1、精選學習資料 - - - 歡迎下載菱形【學習目標】1. 懂得菱形的概念.2. 把握菱形的性質定理及判定定理【要點梳理】【高清課堂特別的平行四邊形（菱形）學問要點】要點一.菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.要點詮釋： 菱形的定義的兩個要素：為平行四邊形. 有一組鄰邊相等. 即菱形為一個平行四邊形,然后增加一對鄰邊相等這個特別條件.要點二.菱形的性質菱形除了具有平行四邊形的一切性質外,仍有一些特別性質：1. 菱形的四條邊都相等；2. 菱形的兩條對角線相互垂直,并且每一條對角線平分一組對角.3. 菱形也為軸對稱圖形,有兩條對稱軸（對角線所在的直線）,對稱軸的交點就為對稱中心 .要點詮釋：

2、 （ 1）菱形為特別的平行四邊形,為中心對稱圖形,過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.（ 2）菱形的面積有兩種運算方法：一種為平行四邊形的面積公式：底×高；另一種為兩條對角線乘積的一半（即四個小直角三角形面積之和）.實際上,任何一個對角線相互垂直的四邊形的面積都為兩條對角線乘積的一半 .（ 3）菱形可以用來證明線段相等,角相等,直線平行,垂直及有關運算問題.要點三.菱形的判定菱形的判定方法有三種：1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形.2. 對角線相互垂直的平行四邊形為菱形.3. 四條邊相等的四邊形為菱形.要點詮釋： 前兩種方法都為在平行四邊形的基礎上外加一個條件來判

3、定菱形,后一種方法為在四邊形的基礎上加上四條邊相等.【典型例題】類型一.菱形的性質1.（2021 .石景山區一模）如圖,菱形abcd 中, e, f 分別為 ad , ab 上的點,且ae=af ,連接 ef 并延長,交cb 的延長線于點g,連接 bd （1）求證：四邊形egbd 為平行四邊形；（2）連接 ag ,如 fgb=30 °, gb=ae=1 ,求 ag 的長第1頁 共6頁精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【思路點撥】 （ 1）連接 ac ,再依據菱形的性質得出eg bd ,依據對邊分別平行證明為平行四邊形即可 （ 2）過點 a 作 ah bc,再依據直角三角形

4、的性質和勾股定懂得答即可【答案與解析】（ 1）證明：連接ac ,如圖 1：四邊形 abcd為菱形,ac 平分 dab ,且 ac bd ,af=ae ,ac ef,eg bd 又 菱形 abcd中, ed bg,四邊形 egbd 為平行四邊形（ 2）解：過點a 作 ah bc 于 h fgb=30 °, dbc=30 °, abh=2 dbc=60 °,gb=ae=1 ,ab=ad=2,在 rt abh 中, ahb=90 °,ah=, bh=1 gh=2 ,在 rt agh 中,依據勾股定理得,ag=【總結升華】 此題考查了菱形性質,關鍵為依據菱形的性

5、質和平行四邊形的判定以及直角三角形的性質解題舉一反三：【變式 1】（ 2021 .溫州模擬）如圖,在菱形abcd中,點 e 為 ab 上的一點,連接de 交ac 于點 o,連接 bo ,且 aed=50 °,就 cbo=度【答案】 50；解：在菱形abcd中,ab cd , cdo= aed=50 °,cd=cb , bco= dco ,在 bco 和 dco 中, bco dco （ sas）, cbo= cdo=50 °第2頁 共6頁精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【高清課堂特別的平行四邊形（菱形）例 1】【變式 2】菱形 abcd中, a b

6、1 5,如周長為8,就此菱形的高等于a. 1b.4c.1d.22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【答案】 c；提示：由題意,a 30°,邊長為2,菱形的高等于類型二.菱形的判定1× 2 1.2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2.如下列圖,在abc中, cd 為 acb的平分線, de ac, df bc,四邊形decf為菱形嗎 .試說明理由【思路點撥】 由菱形的定義去判定圖形,由 de ac ,df bc 知四邊形decf 為平行四邊形,再由 1 2 3 得到鄰邊相等即可【答案與解析】解：四邊形decf為菱形,理由如下： de ac, df bc

7、四邊形 decf為平行四邊形 cd 平分 acb,1 2 df bc,2 3,1 3 cf df,四邊形 decf為菱形【總結升華】 在用菱形的定義判定一個四邊形為菱形時,第一判定這個四邊形為平行四邊形,再由一對鄰邊相等來判定它為菱形舉一反三：【變式】如下列圖,ad為 abc的角平分線,ef 垂直平分ad,分別交ab于 e,交 ac于 f,就四邊形aedf為菱形嗎 .請說明理由【答案】解：四邊形aedf為菱形,理由如下： ef 垂直平分ad,aof與 dof關于直線ef 成軸對稱第3頁 共6頁精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載odf oaf,又ad 平分 bac,即 oaf oae

8、,odf oaeae df,同理可得： deaf四邊形 aedf為平行四邊形,eo of又 yaedf的對角線ad.ef 相互垂直平分 yaedf為菱形3.如下列圖,在abc中, bac 90°, ad bc于點 d, ce平分 acd,交 ad于點 g,交 ab 于點 e, ef bc于點 f 求證：四邊形aefg為菱形【思路點撥】由角平分線性質易知ae ef,欲證四邊形aefg為菱形,只要再證四邊形aefg 為平行四邊形或ag gf ae 即可【答案與解析】證明：方法一：ce 平分 acb, bac 90°, efbc, ae ef, 1 390°, 4 29

9、0°1 2,3 4 ef bc, ad bc,ef ad4 5 3 5 ae agefag四邊形 aefg為平行四邊形又ae ag,四邊形 aefg為菱形方法二：ce 平分 acb, bac 90°, ef bc, ae ef, 1 390°, 4 290°3 4 ef bc, ad bc,ef ad4 5 3 5 ae ag在 aeg和 feg中, ae ef, 3 4,eg eg,aeg feg ag fg ae ef fg ag四邊形 aefg為菱形【總結升華】判定一個四邊形為菱形,關鍵為把已知條件轉化成判定方法所需要的條件舉一反三：【變式】如下列

10、圖,在yabcd中, e.f 分別為邊ab.cd的中點, bd為對角線,過a 點作ag db交 cb的延長線于點g(1) 求證： de bf；第4頁 共6頁精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(2) 如 g 90°,求證四邊形debf為菱形【答案】證明： 1 yabcd中, abcd, abcd e . f 分別為 ab. cd的中點 df 1 dc, be 1 ab22 df be df be四邊形 debf為平行四邊形 de bf2證明：ag bdg dbc 90°dbc為直角三角形又f為邊 cd的中點 bf 1 dc df2又四邊形 debf為平行四邊形四邊

11、形 debf為菱形類型三.菱形的應用4.如下列圖,為一種長0.3 m ,寬 0.2 m 的矩形瓷磚, e.f.g.h 分別為矩形四邊bc. cd.da.ab 的中點,陰影部分為淡黃色花紋,中間部分為白色,現有一面長4.2m ,寬 2.8 m 的墻壁預備貼如下列圖規格的瓷磚試問：(1) 這面墻最少要貼這種瓷磚多少塊.(2) 全部貼滿后,這面墻壁會顯現多少個面積相同的菱形.【答案與解析】解：墻壁長4.2 m ,寬 2.8 m ,矩形瓷磚長0.3 m ,寬 0.2 m , 4.2 ÷ 0.3 14, 2.8 ÷ 0.214,就可知矩形瓷磚橫排14 塊,豎排14 塊可毫無間隙地貼滿墻面1就至少需要這種瓷磚14× 14196 塊 2 每塊瓷磚中間有一個白色菱形,就共有196 個白色的菱形,它的面積等于瓷磚面積 的一半 另外在同一個頂點處的瓷磚能夠拼成一個淡黃色花紋的菱形,它的面積也等于瓷磚面積的一半,有花紋的菱形橫排有13 個,豎排也有13 個,就一共有淡黃色花