1、第三節函數的奇偶性與周期性最新考綱1.結合具體函數，了解函數奇偶性的含義.2.會運用函數的圖象理解和研究函數的奇偶性.3.了解函數周期性、最小正周期的含義， 會判斷、應用簡單函數的周期性1函數的奇偶性偶函數奇函數定義如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x都有f(x)f(x)，那么函數f(x)是偶函數都有f(x)f(x)，那么函數f(x)是奇函數圖象特征關于y軸對稱關于原點對稱2.函數的周期性(1)周期函數對于函數yf(x)，如果存在一個非零常數t，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(xt)f(x)，那么就稱函數yf(x)為周期函數，稱t為這個函數的周期(2)最小正周期如果在周期函數f(x)

2、的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫做f(x)的最小正周期1函數奇偶性的三個重要結論(1)如果一個奇函數f(x)在x0處有定義，那么一定有f(0)0.(2)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)f(|x|)(3)奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上具有相反的單調性2周期性的幾個常用結論對f(x)的定義域內任一自變量的值x，周期為t，則(1)若f(xa)f(x)，則t2a(a0)；(2)若f(xa)，則t2a(a0)；(3)f(xa)，則t2a(a0)一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數yx2，x(0，)是偶函數

3、()(2)偶函數圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點()(3)若函數yf(xa)是偶函數，則函數yf(x)的圖象關于直線xa對稱()(4)函數f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數()答案(1)×(2)×(3)(4)二、教材改編1下列函數中為偶函數的是()ayx2sin xbyx2cos xcy|ln x| dy2xba為奇函數，c，d為非奇非偶函數，b為偶函數，故選b.2已知函數f(x)是定義在r上的奇函數，且當x0時，f(x)x(1x)，則f(1)_.2f(1)1×22，又f(x)為奇函數，f(1)f(1)2.3

4、設f(x)是定義在r上的周期為2的函數，當x1,1)時，f(x)則f_.1ff4×221.4.設奇函數f(x)的定義域為5,5，若當x0,5時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)0的解集為_(2,0)(2,5由圖象可知，當0x2時，f(x)0；當2x5時，f(x)0，又f(x)是奇函數，當2x0時，f(x)0，當5x2時，f(x)0.綜上，f(x)0的解集為(2,0)(2,5考點1判斷函數的奇偶性判斷函數奇偶性的方法(1)定義法：(2)圖象法：函數是奇(偶)函數函數圖象關于原點(y軸)對稱(1)設函數f(x)，g(x)的定義域為r，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結

5、論中正確的是()af(x)g(x)是偶函數b|f(x)|g(x)是奇函數cf(x)|g(x)|是奇函數d|f(x)g(x)|是奇函數(2)判斷下列函數的奇偶性：f(x)；f(x)；f(x)(1)c令f1(x)f(x)·g(x)，則f1(x)f(x)·g(x)f(x)·g(x)f1(x)，f(x)g(x)為奇函數，故a錯誤令f2(x)|f(x)|g(x)，則f2(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)f2(x)，f2(x)為偶函數，故b錯誤令f3(x)f(x)|g(x)|，則f3(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f3(x)，f3(x)為奇函數，故c

6、正確令f4(x)|f(x)g(x)|，則f4(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f4(x)，f4(x)為偶函數，故d錯誤(2)解由得x23，解得x±，即函數f(x)的定義域為，從而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函數f(x)既是奇函數又是偶函數由得定義域為(1,0)(0,1)，關于原點對稱，x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函數f(x)為奇函數顯然函數f(x)的定義域為(，0)(0，)，關于原點對稱當x0時，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；當x0時，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)綜上可知：對于定義域內的任意x，總有f(

7、x)f(x)成立，函數f(x)為奇函數判斷函數的奇偶性，其中包括2個必備條件(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關系在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價關系式f(x)f(x)0(奇函數)或f(x)f(x)0(偶函數)是否成立1.(2019·福州模擬)下列函數為偶函數的是()aytanbyx2e|x|cyxcos x dyln|x|sin xb對于選項a，易知ytan為非奇非偶函數；對于選項b，設f(x)x2e|x|，則f(x)(x)2e|x|x2e|x|f(x)，所以yx2e|x|為偶函數

8、；對于選項c，設f(x)xcos x，則f(x)xcos(x)xcos xf(x)，所以yxcos x為奇函數；對于選項d，設f(x)ln|x|sin x，則f(2)ln 2sin 2，f(2)ln 2sin(2)ln 2sin 2f(2)，所以yln|x|sin x為非奇非偶函數，故選b.2設函數f(x)，則下列結論錯誤的是()a|f(x)|是偶函數bf(x)是奇函數cf(x)|f(x)|是奇函數df(|x|)f(x)是偶函數df(x)，則f(x)f(x)f(x)是奇函數f(|x|)f(|x|)，f(|x|)是偶函數，f(|x|)f(x)是奇函數考點2函數奇偶性的應用利用函數奇偶性可以解決以

9、下問題(1)求函數值：將待求值利用奇偶性轉化為已知區間上的函數值求解(2)求解析式：將待求區間上的自變量轉化到已知區間上，再利用奇偶性求出(3)求解析式中的參數：利用待定系數法求解，根據f(x)±f(x)0得到關于參數的恒等式由系數的對等性得方程(組)，進而得出參數的值(4)畫函數圖象：利用奇偶性可畫出函數在另一對稱區間上的圖象(5)求特殊值：利用奇函數的最大值與最小值的和為零可求一些特殊結構的函數值利用奇偶性求參數的值一題多解若函數f(x)x3為偶函數，則a的值為_法一：(定義法)因為函數f(x)x3為偶函數，所以f(x)f(x)，即(x)3x3，所以2a，所以2a1，解得a.法二

10、：(特值法)因為函數f(x)x3為偶函數，所以f(1)f(1)，所以(1)3×13×，解得a，經檢驗，當a時，函數f(x)為偶函數已知函數的奇偶性求參數，主要方法有兩個：一是利用f(x)f(x)(奇函數)或f(x)f(x)(偶函數)在定義域內恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函數一般利用f(0)0求解，偶函數一般利用f(1)f(1)求解用特殊值法求得參數后，一定要注意驗證利用函數的奇偶性求值(1)設函數f(x)為偶函數，當x(0，)時，f(x)log2x，則f()()a b.c2 d2(2)已知函數f(x)的最大值為m，最小值為m，則mm等于()a0 b2c4 d8(3)(

11、2019·全國卷)已知f(x)是奇函數，且當x0時，f(x)eax.若f(ln 2)8，則a_.(1)b(2)c(3)3(1)因為f(x)為偶函數，所以f()f()，又當x0時，f(x)log2x，所以f()log2，即f().(2)f(x)2，設g(x)，因為g(x)定義域為r，關于原點對稱，且g(x)g(x)，所以g(x)為奇函數，所以g(x)maxg(x)min0.因為mf(x)max2g(x)max，mf(x)min2g(x)min，所以mm2g(x)max2g(x)min4.(3)法一：由x0可得x0，由f(x)是奇函數可知f(x)f(x)，x0時，f(x)f(x)ea(x

12、)eax，則f(ln 2)ealn 28，aln 2ln 83ln 2，a3.法二：由f(x)是奇函數可知f(x)f(x)，f(ln 2)f(e)8，aln ln 83ln 2，a3.利用奇偶性將所求值轉化為已知區間上的函數值求函數解析式函數yf(x)是r上的奇函數，當x0時，f(x)2x，則函數f(x)的解析式為_f(x)當x0時，x0，x0時，f(x)2x，當x0時，f(x)2x.f(x)是r上的奇函數，當x0時，f(x)f(x)2x.又yf(x)的定義域為r且為奇函數，f(0)0.函數f(x)的解析式為f(x)不要忽視x0時的解析式1.若函數f(x)在定義域上為奇函數，則實數k_.

13、77;1若函數f(x)在定義域上為奇函數，則f(x)f(x)，即，化簡得(k21)(22x1)0，即k210，解得k±1.2已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)等于_3f(1)g(1)2，即f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，即f(1)g(1)4，由得，2g(1)6，即g(1)3.3(2019·湖南永州質檢)已知函數f(x)x3sin x1(xr)，若f(a)2，則f(a)_.0設f(x)f(x)1x3sin x，顯然f(x)為奇函數又f(a)f(a)11，所以f(a)f(a)11，從而f(a)0.考點3函數的周期

14、性及其應用函數周期性的判定與應用判定判斷函數的周期只需證明f(xt)f(x)(t0)便可證明函數是周期函數，且周期為t，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題應用根據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，即周期性與奇偶性都具有將未知區間上的問題轉化到已知區間的功能在解決具體問題時，要注意結論：若t是函數的周期，則kt(kz且k0)也是函數的周期(1)(2019·貴陽模擬)已知定義在r上的函數f(x)滿足f(x)f(x2)，當x(0,2時，f(x)2xlog2x，則f(2 019)()a5 bc2 d2(2)函數f(x)滿足f(x4)f(x)(xr)，且在區間(2，2上，f(x)則f(f(15)的值為_(1)d(2)(1)由f(x)f(