1、page 1 of 12概率論與數理統計a 卷院、系領導審批并簽名a 卷廣 州 大 學2017- 2018 學 年 第一學 期 考 試 卷課 程：概率論與數理統計（ 48 學時）考 試 形 式：閉卷考試學院系專業班級學號姓名題 次一二三四五六七八九總 分評卷人分 數15 15 8 8 10 10 12 12 10 100 得 分特別提醒： 2017 年 11 月 1 日起，凡考試作弊而被給予記過（含記過）以上處分的，一律不授予學士學位。一、選擇題（每小題3 分，總計 15 分）1 三人各投一次球，設ia 表示 “第i人投中”(1,2,3)i, 則事件123a a a表示( ). （a）三人都投

2、中；（b）至少有一人投中；（c ）至多有兩人投中；（d）三人都沒投中 . 2設隨機事件,a b 滿足 0( )1p a,()0p b, 且( / )( / )p b ap b a , 則必有 ( ). (a) ( / )( / )p a bp a b ； (b) ( / )( / )p a bp a b ；(c) (/)(/)p a bp b a； (d) ()()()p abp a p b. 3. 設2(5,3 )xn，且常數 c 滿足p xcp xc，則 c =( ). (a) 0 ； (b) 1； (c) 3； (d) 5. 4. 設x和y為兩個隨機變量，則能說明x和y獨立的是 ( ).

3、 (a) ( , )( )( )xyf x yfx fy； (b) ()()( )e xye x e y ；(c) ()()( )e xye xe y ； (d) ()()( )d xyd xd y . 5. 設二維隨機變量 (, )x y 的聯合概率分布為yx0 1 0 0.4a1 b0.1已知隨機事件0y與1 xy相互獨立，則 ( ). (a) 0.3,0.2ab； (b) 0.4,0.1ab；(c) 0.2,0.3ab； (d) 0.1,0.4ab. 二、填空題（每空3 分，總計 15分）1設( )0.28, p b(/ )0.6, (/ )0.75p b ap a b，那么()p ab

4、 . 2將一顆骰子連續擲三次，則恰好有兩次出現“6”點的概率為 . page 2 of 12概率論與數理統計a 卷3從數 1，2，3 中任取一個數記為x，再從 1，,x中任取一個數記為y，則2p y . 4設隨機變量( , )u a b ，且4,3ed, 則05p . 5設連續型隨機變量x的分布函數為50,0,( ),0,xxf xaex則1p x . 三、 （本題滿分 8 分）袋中標有不同號碼的紅、黑、黃球各2 個，現隨機從袋中有放回地抽取3 次，每次取 1 個，求下列事件的概率： (1) a=三次未抽到紅球 ； (2) b=顏色不全相同 . 四、 （本題滿分 8 分）已知甲、乙兩箱裝有同種

5、產品，甲箱裝有10 只，其中有 6只一等品；乙箱裝有6只，其中有 3 只一等品，今從兩箱中任取一箱，然后從該箱中不放回地取兩次，每次取一只，求：(1) 第一次取到的是一等品的概率；(2) 在第一次取到一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率. page 3 of 12概率論與數理統計a 卷五、 （本題滿分 10 分）已知隨機變量x的分布律為x2012kp0.40.10.10.4求:(1) x的分布函數( )f x；(2) 21yx的分布律 . 六、 （本題滿分 10 分）設某種電子產品的使用壽命x的概率密度為3()3,( ,)0,xexf xx其中0為未知參數，又設12,nxxx 是來自x

6、的一組樣本觀察值， 求參數的最大似然估計值 . page 4 of 12概率論與數理統計a 卷七、 （本題滿分 12 分）設隨機變量x的概率密度為;01;( );12;0;xxf xaxx其它 .求： （1）常數 a的值；（2）關于 t 的方程22(1)50txtx有實根的概率；（3）()e x. page 5 of 12概率論與數理統計a 卷八、 （本題滿分 12 分）設二維隨機變量(,)xy的聯合分布律如下 : yx-1 0 1 2 1 14180 162 160 1816求: （1）p xy；（2）x,y的邊緣分布律；（3）zxy的概率分布 . page 6 of 12概率論與數理統計a

7、 卷九、 （本題滿分 10 分）某學校召開家長座談會，前來參加家長會的家長人數是一個隨機變量，已知一個學生無家長、有1 個家長來參加會議的概率分別為0.2，0.8。若學校共有 900 名學生，設來參加會議的各家長是相互獨立且服從同一分布。利用中心極限定理計算來參加會議的家長人數在720 與 750 之間的概率 . 附表221( )2txxedtx0.5 1 1.5 2 2.5 3 ( )x0.6915 0.8413 0.9332 0.9772 0.9938 0.9987 page 7 of 12概率論與數理統計a 卷院、系領導審批并簽名a 卷廣 州 大 學2017- 2018 學 年 第一學

8、期 考 試 卷參考解答與評分標準課 程：概率論與數理統計（ 48 學時）考 試 形 式：閉卷考試學院_ 系_專業_ 班 級 _ 學 號 _ 姓 名 -_題 次一二三四五六七八九總分評卷人分 數15 15 8 8 10 10 12 12 10 100 得 分特別提醒： 2017 年 11 月 1 日起，凡考試作弊而被給予記過（含記過）以上處分的，一律不授予學士學位。一、選擇題（每小題3 分，總計 15 分）1三人各投一次球， 設ia 表示“第i人投中”(1,2,3)i, 則123a a a 表示（ c ）. （a）三人都投中；（b）三人中至少有一人投中；（c ）三人至多有兩人投中；（d）三人都沒

9、投中 . 2 設 隨 機 事 件,a b滿 足0()1p a,()0p b, 且( / )( / )p b ap b a , 則 必 有( d ). (a)( / )( /)p a bp a b ； (b)( / )( / )p a bp a b ；(c)(/)(/)p a bp ba； (d)()() ()p abp a p b. 3. 設2(5,3 )xn，且常數 c 滿足p xcp xc，則 c =( d ). (a) 0 ； (b) 1； (c) 3； (d) 5. 4. 設x和y為兩個隨機變量，則 ( a )能得出x和y獨立. (a) ( , )( )( )xyf x yfx fy；

10、 (b)()() ( )e xye x e y ；(c)()()( )e xye xe y ； (d)()()( )d xyd xd y . 5. 設二維隨機變量(,)x y的聯合概率分布為yx0 1 0 0.4a1 b0.1已知隨機事件0y與1xy相互獨立，則 ( d ). (a) 0.3,0.2ab； (b) 0.4,0.1ab；(c)0.2,0.3ab； (d) 0.1,0.4ab. page 8 of 12概率論與數理統計a 卷二、填空題（每空3 分，總計 15分）1設( )0.28, p b( /)0.6, ( /)0.75p b ap a b，那么()p ab 0.42 . 2將一

11、顆骰子連續擲三次，則恰好有兩次出現“6”點的概率為 5/72 . 3從數 1，2，3 中任取一個數記為x，再從 1，x中任取一個數記為y，則2p y 5/18 . 4設隨機變量( , )u a b，且4,3ed, 則05p 2/3 . 5設連續型隨機變量x的分布函數為50,0,( ),0,xxf xaex則1p x5e. 三、 （本題滿分 8 分）袋中標有不同號碼的紅、黑、黃球各2 個，現隨機從袋中有放回地抽取3 次，每次取 1 個，求下列事件的概率： (1) a=三次未抽到紅球 ； (2) b=顏色不全相同 . 解：4 4 48()6 6 627p a -4分333 28()169p b-8

12、分四、 （本題滿分 8 分）已知甲、乙兩箱裝有同種產品，甲箱裝有10 只，其中有 6只一等品；乙箱裝有6只，其中有 3 只一等品，今從兩箱中任取一箱，然后從該箱中不放回地取兩次，每次取一只，求 : (1) 第一次取到的是一等品的概率；(2) 在第一次取到一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率. 解： （1）設ib 表示“第 i 次取到一等品” （1, 2i） ，a表示“從甲箱中抽取產品” ，a表示“從乙箱中抽取產品” ，則1()2p a，1()2p a，1163(|),(|)106p bap ba， -2分由全概率公式111()() (|)( ) (|)p bp a p bap a p

13、ba16130.5521026. -4分（2）12211()(/)()p b bp bbp b1651321621092650.4850.5533-8分page 9 of 12概率論與數理統計a 卷五、 （本題滿分 10 分）已知隨機變量x的分布律為x2012kp0.40.10.10.4求:(1) x的分布函數( )f x； (2) 21yx的分布律 . 解： （1）x的分布函數0,20.420( )0.5,010.6,121,2xxf xxxx -5分(2) 21yx的分布律為y103kp0.10.10.8 -10分六、 （本題滿分 10 分）設某種電子產品的使用壽命x的概率密度為3()3,

14、( ,)0,xexf xx其中0為未知參數，又設是來自x的一組樣本觀察值， 求參數的最大似然估計值 . 解：似然函數為.其它,),(,1)(30n,1,2,3ixeinniix-4分當時，()0l，取對數得1ln()ln 33()niilnx-6分因為ln()30dlnd，所以()l單調增加， -8分由于須滿足page 10 of 12概率論與數理統計a 卷故當取中的最小值時，()l取最大值，所以的最大似然估計值為. -10分七、 （本題滿分 12 分）設隨機變量x的概率密度為;01;( );12;0;xxf xaxx其它 .求：（1）常數 a的值；（2）關于 t 的方程22(1)50txtx

15、有實根的概率；（3）()e x. 解： （1）由( )1f x dx，得221212010113()()12222xxxdxax dxaxa，故2a -4分（2）由方程22(1)50txtx有實根 , 則有24(1)4(5)4(4)(1)0xxxx解得1x或4x. -6分故所求概率為14p xp x21(2)x dx2211(2)22xx -8分（3）()e x12201(2)x dxxx dx331220117()313333xxx -12分page 11 of 12概率論與數理統計a 卷八、 （本題滿分 12 分）設二維隨機變量(,)xy的聯合分布律如下 : yx-1 0 1 2 1 14

16、180 162 160 1816求: （1）p xy；（2）x,y的邊緣分布律；（3）zxy的概率分布 . 解： （1）1,11,02,1p xyp xyp xyp xy2,02,1p xyp xy1111248683 -4分（2）x的邊緣分布律x12kp13241124 -6分y的邊緣分布律y1012kp512181813 -8分（3）zxy的概率分布 -12分z0134kp1472472416page 12 of 12概率論與數理統計a 卷九、 （本題滿分 10 分）某學校召開家長座談會，前來參加家長會的家長人數是一個隨機變量，已知一個學生無家長、有 1 個家長來參加會議的概率分別為0.2 ，0.8。若學校共有 900 名學生，設來參加會議的各家長是相互獨立且服從同一分布。利用中心極限定理計算前來參加會議的家長人數在720與 750之間的概率 . 附表221( )2txxedtx0.5 1 1.5 2 2.5 3 ( )x0.6915 0.8413 0.