到，則的最大值是3.故答案為b.【名師點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤.4【答案】a【解析】由題意得，因為，為正實數，則，當且僅當，即時取等號.所以選擇a.【名師點睛】本題主要考查了向量的數量積以及基本不等式，在用基本不等式時要滿足“一正二定三相等”.屬于中等題.

15、考點沖關1【答案】d【解析】因為，所以有，當且僅當時取等號，故本題選d.【名師點睛】本題考查了基本不等式的應用，掌握公式的特征是解題的關鍵.求解時，直接使用基本不等式，可以求出的最大值.2【答案】c【解析】將代入直線方程得到，當時等號成立.故選c.【名師點睛】本題考查了直線方程，均值不等式，1的代換是解題的關鍵.求解時，將代入直線方程得到，利用均值不等式得到的最小值.3【答案】d【解析】由題意知，因為，所以，則（當且僅當，即時取“=”），故的最小值是5.故答案為d.【名師點睛】本題考查了基本不等式的運用，要注意“=”取得的條件，屬于基礎題.4【答案】a【解析】，當且僅當，即時取等號，當時，不等

16、式恒成立，只需故選a【名師點睛】本題主要考查基本不等式，解題的關鍵是得出，屬于一般題.5【答案】a【解析】由不等式的性質有：（）2，當且僅當時等號成立，即（）250，又m0，n0，所以，即m，故選a【名師點睛】本題考查了基本不等式及其應用，轉化化歸能力，注意等號成立的條件，屬中檔題.6【答案】d【解析】由，可得，且.所以，當且時等號成立，解得.所以取到最小值時.故選d.【名師點睛】本題考查基本不等式取得最值的條件，多次用不等式求最值時要注意不等式取等的條件要同時滿足.7【答案】c【解析】設矩形的長為，則寬為，設所用籬笆的長為，所以有，根據基本不等式可知：（當且僅當，即時取等號），故本題選c.【

17、名師點睛】本題考查了基本不等式的應用，由已知條件構造函數，利用基本不等式求出最小值是解題的關鍵.8【答案】c【解析】選項a，設，當時，當且僅當時，取等號；當時，當且僅當時，取等號，故函數沒有最小值；選項b，令，函數在時單調遞減，故當時是單調遞減函數，所以，沒有最小值；選項c，當且僅當時取等號，故符合題意；選項d，令，令，而函數在時是單調遞增函數，故當時，函數也單調遞增，所以，不符合題意，所以本題選c.【名師點睛】本題考查了基本不等式和函數的單調性，利用基本不等式時，一定要注意三點：其一，必須是正數；其二，要有定值；其三，要注意等號成立的條件，簡單記為一正二定三相等.9【答案】d【解析】正實數，

18、滿足，當且僅當時取等號，的最小值為，故選d.【名師點睛】本題考查了基本不等式的應用問題，解題的關鍵是，使它能利用基本不等式，是基礎題目10【答案】c【解析】由成等差數列，可得，即，則（當且僅當時取等號）；由于在三角形中，且在上為減函數，所以角的取值范圍是：.故選c.【名師點睛】本題考查余弦定理，等差數列的性質，以及基本不等式的應用，求解時，由成等差數列，可得，然后利用余弦定理表示出，進行化簡后，利用基本不等式即可求出的最小值，根據的范圍以及余弦函數的單調性，即可求出角的取值范圍.11【答案】b【解析】，當且僅當，即時等號成立.故選b.【名師點睛】本題主要考查均值定理的應用，構造均值定理的結構，

19、利用均值定理求解最小值.使用均值定理求解最值時，一要注意每一項必須為正實數，二是要湊出定值，三是要驗證等號成立的條件，三者缺一不可，尤其是等號不要忘記驗證.12【答案】【解析】實數是與的等比中項，即則，當且僅當，即時取等號故答案為:【名師點睛】本題考查了等比中項，均值不等式，1的代換是解題的關鍵.求解時，通過是與的等比中項得到，利用均值不等式求得最小值.13【答案】【解析】，當即時等號成立.故答案為.【名師點睛】本題考查了均值不等式，意在考查學生的計算能力.14【答案】【解析】圓可化為，則圓心為，半徑為，又因為直線被圓截得的弦長為，所以直線過圓心，即，化為，當且僅當，即時取等號，的最大值為，故

20、答案為.【名師點睛】本題主要考查圓的方程與性質以及基本不等式的應用，考查了轉化思想的應用，屬于中檔題.轉化是數學解題的靈魂，合理的轉化不僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，本題將弦長問題轉化為直線過圓心是解題的關鍵.15【答案】【解析】由可行域可得，當，時，目標函數取得最大值，即，.當且僅當，即時取等號，故答案為.【名師點睛】本題考查了通過目標函數的最大值，得到參數之間的等式，求不等式最小值問題，關鍵是正確得到參數之間的等式.16【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為.（2）當時，令（當且僅當，即時取等號）.

21、故函數的最小值為.【名師點睛】本題考查了解不等式，均值不等式，函數的最小值，意在考查學生的綜合應用能力.17【答案】（1）4米時，28800元；（2）【解析】（1）設甲工程隊的總造價為元，則，當且僅當，即時等號成立即當左右兩側墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為28800元（2）由題意可得，對任意的恒成立 即，從而恒成立，令，則，又在時為單調增函數，故所以【名師點睛】本題主要考查基本不等式的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.（1）設甲工程隊的總造價為元，先求出函數的解析式，再利用基本不等式求函數的最值得解；（2）由題意可得，對任意的恒成立，從而恒成立，求出左邊函數的最小

22、值即得解.直通高考1【答案】a【解析】當時，當且僅當時取等號，則當時，有，解得，充分性成立；當時，滿足，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【名師點睛】易出現的錯誤有，一是基本不等式掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能靈活的應用“賦值法”，通過特取的值，從假設情況下推出合理結果或矛盾結果.2【答案】【解析】.因為，所以，即，當且僅當時取等號成立.又因為所以的最小值為.【名師點睛】使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立.3【答案】14【解析】由a-3b+6=0可知a-3b=-6，且2a+18b=2a+2-3b，因為對于任意x，2x>0恒成立，結合基本不等式的結論可得：2a+2-3b2×2a×2-3b=2×2-6=14.當且僅當2a=2-3ba-3b=6，即a=3b=-1時等號成立.綜上可得2a+18b的最小值為14.【名師點睛】利用基本不等式求最值時，要靈活運用以下兩個公式：，當且僅當時取等號；，當且僅當時取等號解題時要注意公式的