1、第6練處理好“線性規劃問題”的規劃題型一不等式組所確定的區域問題例1已知點M(x，y)的坐標滿足不等式組則此不等式組確定的平面區域的面積S的大小是()A1 B2C3 D4破題切入點先畫出點M(x，y)的坐標滿足的可行域，再研究圖形的形狀特征，以便求出其面積答案A解析作出不等式組表示的平面區域，如圖所示，則此平面區域為ABC及其內部，且點A(2,0)，B(0,1)，C(2,1)，于是，S×2×11.故選A.題型二求解目標函數在可行域中的最值問題例2若變量x，y滿足約束條件則z2xy的最大值與最小值的和為_破題切入點先根據已知約束條件畫出可行域，再利用目標函數z2xy的幾何意義

2、，即可求得最大值與最小值答案6解析畫出可行域，如圖所示，由圖象，可得當y2xz經過點B(2,0)時，zmax4；當y2xz經過點A(1,0)時，zmin2.故填6.題型三利用線性規劃求解實際應用題- 1 - / 8例3某旅行社租用A，B兩種型號的客車安排900人旅行，A，B兩種客車的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為()A31 200 元 B36 000 元C36 800 元 D38 400 元破題切入點設租用A，B兩種型號的客車分別為x輛，y輛，總租金為z元，可得目標函數z1 600

3、x2 400y.結合題意，建立關于x，y的不等式組，計算A，B型號客車的人均租金，可得租用B型車的成本比A型車低，因此在滿足不等式組的情況下盡可能多地租用B型車，可使總租金最低答案C解析設租用A，B兩種型號的客車分別為x輛，y輛，所用的總租金為z元，則z1 600x2 400y，其中x，y滿足不等式組(x，yN)畫出可行域，可知在x5，y12時，可載客36×560×12900(人)，符合要求且此時的總租金z1 600×52 400×1236 800，達到最小值故選C.題型四簡單線性規劃與其他知識的綜合性問題例4設變量x，y滿足約束條件則lg(y1)lg

4、x的取值范圍為()A0,12lg 2 B1，C，lg 2 Dlg 2,12lg 2破題切入點先畫出不等式組所確定的可行域，將目標函數化為lg ，利用數形結合的方法解t的最值，然后確定目標函數的最值，從而求其范圍答案A解析如圖所示，作出不等式組確定的可行域因為lg(y1)lg xlg ，設t，顯然，t的幾何意義是可行域內的點P(x，y)與定點E(0，1)連線的斜率由圖，可知點P在點B處時，t取得最小值；點P在點C處時，t取得最大值由解得即B(3,2)；由解得即C(2,4)故t的最小值為kBE1，t的最大值為kCE，所以t1，又函數ylg x為(0，)上的增函數，所以lg t0，lg ，即lg(y

5、1)lg x的取值范圍為0，lg 而lg lg 5lg 212lg 2，所以lg(y1)lg x的取值范圍為0,12lg 2故選A.總結提高(1)準確作出不等式組所確定的平面區域是解決線性規劃問題的基礎(2)求解線性目標函數的最大值或最小值時，一般思路是先作出目標函數對應的過原點的直線ykx，再平移此直線(3)求解線性規劃應用題的一般步驟：設出未知數；列出線性約束條件；建立目標函數；求出最優解；轉化為實際問題1實數x，y滿足則不等式組所圍成圖形的面積為()A4 B2 C. D1答案D解析實數x，y滿足它表示的可行域如圖所示不等式組所圍成的圖形是三角形，其三個頂點的坐標分別為(1,0)，(0,1

6、)，(2,1)，所以所圍成圖形的面積為×2×11.故選D.2已知O是坐標原點，點A(1，1)，若點M(x，y)為平面區域上的一個動點，則·的取值范圍是()A1,0 B0,1 C0,2 D1,2答案C解析作出可行域，如圖所示，由題意·xy.設zxy，作l0：xy0，易知，過點(1,1)時z有最小值，zmin110；過點(0,2)時z有最大值，zmax022，·的取值范圍是0,23(2014·廣東)若變量x，y滿足約束條件且z2xy的最大值和最小值分別為m和n，則mn等于()A5 B6 C7 D8答案B解析畫出可行域，如圖陰影部分所示由z

7、2xy，得y2xz.由得A(1，1)由得B(2，1)當直線y2xz經過點A時，zmin2×(1)13n.當直線y2xz經過點B時，zmax2×213m，故mn6.4設m>1，在約束條件下，目標函數zxmy的最大值小于2，則m的取值范圍為()A(1,1) B(1，)C(1,3) D(3，)答案A解析變形目標函數為yx，由于m>1，所以1<<0，不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示根據目標函數的幾何意義，只有直線yx在y軸上的截距最大時，目標函數取得最大值顯然在點A處取得最大值，由得交點A，所以目標函數的最大值是<2，即m22m1<0，解

8、得1<m<1，故m的取值范圍是(1,1)5若P是滿足不等式組表示的平面區域內的任意一點，點P到直線3x4y120的距離為d，則d的取值范圍是()A1， B1，) C(1，) D(，1答案B解析作出可行域為AOB(但不包括OB上的點)及直線3x4y120，如圖所示結合圖形，可知點A(1,1)到直線3x4y120的距離最小，最小值dmin1；原點O(0,0)到直線3x4y120的距離最大，最大值dmax.又y>0，所以d1，)6設關于x，y的不等式組表示的平面區域內存在點P(x0，y0)，滿足x02y02，則m的取值范圍是()A(，) B(，)C(，) D(，)答案C解析問題等價

9、于直線x2y2與不等式組所表示的平面區域存在公共點，由于點(m，m)不可能在第一和第三象限，而直線x2y2經過第一、三、四象限，則點(m，m)只能在第四象限，可得m<0，不等式組所表示的平面區域如圖中陰影部分所示，要使直線x2y2與陰影部分有公共點，則點(m，m)在直線x2y20的下方，故m2m2>0，即m<.7設變量x，y滿足約束條件則目標函數z3x4y的最大值為_答案3解析如圖所示，作出不等式組所表示的可行域，故當直線yxz在x軸上的截距取得最大值時，目標函數取得最大值由圖，可知當yxz經過點C時z取得最大值，由解得即C(5,3)，故目標函數的最大值為z3×54

10、×33.8已知不等式組表示的平面區域為，其中k0，則當的面積取得最小值時，k的值為_答案1解析依題意作圖，如圖所示，要使平面區域的面積最小，即使SOADSOBC最小，又直線xy20與y軸的交點的坐標為A(0，2)，直線xy20與ykx的交點的坐標為D(，)，直線ykx與x1的交點的坐標為C(1，k)，k0，所以SOADSOBC|OA|·|xD|OB|·|yC|·k2，當且僅當時取等號，即k1或k3(舍去)所以滿足條件的k的值為1.94件A商品與5件B商品的價格之和不小于20元，而6件A商品與3件B商品的價格之和不大于24，則買3件A商品與9件B商品至少需

11、要_元答案22解析設1件A商品的價格為x元，1件B商品的價格為y元，買3件A商品與9件B商品需要z元，則z3x9y，其中x，y滿足不等式組作出不等式組表示的平面區域，如圖所示，其中A(0,4)，B(0,8)，C(，)當yxz經過點C時，目標函數z取得最小值所以zmin3×9×22.因此當1件A商品的價格為元，1件B商品的價格為元時，可使買3件A商品與9件B商品的費用最少，最少費用為22元10設x，y滿足約束條件若目標函數zabxy(a>0，b>0)的最大值為8，則ab的最小值為_答案4解析由zabxy，得yabxz，所以直線的斜率為ab<0，作出可行域，如圖，由圖象，可知當yabxz經過點B時，z取得最大值由得即B(1,4)，代入zabxy8，得ab48，即ab4，所以ab24，當且僅當ab2時取等號，所以ab的最小值為4.11給定區域D：令點集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的點，則T中的點共確定_條不同的直線答案6解析線性區域為圖中陰影部分，取得最小值時點為(0,1)，最大值時點為(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1