1、學習必備歡迎下載八年級 1.1 、你能證明它們嗎 (一) 一、教學目標：1、了解作為證明基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。2、經歷“探索發現猜想證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。3、結合實例體會反證法的含義。二、教學重點：了解作為證明基礎的幾條公理的內容，通過等腰三角形性質證明，掌握證明的基本步驟和書寫格式。教學難點 ：能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理（特別是證明等腰三角形性質時輔助線做法） 。三、教學方法： 觀察法。四、教學分析： 本節是學習了證明之后的基礎上，進一步證明技巧和規范證明過程五、教學過程：復習：1、什么是等腰三角形

2、？2、你會畫一個等腰三角形嗎？并把你畫的等腰三角形栽剪下來。3、試用折紙的辦法回憶等腰三角形有哪些性質？新課講解 ：在證明（一）一章中，我們已經證明了有關平行線的一些結論，運用下面的公理和已經證明的定理，我們還可以證明有關三角形的一些結論。同學們和我一起來回憶 上學期學過的公理本套教材選用如下命題作為公理 : 1. 兩直線被第三條直線所截 , 如果同位角相等 , 那么這兩條直線平行 ; 2. 兩條平行線被第三條直線所截, 同位角相等 ; 3. 兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等; （sas ）4. 兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等; （asa ）5. 三邊對應相等的兩個三角形全等; （sss

3、 ）6. 全等三角形的對應邊相等 , 對應角相等 . 由公理 5、3、4、6 可容易證明下面的推論：推論兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。（aas ）證明過程：已知： a=d,b=e,bc=ef 求證： abc def 證明： a+b+c=180 ，d+ e+f=180（三角形內角和等于180）c=180 -( a+b) f=180-( d+ e) 又 a=d,b=e（已知）c=f 又bc=ef （已知）abc def （asa ）定理：等腰三角形的兩個底角相等。abcfed學習必備歡迎下載這一定理可以簡單敘述為：等邊對等角 。已知：如圖，在 abc中，ab ac 。求證： bc

4、證明：取 bc的中點 d ，連接 ad 。ab ac ，bd cd ，ad ad ，abc acd (sss) b=c ( 全等三角形的對應邊角相等) （讓同學們通過探索、合作交流找出其他的證明方法。做bac 的平分線，交bc 邊于 d；過點 a 做 adbc。 。學生指出該定理的條件和結論，寫出已知、求證，畫出圖形，并選擇一種方法進行證明。）想一想：在上圖中，線段 ad還具有怎樣的性質？為什么？由此你能得到什么結論？（應讓學生回顧前面的證明過程，思考線段ad具有的性質和特征，討論圖中存在的相等的線段和相等的角，發現等腰三角形性質定理的推論，從而得到結論，這一結合通常簡述為“三線合一” 。 ）

5、推論 等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。隨堂練習：做教科書第 4 頁第 1，2 題。 （引導學生分析證明方法，學生動手證明，寫出證明過程。 ）六、課堂小結：通過這節課的學習你學到了什么知識？（學生小結： 通過本課的學習我們了解了作為基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。經歷“探索發現猜想證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。探體會了反證法的含義。）七、作業 ：1、基礎作業： p5 頁習題 1.1 1、2。2、拓展作業：目標檢測 3、預習作業： p5-6 頁議一議八、板書設計：九、課后記：1.1 、你能證明它們嗎 ( 二) 一、教

6、學目標：1、進一步了解作為證明基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。2、經歷“探索發現猜想證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線（高） 、兩底角的平分線相等，并由特殊結論歸納出一般結論。3、能夠用綜合法證明等腰三角形的判定定理。4、了解反證法的推理方法。5、會運用“等角對等邊”解決實際應用問題及相關證明問題。二、教學重點： 正確敘述結論及正確寫出證明過程。熟悉作為證明基礎的幾條公理的內容，通過學習，掌握證明的基本步驟和書寫格式。教學難點 ：等腰三角形的定理應用及由特殊結論歸納出一般結論。三、教學方法： 探究式教學法自主探究與合作探究四、教學過程：復習回顧 ：學習

7、必備歡迎下載你知道等腰三角形具有怎樣的性質嗎?、探索發現猜想證明1、 引導探索：等腰三角形頂角的平分線、 底邊上的中線和高線具有上述的性質，那么，兩底角的平分線、兩腰上的中線和高線又具有怎樣的性質呢？（提出問題，激發學生探究的欲望。學生猜想）2、 探究中發現： 在等腰三角形中做出兩底角的平分線，你會發現圖中有那些相等的線段？你能用文字敘述你的結論嗎？（學生動手畫圖、探索發現相等的線段并思考為什么相等）3、證明：（1） 例 1 證明：等腰三角形兩底角的平分線相等。（引導學生分清條件和結論、畫圖、寫出已知、求證。）已知：如圖，在 abc 中，abac ，bd ，ce是 abc 的角平分線。求證：

8、bdce （一生口述證明過程，然后寫出證明過程。）證明： （略）此題還有其它的證法嗎？（2） 你能證明等腰三角形兩條腰上的中線相等嗎？高呢？（引導學生分清條件和結論、畫圖、寫出已知、求證并證明。其它證法合作交流完成。 ）4、議一議 1：在上圖的等腰 abc 中，如果 abd 1/3 abc, ace 1/3 acb,那么 bdce嗎？如果 abd 1/4 abc, ace 1/4 acb呢？由此你能得到一個什么結論？（根據圖形引導學生分析歸納得出一般結論。學生分組思考、 交流，在充分討論的基礎上得出一般結論寫出證明過程。 ）（3） 如果 ad1/2ac,ae1/2ab, 那么 bd ce 嗎？

9、如果ad1/3ac,ae1/3ab, 呢？由此你能得到一個什么結論？議一議 2：把“等邊對等角”反過來還成立嗎？你能證明？定理證明已知：在 abc 中b=c 求證： ab=ac （引導學生證明定理）方法如下：（課堂小結 1：(1) 歸納判定等腰三角形判定有幾種方法, (2) 證明兩條線段相等的方法有哪幾種。 （討論、交流）隨堂練習：已知：在 abc 中，ab=ac ，d 在 ab 上，deac 求證： db=de（引導學生分析證明方法，學生動手證明，寫出證明過程。）想一想 : 小明說，在一個三角形中,如果兩個角不相等,那么這兩個角所對的邊也不相等,你認為這個結論成立嗎 ?如果成立 ,你能證明它

10、 ? 證明 p8 a c b d e a b c d ea c b 學習必備歡迎下載反證法的概念p8課堂小結 2：通過這節課的學習你學到了什么知識？了解了什么證明方法？（學生小結：掌握證明的基本步驟和書寫格式。 經歷 “探索發現猜想證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線（高）、兩底角的平分線相等，并由特殊結論歸納出一般結論。等腰三角形的判定定理。 了解反證法的推理方法。）五、作業 ：1、基礎作業： p9 頁習題 1.2 1、2、3。2、拓展作業：目標檢測3、預習作業： p10-12 頁做一做六、板書設計：七、課后記： 11 你能證明他們嗎？（第三課時）一、教學目標： 1、進一

11、步學習證明的基本步驟和書寫格式。2、掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關的性質定理和判定定理。二、教學重點、難點： 關于綜合法在證明過程中的應用。三、教學過程：溫故知新1、已知： abc,acb 的平分線相交于f,過 f 作 debc,交 ab 于 d,交 ac 于 e (1) 找出圖中的等腰三角形(2) bd,ce,de 之 間 存 在 著 怎 樣 的 關系？(3) 證明以上的結論。2、復習關于反證法的相關知識練習：證明：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60。（筆試，進一步鞏固學習證明的基本步驟和書寫格式）學一學1、探索問題 ：一個等腰三角形滿足什么條件時便成為等邊三角形？你認為有一

12、個角等于60的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的思路嗎？ （把你的思路與同伴進行交流。 ）定理：有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形。2、做一做 ：用兩個含30角的三角尺，能拼成一個怎樣的三角形？能拼成一個等邊三角形嗎？說說你的理由。由此你能想到，在直角三角形中，30角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關系？能證明你的結論嗎？（提示學生根據兩個三角尺拼出的圖形發現結論，并證明）證明：在 abc 中， acb=90，a=30，則 b=60延長 bc 至 d,使 cd=bc,連接 ad e d b a c a 學習必備歡迎下載acb=90acd=90ac=ac abcadc(sss) ab=a

13、d( 全等三角形的對應邊相等) abd 是等邊三角形bc=21bd=21ab 得到的結論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。3、例題學習等腰三角形的底角為15，腰長為 2a ，求腰上的高。已知：在 abc 中，ab=ac=2a, abc=acb=15度，cd 是腰 ab 上的高求：cd 的長解： abc=acb=15dac=abc+acb=15+15=30cd=21ac=21 2a=a(在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半) 4、練習： 課本 12 頁隨堂練習1 四、課堂小結：通過這節課的學習你學到了什么知識？了解了什么證

14、明方法？（學生小結：掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關的性質定理和判定定理）五、作業 ：1、基礎作業： p13 頁 習題 1.3 1、2、3 題2、拓展作業：目標檢測3、預習作業： p15-17 頁讀一讀“勾股定理的證明”六、板書設計：直角三角形（第一課時）a d b c 1.1 、你能證明它們嗎 ( 三) 有一個角等于60的等腰三角形在直角三角形中，如果一個銳角等于30，是等邊三角形。那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。學習必備歡迎下載教學目標：1、進一步掌握推理證明的方法，發展演繹推理能力。2、了解勾股定理及其逆定理的證明方未能，能夠證明直角三角形全等的“hl”判定定理。3、結合具體例子了

15、解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立。教學過程：引入： 我們曾經利用數方格和割補圖形的方未能得到了勾股定理。實際上， 利用公理及其推導出的定理，我們能夠證明勾股定理。定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖，在 abc 中， c=90， bc=a，ac=b ，ab=c ，延長 cb 至點 d，使 bd=b ，作 ebd= a，并取 be=c，連接 ed、 ae，則 abc bed 。 bde=90 ， ed=a（全等三角形的對應角相等，對應邊相等）。四邊形 acde 是直角梯形。s梯形acde =12(a+b)(a-b)= 12(a+b)2 abe

16、=180 -abc- ebd=180 - 90 =90ab=be sabc = 12c2s梯形acde = sabe +sabc+ sbed , 12(a+b)2=12c2+12ab+12ab 即12a2+ab+12b2=12c2+12ab+12ab a2+b2=c2反過來， 在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形”的結論，你能證明這個結論嗎？已知：如圖，在abc ，ab2+ac2=bc2，求證： abc 是直角三角形。學習必備歡迎下載證明：作出rt a b c ，使 a=90 ， a b =ab ，a c =ac ，則a b2+a c

17、2=b c2（勾股定理）ab2+ac2=bc2，a b =ab ，a c =ac ，bc2= b c2bc=b c abc a b c (sss) a=a =90(全等三角形的對應角相等) 因此， abc 是直角三角形。定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。在兩個命題中， 如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為另一個命題的互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。一個命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題。如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理。這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定

18、理。練習題：隨堂作業作業： p20： 1、2、3 學習必備歡迎下載九年級上期數學教案12 直角三角形教學目標： 1、了解勾股定理及其逆定理的證明方法2、結合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題、知道原命題成立其逆命題不一定成立。教學重點、難點： 進一步掌握演繹推理的方法。教學過程：一、溫故知新1、你記得勾股定理的內容嗎？你曾經用什么方法得到了勾股定理？（由學生回顧得出勾股定理的內容。 ）定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。二、學一學1、問題情境：在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形”的結論，你能證明這個結論嗎？已

19、知：在 abc 中，ab2+ac2=bc2求證： abc 是直角三角形a)（！ ）（2）（講解證明思路及證明過程，引導學生領會證明思路及證明過程，得出結論。）結論：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。2、議一議：觀察下列三組命題，它們的條件和結論之間有怎樣的關系？如果兩個角是對頂角，那么它們相等。如果兩個角相等，那么它們是對頂角。如果小明患了肺炎，那么他一定會發燒。如果小明發燒，那么他一定患了肺炎。三角形中相等的邊所對的角相等。三角形中相等的角所對的邊相等。（引導學生觀察這些成對命題的條件和結論之間的關系，歸納出它們的共性，進一步得出“互逆定理”的概念。 ）3、

20、關于互逆命題和互逆定理。（1）在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題， 其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。（2）一個命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題。如果一個定理的逆命a b c a1b2c1學習必備歡迎下載題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。（引導學生理解掌握互逆命題的定義。 ）4、練習：（1） 寫出命題“如果有兩個有理數相等，那么它們的平方相等”的逆命題，并判斷是否是真命題。（2） 試著舉出一些其它的例子。（3） 隨堂練習 1 5、讀一讀“勾股定理的證明”的閱讀

21、材料。6、課堂小結：本節課你都掌握了哪些內容？（引導學生歸納總結，互逆定理的定義及相互間的關系。）三、作業1、基礎作業： p20頁習題 1.4 1、2、3。2、拓展作業：目標檢測3、預習作業： p21-22 頁做一做板書設計：課后記： 1、2 直角三角形（ 2）教學目標： 1、進一步掌握推理證明的方法，發展演繹推理能力。2、能夠證明直角三角形全等的“hl”判定定理既解決實際問題。重點： 能夠證明直角三角形全等的“hl”判定定理。并且用紙解決問題。難點： 證明“ hl”定理的思路的探究和分析。- 教學過程：一、復習提問1、判斷兩個三角形全等的方法有哪幾種？12直角三角形勾股定理：互逆定理學習必備

22、歡迎下載2、有兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等嗎？如果其中一個角是直角呢？請證明你的結論。（思考交流引導學生分析證明思路，寫出證明過程）二、探究兩邊及其一個角對應相等的兩個三角形全等嗎？如果相等說明理由。如果不相等，應如何改變條件？用自己的語言清楚地說明，并寫出證明過程。問題 1，此定理適用于什么樣的三角形？（適用于直角三角形）2、 判定直角三角形的方法有哪些， 分別說出？（hl,sas,asa,aas,sss.先考慮 hl,在考慮另外四種方法。 ）三、做一做如圖利用刻度尺和三角板，能否做出這個角的角平分線？并證明。（設計做一做的目的為了讓學生體會數學結論在實際中的應用，教學中就要

23、求學生能用數學的語言清楚地表達自己的想法，并能按要求將推理證明過程寫出來。）四、練習隨堂練習 p23-1 判斷命題的真假，并說明理由1、 銳角對應相等的兩個直角三角形全等。2、 斜邊及一銳角對應相等的兩個直角三角形全等。3、 兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。4、 一條直角邊和另一條直角邊上的中線隊以相等的兩個直角三角形全等。（對于假的命題要舉出反例，真命題要說明理由。教師分析講解。）五、議一議如圖：已知 acb=bda=90。要使 acb bda ，還需要什么條件？把他們寫出來，并說明理由。（教學中給予學生時間和空間，鼓勵學生積極思考，并在獨立思考的基礎上，通過交流，獲得不同的答案，并

24、將一種方法寫出證明過程。）六、 小結：1、本節課學習了哪些知識？2、還有那一些方面的收獲？a b c d a o b 學習必備歡迎下載七、作業 ：1、基礎作業： p23頁習題 1.5 1、2。2、拓展作業：目標檢測3、預習作業：預習：線段的垂直平分線。板書設計：直角三角形（第二課時）教學目標：1、進一步掌握推理證明的方法，發展演繹推理能力。2、了解勾股定理及其逆定理的證明方未能，能夠證明直角三角形全等的“hl”判定定理。3、結合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立。教學過程：復習：1、勾股定理即其逆定理。2、全等三角形的證明。新授：引入：兩邊及其中一邊

25、的對角對應相等的兩個三角形全等嗎？如果其中一邊所對的角是直角呢？定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“hl ”表示。已知：如圖，abc 和 a b c 中 c= c =90，且 ab=a b ，bc=b c ，求證： abc a b c證明： rtabc 和 rta b c 中， 1.2 直角三角形（ 2）斜邊直角邊定理：如圖：已知 acb=bda=90。要使acb bda ，還需要什么條件？把他們寫出來，并說明理由。學習必備歡迎下載ab=a b ，bc=b c ，ac2=bc2-ab2 , a c2=b c2-a b2 ac2=a c2

26、ac=a c abc a b c (sss) 做一做：用三角尺可以作角平線，如圖，在已知aob 的兩邊上分別取點m、n，使 om=on ，再過點 m 作 oa 的垂線，過點n 作 ob 的垂線，兩垂線交于點p，那么射線op 就是 aob的平分線請證明：證明：mc=nc pc=pc rtmcprtncp (hl) mcp=ncp(全等三角形對應角相等) 議一議：如圖，已知acb=bda=90 ，要使 acb bda ，還需要什么條件？把它們分別寫出來。隨堂練習判斷下列命題的真假，并說明理由。（1）兩個銳角對應相等的兩個直角三角形全等。（2）斜邊及一銳角對應相等的兩個直角三角形全等。（3）兩條直角

27、邊對應相等的兩個直角三角形全等。（4）一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等。作業： p23 1、 2 學習必備歡迎下載線段的垂直平分線（第一課時）教學目標：1、經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展學生的推理證明意識和能力。2、能夠證明線段垂直平分線的性質定理、判定定理及其相關結論。3、能夠利用尺規作已知線段的垂直平分線；已知底邊及底邊上的高，能利用尺規作出等腰三角形。教學過程： 我們曾利用折紙的辦法得到：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離睛等，你能證明這一結論嗎？定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。已知：如圖，直線mn ab，垂足是c，且

28、 ac=bc ，p 是 mn 上的任意一點。求證： pa=pb。證明：mn ab ， pca=pcb=90ac=bc ，pc=pc pca pcb（sas）pa=pb（全等三角形的對應邊相等）想一想，你能寫出上面這個定理的逆合題嗎？它是真命題嗎？如果是請證明：定理到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。（利用等腰三角形三線合一）做一做用尺規作線段的垂直平分線已知：線段ab 求作：線段ab 的垂直平分線。作法： 1、分別以點a 和 b 為圓心，以大于12ab 的長為半徑作弧，兩弧相交于點c 和 d，2、作直線cd。直線 cd 就是線段 ab 的垂直平分線。請你說明 cd 為什么

29、是ab 的垂直平分線，并與同伴進行交流。因為直線 cd 與線段 ab 的交點就是ab 的中點，所以我們也用這種方法作線段的中點。隨堂練習： p26 作業： p27， 1、2、3、教學后記：線段的垂直平分線（第二課時）教學目標：學習必備歡迎下載1、經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展學生的推理證明意識和能力。2、能夠證明線段垂直平分線的性質定理、判定定理及其相關結論。3、能夠利用尺規作已知線段的垂直平分線；已知底邊及底邊上的高，能利用尺規作出等腰三角形。教學過程：引入：剪一個三角形紙片，通過折疊找出每條邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線，你發現了什么？當利用尺規作出三角形三條邊的垂直平分線時

30、，你是否也發現了同樣的結論？定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。證明：在 abc 中，設 ab 、bc 的垂直平分線相交于點p，連接 ap、bp、cp，點 p 在線段 ab 的垂直平分線上pa=pb（線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等）同理： pb=pc pa=pc 點 p 在 ac 的垂直平分線上（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）。ab ，bc，ac 的垂直平分線相交于點p。議一議： 1、已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎？如果能，能作幾個？所作的三角形都全等嗎？（這樣的三角形能作出無數多個，它們不都全

31、等）2、已知等腰三角形底邊及底邊上的高，你能用尺規作出等腰三角形嗎？能作幾個？（滿足條件的等腰三角形可和出兩個，分加位于已知邊的兩側，它們全等）。做一做：已知底邊上的高，求作等腰三角形。已知：線段a、b 求作： abc ，使 ab=ac ，且 bc=a，高 ad=h. 作法：（1）作線段bc=a（如圖）；（2）作線段bc 的垂直平分線l，交 bc 于點 d，（3）在 l 上作線段 da ，使 da=h （4）連接 ab ，ac 作業：6.教學后記：角平分線教學目標：1、進一步發展學生的推理證明意識和能力；2、能夠證明角平分線的性質定理、判定定理及相關結論3、能夠利用尺規作已知角的平分線。教學過

32、程：定理： 角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。證明：如圖oc 是 aob 的平分線，點p 在 oc學習必備歡迎下載上pdoa，peob，垂足分別為d、e， 1=2，op=op，pdo=peo=90 pdo peo（ aas）pd=pe（全等三角形的對應邊相等）其逆命題也是真命題。引導學生自己證明。定理：在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。做一做：用尺規作角的平分線。已知： aob 求作：射線oc，使 aoc= boc 作法： 1、在 oa 和 ob 上分別截取od、oe，使 od=oe 2、分別以d、e 為圓心，以大于12de 的長為半徑作弧，兩弧在aob 內交于

33、點 c。3、作射線oc oc 就是 aob 的平分線。讀一讀：尺規作圖不能問題：三等分一個任意角，倍立方求作一個立方體，使該立方體的體積等于給定立方體的兩倍。化圓為方求作一個正方形，使其與給定圓的面積相等。課堂練習： p32，1、2 題作業： p34， 1、2、3 題。花邊有多寬教學目標：1、經歷方程解的探索過程，增進對方程解的認識，發展估算意識和能力。2、滲透“夾逼”思想教學重點難點：用“夾逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。教學方法：講授法教學用具：幻燈機教學程序：學習必備歡迎下載一、復習：1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2+bx+c-0(a 0) 2、

34、指出下列方程的二次項系數，一次項系數及常數項。（1）2x2x+1=0 (2)x2+1=0 (3)x2x=0 (4)3 x2=0 二、新授：1、估算地毯花邊的寬。地毯花邊的寬x(m) ，滿足方程(82x)(52x)=18 也就是： 2x213x+11=0 你能求出x 嗎？（1）x 可能小于0 嗎？說說你的理由；x 不可能小于0，因為 x 表示地毯的寬度。（2）x 可能大于4 嗎？可能大于2.5 嗎？為什么？x 不可能大于4，也不可能大于2.5, x4 時， 52x2.5 時，52x0. （3）完成下表x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2x213x+11 從左至右分別11，4.75，0， 4

35、， 7， 9 （4）你知道地毯花邊的寬x(m)是多少嗎？還有其他求解方法嗎？與同伴交流。地毯花邊1 米，另，因82x 比 52x 多 3，將 18 分解為 63，82x=6，x=1 2、例題講析：例：梯子底端滑動的距離x（m）滿足 (x+6)2+72=102也就是 x2+12x15=0 （1）你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎？（2）x 的整數部分是幾？十分位是幾？x 0 0.5 1 1.5 2 x2+12x15 -15 -8.75 -2 5.25 13 所以 1x1.5 進一步計算x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x15 -0.59 0.84 2.29 3.76 所以 1.1x

36、1.2 因此 x 的整數部分是1,十分位是1 注意： （1）估算的精度不適過高。（2）計算時提倡使用計算器。三、鞏固練習：p47，隨堂練習1 四、小結：估計方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高。學習必備歡迎下載五、作業： p47，習題 2.2：1、2 配方法（第一課時）教學目標：1、會用開平方法解形如(x+m)2=n (n0)的方程；2、理解配方法，會用配方法解簡單的數字系數的一元二次方程；3、體會轉化的數學思想，用配方法解一元二次方程的過程。教學程序：一、復習：1、解下列方程：（1）x2=9 （2）(x+2)2=16 2、什么是完全平方式？利用公式計算：（1）(x+6)2（2）(x

37、12)2注意：它們的常數項等于一次項系數一半的平方。3、解方程：（梯子滑動問題）x2+12x15=0 二、新授：1、引入：像上面第3 題，我們解方程會有困難，是否將方程轉化為第1 題的方程的形式呢？2、解方程的基本思路（配方法）如： x2+12x 15=0 轉化為(x+6)2=51 兩邊開平方，得x+6=51 x1=51 6 x2=51 6(不合實際 ) 因此，解一元二次方程的基本思路是將方程轉化為(x+m)2=n 的形式，它的一邊是一個完全平方式，另一邊是一個常數，當n0 時，兩邊開平方便可求出它的根。3、配方：填上適當的數，使下列等式成立：（1）x2+12x+ =(x+6)2（2）x212

38、x+ =(x)2（3）x2+8x+ =(x+ )2從上可知：常數項配上一次項系數的一半的平方。4、講解例題：例 1：解方程： x2+8x9=0 分析：先把它變成(x+m)2=n （n0）的形式再用直接開平方法求解。解：移項，得：x2+8x=9 配方，得： x2+8x+42=9+42（兩邊同時加上一次項系數一半的平方）即： (x+4)2=25 開平方，得：x+4=5 即： x+4=5 ，或 x+4= 5 所以： x1=1，x2=9 學習必備歡迎下載5、配方法：通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，這種解一元二閃方程的方法稱為配方法。三、鞏固練習：p50，隨堂練習：1 四、小結：（1）什

39、么叫配方法？（2）配方法的基本思路是什么？（3）怎樣配方？五、作業： p50 習題 2.3 1、2 六、教學后記學習必備歡迎下載配方法（二）教學目標：1、利用配方法解數字系數的一般一元二次方程。2、進一步理解配方法的解題思路。教學重點、難點：用配方法解一元二次方程的思路；給方程配方。教學程序：一、復習：1、什么叫配方法？2、怎樣配方？方程兩邊同加上一次項系數一半的平方。3、解方程：（1）x2+4x+3=0 （2）x24x+2=0 二、新授：1、例題講析：例 3：解方程： 3x2+8x3=0 分析：將二次項系數化為1 后，用配方法解此方程。解：兩邊都除以3，得：x2+83x 1=0 移項，得：

40、x2+83x = 1 配方，得： x2+83x+(43)2= 1+(43)2（方程兩邊都加上一次項系數一半的平方）(x+43)2=(53)2即： x+43=53所以 x1=13， x2=3 2、用配方法解一元二次方程的步驟：（1）把二次項系數化為1；（2）移項，方程的一邊為二次項和一次項，另一邊為常數項。（3）方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方。（4）用直接開平方法求出方程的根。3、做一做：一小球以15m/s 的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度h （m）與時間 t（s）滿足關系：h=15 t5t2小球何時能達到10m 高？三、鞏固：練習： p51，隨堂練習：1 四、小結：1、用配方法解一元

41、二次方程的步驟。（1）化二次項系數為1；（2）移項；學習必備歡迎下載（3）配方：（4）求根。五、作業： p33，習題 2.4 1、2 六、教學后記學習必備歡迎下載配方法（三）教學目標： 1、經歷到方程解決實際，問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現實世界中數量關系的一個有效數學模型，培養學生數學應用的意識和能力；2、進一步掌握用配方法解題的技能教學重點、難點：列一元二次方程解方程。教學程序：一、復習：1、配方：（1）x23x+ =(x)2（2）x25x+ =(x)22、用配方法解一元二次方程的步驟是什么？3、用配方法解下列一元二次方程？（1）3x21=2x (2)x25x+4=0 二、引入課題：

42、我們已經學習了用配方法解一元二次方程，在生產生活中常遇到一些問題，需要用一元二次方程來解答，請同學們將課本翻到54 頁，閱讀課本，并思考：三、出示思考題：1、如圖所示：（1）設花園四周小路的寬度均為x m，可列怎樣的一元二次方程？(16-2x) (12-2x)= 121612 （2）一元二次方程的解是什么？x1=2 x2=12 （3）這兩個解都合要求嗎？為什么？x1=2 合要求，x2=12不合要求，因荒地的寬為12m，小路的寬不可能為12m，它必須小于荒地寬的一半。2、設花園四角的扇形半徑均為x m，可列怎樣的一元二次方程？學習必備歡迎下載x2=12 1216 （2）一元二次方程的解是什么？x

43、1=965.5 x2 5.5 （3）合符條件的解是多少？x1=5.5 3、你還有其他設計方案嗎？請設計出來與同伴交流。（1）花園為菱形？（2）花園為圓形（3）花園為三角形？（4）花園為梯形四、練習： p56 隨堂練習五、小結：1、本節內容的設計方案不只一種，只要合符條件即可。2、設計方案時，關鍵是列一元二次方程。3、一元二次方程的解一般有兩個，要根據實際情況舍去不合題意的解。六、作業：p56，習題 2.5，1、2 七、教學后記：為什么是 0.618（第一課時）知識目標： 1、掌握黃金分割中黃金比的來歷；2、經歷分析具體問題中的數量關系，建立方程模型并解決問題的過程，認識方程模型的重要性。教學重

44、點難點：列一元一次方程解應用題，依題意列一元二次方程教學程序：一、復習1、解方程：（1）x2+2x+1=0 (2)x2+x1=0 2、什么叫黃金分割？黃金比是多少？（0.618）3、哪些一元二次方程可用分解因式法來求解？（方程一邊為零，另一邊可分解為兩個一次因式）二、新授1、黃金比的來歷學習必備歡迎下載如圖，如果acab=cbac，那么點c 叫做線段ab 的黃金分割點。由acab=cbac，得 ac2=ab cb 設 ab=1 ， ac=x ，則 cb=1x x2=1(1x) 即： x2+x1=0 解這個方程，得x1=1+52, x2=152（不合題意，舍去）所以：黃金比acab= 1+520

45、.618 注意：黃金比的準確數為5 12，近似數為0.618. 上面我們應用一元二次方程解決了求黃金比的問題，其實，很多實際問題都可以應用一元二次方程來解決。2、例題講析：例 1：p64 題略（幻燈片）（1）小島 d 和小島 f 相距多少海里？（2）已知軍艦的速度是補給船的2 倍，軍艦在由b 到 c的途中與補給船相遇于e 處，那么相遇時補給船航行了多少海里？（結果精確到0.1 海里）解： （ 1）連接 df，則 dfbc，ab bc，ab=bc=200海里ac=2 ab=2002 海里， c=45cd=12ac=1002 海里df=cf，2 df=cd df=cf=22cd=221002 =1

46、00 海里所以，小島d 和小島 f相距 100 海里。（2）設相遇時補給船航行了x 海里，那么de=x 海里， ab+be=2x 海里ef=ab+bc （ ab+be ） cf=（3002x）海里在 rtdef 中，根據勾股定理可得方程：x2=1002+(3002x)2整理得， 3x21200 x+100000=0 解這個方程，得：x1=20010063118.4 x2=200+100 63(不合題意，舍去) 所以，相遇時，補給船大約航行了118.4 海里。三、鞏固：練習，p65 隨堂練習： 1 學習必備歡迎下載四、小結：列方程解應用題的三個重要環節：1、整體地，系統地審清問題；2、把握問題中

47、的等量關系；3、正確求解方程并檢驗解的合理性。五、作業： p66 習題 2.8： 1、2 六、教學后記：學習必備歡迎下載為什么是 0.618（第二課時）教學目標：1、分析具體問題中的數量關系，列出一元二次方程；2、通過列方程解應用題，進一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。教學重點、難點：列一元一次方程解應用題，找出等量關系列方程。教學程序：一、復習：1、黃金分割中的黃金比是多少？ 準確數為5 12，近似數為0.618 2、列方程解應用題的三個重要環節是什么？3、列方程的關鍵是什么？（找等量關系）4、銷售利潤 = 銷售價 銷售成本 二、新授在日常生活生產中， 我們常遇到一些實際問題，

48、這些問題可用列一元二次方程的方法來解答。1、講解例題：例 2、新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500 元，市場調研表明，為銷售價為2900 元時，平均每天能售出8 臺，而當銷售價每降低50 元時，平均每天就能多售出4 臺，商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000 元，每臺冰箱的定價為多少元？分析：每天的銷售量（臺）每臺的利潤（元）總利潤（元）降價前8 400 3200 降價后8+4x50400 x (8+4x50)(400 x) 每臺冰箱的銷售利潤平均每天銷售冰箱的數量=5000 元如果設每臺冰箱降價為x 元，那么每臺冰箱的定價就是（2900 x）元，每臺冰箱的銷售利潤為 (290

49、0 x2500)元。這樣就可以列出一個方程，進而解決問題了。解：設每臺冰箱降價x 元，根據題意，得：(2900 x2500)（8+4x50）=5000 2900150=2750 元所以，每臺冰箱應定價為2750 元。關鍵：找等量關系列方程。2、做一做：某商場將進貨價為30 元的臺燈以40 元售出，平均每月能售出600 個，調查表明這種臺燈的售價每上漲一元，某銷售量就減少10 個，為了實現平均每月20000 的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少？這時應進臺燈多少個？分析：每個臺燈的銷售利潤平均每天臺燈的銷售量=10000 元可設每個臺燈漲價x 元。(40+x30) (60010 x)=10000

50、 答案為： x1=10, x2=40 10+40=50, 40+40=80 6001010=500 6001040=200 三、練習： p68 隨堂練習1 學習必備歡迎下載四、小結：五、作業：p68 習題 2.9 1 六、教學后記：一元二次方程的復習教學目標： 1、熟練掌握一元二次方程的解法，能靈活選擇方法解一元二次方程。2、能利用方程解決有關實際問題，提高學生的應用能力。教學重點、難點：一元二次方程的幾種解法；列一元二次方程解應用題。教學程序：一、復習：1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？它的二次項系烽，一次項系數，常數項各是什么？2、一元二次方程有哪些解法？3、一元二次方程的求根公

51、式是什么？4、列一元二次方程解應用題的一般步驟是什么？關鍵是什么？二、新課講析：1、解下列方程：（1）2(x+3)2=x(x+3) (2) x225 x+2=0 解： （1）2(x+3)2=x(x+3) x1=3 x2=6 (2) x225 x+2=0 學習必備歡迎下載這里 a=1 , b=2 5 ,c=2 b24ac=(25 )2412=12 即： x1=5+3 , x2=5-3 三、練習：1、解下列方程：（ 1）x(x-8)=0 （ 2）x2+12x+32=0 2、當 x 為何值時，代數式x2-13x+12=0 的值等于42 ? 3、已知 2+3 是方程x2-4x+c=0 的一個根，求方程

52、的另一個根及c 的值。4、將一塊正方形鐵皮的四角各剪去一個邊長為4cm 的小正方形，做成一個無蓋的盒子，已知盒子的容積是400cm3，求原鐵皮的邊長。四、課堂小結：1、一元一次方程的一般形式：ax2+bx+c=0 (a0) 2、一元二次方程的解法：（ 1）配方法：方程兩邊同加上一次項系數一半的平方。（2）公式法：x=bb24ac2a（b24ac0）（ 3）分解因式法：方程一邊為0，另一邊分解為兩個一次式的積。3、列一元一次方程解應用題：（ 1）步驟： a、設未知數； b、列方程； c、解方程； d、檢驗； e、作答。（ 2）關鍵：尋找等量關系。五、作業： p69 復習題： 4、 6、7、8 六

53、、教學后記：附十字相乘法“十字相乘法”雖然比較難學 , 但是學會了它 , 用十字相乘法來解題的速度比較快，能夠節約時間，而且運算量不大，不容易出錯。它在分解因式/ 解一元二次方程中有廣泛的應用：十字相乘法的方法：十字左邊相乘等于二次項系數，右邊相乘等于常數項，交叉相乘再相加等于一次項系數。例 1 把 m 2+4m-12分解因式分析：本題中常數項-12 可以分為 -112，-26，-34，-43，-6 2，-12 1 當-12 分成 -26 時，才符合本題學習必備歡迎下載解：因為 1 -2 1 6 所以 m 2+4m-12= （m-2）（ m+6 ）例 2 把 5x2+6x-8 分解因式分析：本

54、題中的5 可分為 15,-8 可分為 -18，-24，-42，-81。當二次項系數分為 15，常數項分為 -42 時，才符合本題解： 因為 1 2 5 -4 所以 5x2+6x-8=（x+2）（ 5x-4 ）例 3 解方程 x2-8x+15=0分析：把 x2-8x+15 看成關于 x 的一個二次三項式，則15 可分成 115，35。解： 因為 1 -3 1 -5 所以原方程可變形（ x-3 ）（x-5 ）=0 所以 x1=3 x2=5 例 4、解方程 6x 2-5x-25=0 分析：把 6x2-5x-25 看成一個關于x 的二次三項式，則 6 可以分為 16，23，-25 可以分成 -125，

55、-55，-25 1。解： 因為 2 -5 3 5 所以 原方程可變形成（ 2x-5 ）（3x+5）=0 學習必備歡迎下載所以 x1=5/2 x2=-5/3 用十字相乘法解一些比較難的題目：例 5 把 14x2-67xy+18y 2分解因式分析：把 14x2-67xy+18y 2看成是一個關于x 的二次三項式 , 則 14 可分為 114,2 7, 18y 2可分為 y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因為 2 -9y 7 -2y 所以 14x 2-67xy+18y 2= (2x-9y)(7x-2y) 例 6 把 10 x2-27xy-28y 2-x+25y-3 分解因式分析：在本

56、題中，要把這個多項式整理成二次三項式的形式解法一、 10 x2-27xy-28y 2-x+25y-3 =10 x2- （27y+1）x - （28y2-25y+3 ）4y -3 7y -1 =10 x2- （27y+1）x - （4y-3 ）（7y -1 ）2 -（7y 1 ）5 4y - 3 =2x - （7y -1 ）5x +（4y -3 ） 學習必備歡迎下載=（2x -7y +1 ）（5x +4y -3）說明：在本題中先把28y2-25y+3 用十字相乘法分解為（4y-3 ）（ 7y -1 ），再用十字相乘法把10 x2- （27y+1）x - （4y-3 ）（ 7y -1 ）分解為：

57、2x -（7y -1 ）5x +（4y -3 ） 解法二、 10 x2-27xy-28y 2-x+25y-3 2 -7y 5 4y =（2x -7y ）（ 5x +4y ）- （x -25y ）- 3 2 x -7y 1 5 x +4y -3 =（2x -7y ）+1 （5x +4y ）-3 =（2x -7y+1 ）（ 5x +4y -3 ）說明 : 在本題中先把10 x2-27xy-28y2用十字相乘法分解為（2x -7y ）（ 5x +4y ）, 再把（ 2x -7y ）（5x +4y ）- （x -25y ）- 3用十字相乘法分解為 （2x -7y ）+1 （5x +4y ）-3. 例

58、7：解關于 x 方程： x2- 3ax + 2a2ab -b 2=0 分析： 2a2ab-b2可以用十字相乘法進行因式分解解：x2- 3ax + 2a2ab -b 2=0 x2- 3ax + （2a2ab - b 2）=0 學習必備歡迎下載1 -b 2 +b x2- 3ax + （2a+b）（ a-b）=0 1 -（2a+b）1 - （a-b ）x- （2a+b） x-（a-b ）=0 所以 x1=2a+b x2=a-b 兩種相關聯的變量之間的 二次函數 的關系，可以用三種不同形式的解析式表示：一般式、頂點式、交點式交點式利用配方法，把二次函數的一般式變形為 ：y=a(x+b/2a)2-(b2

59、-4ac)/4a2 應用平方差公式對右端進行因式分解，得y=ax+b/2a+ b2-4ac/2ax+b/2a-b2-4ac/2a =ax-(-b-b2-4ac)/2ax-(-b+b2-4ac)/2a 因為一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為 x1，x2=(-b b2-4ac)/2a 所以上式可寫成 y=a(x-x1)(x-x2), 其中 x1，x2是方程 ax2+bx+c=0的兩個根因 x1，x2 恰為此函數圖象與x 軸兩交點（ x1，0），（x2，0）的橫坐標，故我們把函數 y=a(x-x1)(x-x2) 叫做函數的交點式在解決二次函數的圖象和x 軸交點坐標有關的問題時， 使用交點式

60、較為方便。 二次函數的交點式還可利用下列變形方法求得：設方程 ax2+bx+c=0的兩根分別為 x1，x2根據根與系數的關系x1+x2=-b/a ，x1x2=c/a，有 b/a=-(x1+x2),c/a=x1x2y=ax2+bx+c =ax2+b/a*x+c/a =ax2-(x1+x2)x+x1x2 =a(x-x1)(x-x2) 第二章一元二次方程復習學習必備歡迎下載學習目標：1、經歷抽象一元二次方程的概念的過程，進一步體會方程是刻畫現實世界的一個有效數學模型。2、經歷方程解的探索過程，增進對方程解的認識，發展估算意識和能力。重點：認識產生一元二次方程知識的必要性難點：列方程的探索過程教學過程