1、經過線性變換經過線性變換二次型化為二次型化為例例12(,)f x x 12xx 12yy 12yy 12xx 12yy1111 f 212()yy TXXA XCY 222y 1122()yyyy 122x x1122()xxxx 0011212y 0022 TYYB B TC AC12()yy 那么那么A C B 12,.,()nf x xx12.(,)nx xx nnnnnnaaaaaaaaa.21222211121112nxxx 給定二次型給定二次型設該二次型設該二次型111212122212.nnnnnnccccccccc12nyyy12nxxx12(,.,)ng yyy1112121

2、1213113.nnbbbyy yy yy yb21222221223223.nnybbbbyyy yy y . 21212.nnnnnnnybbbyy yy 化為化為: :B TC AC那那么么12(,.,)ny yy 111212122212.nnnnnnbbbbbbbbb 12nyyy A C B XCY 經過線性交換經過線性交換TXXA TYYB 且且( )( )Arr B 定義定義5.3 5.3 定理定理 假設存在假設存在n n 階階 使得使得 那么稱矩陣那么稱矩陣A A與與B B合合同同, ,原二次型的矩陣原二次型的矩陣合同。合同。可逆矩陣可逆矩陣C, C, 設設A,BA,B是兩個

3、是兩個n n 階矩陣階矩陣, ,經過非退化線性交換經過非退化線性交換, ,與新二次型的矩陣與新二次型的矩陣記為記為ABABABB TC AC，120.00 .00.00 .000.0 .000.00 .000.00 .0rddd12(,.,)nyyy nrryyyyy12112(,.,.)rny yyy 222d y 12(,.,)nf yyy 定義定義 2212212.rrd yydd y的二次型的二次型只含平方項只含平方項, ,11d y22d yrrd y00211d y2.rrd y5.2 5.2 二次型的規范形二次型的規范形與規范形與規范形方式為方式為不含交叉項不含交叉項222112

4、2.rrd yd yd y的秩為的秩為r稱為規范形稱為規范形. .12,.,rd dd, ,0 TY BY 120.00 .00.00 .000.0 .000.00 .000.00 .0rddd12(,.,)nyyy nrryyyyy12112(,.,.)rny yyy 222d y 12(,.,)nf yyy 定義定義 2212212.rrd yydd y的二次型的二次型每一個規范形每一個規范形每一對角矩陣每一對角矩陣只含平方項只含平方項, ,11d y22d yrrd y00211d y2.rrd y方式為方式為不含交叉項不含交叉項對應一個規范形對應一個規范形. .是對角矩陣是對角矩陣.

5、.2221122.rrd yd yd y的秩為的秩為r稱為規范形稱為規范形. .對應的矩陣對應的矩陣12,.,rd dd, ,0 TY BY 可寫為可寫為此規范形化為此規范形化為定義定義 的二次型的二次型稱為實數域上稱為實數域上令令是一個規范形是一個規范形. .222212342395xxxx 212x245x223x233x22221234yyyy 222211.ppryyyy二次型的規范形二次型的規范形. .方式為方式為1y 12x2y 45x3y 23x4y 33x即即1234yyyy 1234xxxx2000000503000030定義定義 的二次型的二次型稱為實數域上稱為實數域上其中

6、正項的個數其中正項的個數 負項個數負項個數稱為二次型的稱為二次型的 稱為二次型的稱為二次型的r r是二次型的秩是二次型的秩. .222211.ppryyyy二次型的規范形二次型的規范形. .正慣性目的正慣性目的, ,負慣性目的負慣性目的. . 方式為方式為稱為符號差稱為符號差. .p ()rprp p其對應的矩陣為：其對應的矩陣為： 1111 00r個個 p p個個1 1r-pr-p個個-1 -1在復數范圍內在復數范圍內, ,此規范形化為此規范形化為方式為方式為二次型的規范形二次型的規范形. .令令以上二次型可寫為以上二次型可寫為的二次型的二次型復數域上復數域上222212342395xxxx

7、 212x223i x233i x245x22221234zzzz22212.rzzz112zx223zi x333zi x445zx本書均指實數域上的本書均指實數域上的規范形規范形. .定義定義 稱為稱為能否經過非退化線性交換能否經過非退化線性交換假設可以假設可以, ,用什么方法化為規范形用什么方法化為規范形? ? 一個二次型一個二次型化成化成規范形規范形? ?二次型二次型經過非退化線性交換經過非退化線性交換化成規范形化成規范形對稱矩陣對稱矩陣A A合同到對角矩陣合同到對角矩陣B.B.又如何化為規范型？又如何化為規范型？12,.,()nf x xx12,.(),nx xx nnnnnnaaa

8、aaaaaa.21222211121112nxxx 給定二次型給定二次型TX AX假設經過線性交換假設經過線性交換111212122212.nnnnnnccccccccc12nyyy12nxxx2222211.rrddyyd y化為化為: :TY BY XCYB TC AC那那么么12,.(),ny yy 12nyyy A C B 120.00 . 00.00 . 000.0 . 000.00 . 000.00 . 0rddd120.00 .00.00 .000.0 .000.00 .000.00 .0rdddABA A與與對角矩陣對角矩陣合同合同. .1200rddd12(,.,)nyyy

9、nrryyyyy1212221212.rrddfyyyd實對稱矩陣實對稱矩陣A A存在可逆矩陣存在可逆矩陣C,C,1200rdddTC AC經過非退化線性交換經過非退化線性交換 XYC二次型二次型 f f 化為化為: :TC AC 使得使得 二次型二次型12(,.,)nf x xxTX AX ( (一一) ) 用配方法化二次型為規范形用配方法化二次型為規范形( (二二) ) 用初等變換法化二次型為規范形用初等變換法化二次型為規范形( (三三) )用正交交換法化二次型為規范形用正交交換法化二次型為規范形二次型二次型經過非退化線性交換經過非退化線性交換化成規范形化成規范形有三種方法有三種方法: :

10、例例 化為規范形，化為規范形，2221234fyyy 規范形規范形令令1. 1. 用配方法用配方法化二次型為規范形化二次型為規范形23()xx123(,)f x x x22212312132334226xxxx xx xx x21()x122x x132x x223x234x236x x21x12x223()xx223()xx223x234x236x x2123()xxx224x233x234x x2123()xxx23x22(4)x234x x23x2123()xxx2232xx233x234x 123xxx213yyy 232xx3x二次型化為二次型化為并寫出所作的并寫出所作的非退化線性交

11、換非退化線性交換. .將將123(,)f x xx解解例例 將將化為規范形，化為規范形，),(321xxxf解解2221234fyyy 令令123(,)f x x x22212312132334226xxxx xx xx x2123()xxx2232xx234x 123xxx213yyy 232xx3x二次型化為二次型化為并寫出所作的并寫出所作的非退化線性交換非退化線性交換. .3y231122yy213xxx 1y 所作的非退化線性交換為所作的非退化線性交換為231322yy例例 123(,)f x x x121323224x xx xx x化為規范形，化為規范形， 并寫出所作的并寫出所作的

12、非退化線性交換非退化線性交換. .解解 令令12yy123xxx12yy3y二次型化為二次型化為12yy12yy212yy3y412yy3y22212yy將將212y222y132y y236y y212 y13y y222y236y y234y232y2132y y236y y123xxx 123yyy 110 1100001221y例例 123(,)f x x x121323224x xx xx x化為規范形，化為規范形， 并寫出所作的并寫出所作的非退化線性交換非退化線性交換. .解解 令令12yy123xxx12yy3y二次型化為二次型化為將將212 y13y y222y236y y23

13、4y232y123(,)f x x x32y233 y y232y222 y 2392y23122yy22332y2y234y2394y例例 123(,)f x x x121323224x xx xx x化為規范形，化為規范形， 并寫出所作的并寫出所作的非退化線性交換非退化線性交換. .解解 令令二次型化為二次型化為將將123(,)f x x x23122yy22332y2y234y令令二次型化為二次型化為212z222z234z3z123yyy1312zz2332zz123xxx12yy12yy3y123zzz1312yy2332yy3y例例 123(,)f x x x121323224x

14、xx xx x令令123xxx二次型化為二次型化為11011000111023012001123xxx123yyy12yy12yy3y123yyy123zzz123yyy1312zz2332zz3z123xxx123110110001yyy11232231001001zzz001所作的非退化線性交換為所作的非退化線性交換為123xxx123zzz1232zzz123zzz3z112111122223224zzz 例例 123(,)f x x x121323224x xx xx x化為規范形，化為規范形， 并寫出所作的并寫出所作的非退化線性交換非退化線性交換. .解解 令令12yy123xxx1

15、2yy3y二次型化為二次型化為將將222y234y令令二次型化為二次型化為123zzz23122yy2232y222y13122yy332y32y332y23322yy21z22z23z212z312z332y123yyy112z312y214z12y32y234z規范形規范形例例 123(,)f x x x121323224x xx xx x令令二次型化為二次型化為21z22z23z212z312z332y123yyy112z312y214z234z123xxx12yy12yy3y110110001123xxx123yyy123yyy11042123zzz310421002123zzz123

16、zzz12112121212100231042100211042所作的非退化線性交換為所作的非退化線性交換為123xxx1231122zzz123111222zzz212z規范形獨一嗎？規范形獨一嗎？23)2(2x規范形不獨一規范形不獨一. .是規范形是規范形. .正慣性目的為正慣性目的為負慣性目的為負慣性目的為二次型的規范形二次型的規范形二次型的正慣性目的二次型的正慣性目的23)394x（23(2)x令令令令由二次型本身由二次型本身獨一決議獨一決議. .123(,)f x xx22212312132334226xxxx xx xx x 1223()xxx 2322xx 234x 1y 123

17、xxx 232xx 2y 3y 3x32x33x32xf 21y22y 234y f 2212yy23y f 2212yy2349y f 2212yy232y 1y 123xxx 2y 32x3y 232xx f 21y22y 23y 由二次型本身獨一決議由二次型本身獨一決議. .和負慣性目的和負慣性目的2,1定理定理5.4 (5.4 (慣性定理慣性定理) ) 為二次型為二次型f f 的的定理定理5.4/ 5.4/ 都與對角矩陣都與對角矩陣 001111 任一二次型任一二次型f f 都可經非退化都可經非退化線性交換線性交換化為規范形化為規范形. .且規范形由二次型且規范形由二次型為二次型為二次

18、型f f1 1和和1 1的個數共有的個數共有其中其中1 1的個數為的個數為1 1的個數為的個數為為二次型的秩為二次型的秩. .獨一決議獨一決議. .任一實對稱矩陣任一實對稱矩陣A A合同合同, ,為二次型為二次型f f的秩的秩, , 其中其中 221221.prpyyyy f prrp prp 個個, ,rr正慣性目的正慣性目的, , 的負慣性目的的負慣性目的. .化二次型為規范形化二次型為規范形對于任一對稱矩陣對于任一對稱矩陣A,A,100rddCC可逆可逆, , 為初等矩陣為初等矩陣對角矩陣對角矩陣作作k k次一樣的次一樣的列變換列變換存在可逆矩陣存在可逆矩陣C,C,再單獨對再單獨對A A

19、 相應的行變換相應的行變換線性變換的矩陣線性變換的矩陣作作k k次次2. 2. 用初等變換法用初等變換法12.kCP PP E12,.,kP PPTC AC 12(.)TkP PP A12(.)kP PP11.TTTkkP PP TC AC A12.kP PPAEAE12.kP PP12.kP PP1212.kkPAPP PEPP 11.TTTkkP PP TCCA C使得使得例例022244243A求非奇特矩陣求非奇特矩陣C C，AE 224443001001022244243100010001解解26286211086211000034140125205272141411252341480

20、0011000040BTC AC C使得使得CTACCTAC為為341459111280000009B對角矩陣對角矩陣. .C34141411001例例 為規范形為規范形. .解解 AE 11033000100121211012121220002110000631100經可經可逆線逆線性交性交換換123xxx 12121311001123yyy A0001111330111031301000100011121101202121200221110CBC12( 4) TYBY()TC AC1226TYY化二次型化二次型122313262x xx xx x 2221231262yyy化為化為22TC

21、 ACB求可逆線性交換求可逆線性交換, ,二次型對應的矩陣為二次型對應的矩陣為求可逆線性交換求可逆線性交換, ,AE 化為規范形化為規范形. .22將將121212200000061311001 121212000063101 12 2001212012 112121000063101 1200 12120 1 122313262x xx xx x 16161122112210001000631001 AE0061122112210010000 361616 161001361616 010 12120 12121000 010001 經過非退化線性交換經過非退化線性交換二次型化為：二次型化為

22、：123xxx 3112621112621600 123yyyC TC ACB TYBYTC AC100010001 222123yyyB 例例 為規范形為規范形. .解解 B( 1) ( 2) 二次型對應的矩陣為二次型對應的矩陣為TC ACB121324x xx x 求可逆線性交換求可逆線性交換, ,化化A 000112200AE 012100200100010001120000001001112110212 2121101201 12120 012 111 00121212200011100 000021 0C 例例 為規范形為規范形. .解解 B 二次型對應的矩陣為二次型對應的矩陣為TC

23、 ACB121324x xx x 求可逆線性交換求可逆線性交換, ,化化A 000112200121212200011100 000021 0C AE經非退化線性交換經非退化線性交換二次型二次型化為化為二次型的秩為：二次型的秩為：2212122yy( )r A( )r B2123xxx 12121012001 123yyyTYBY()TC AC1220 解解 B 二次型對應的矩陣為二次型對應的矩陣為A A22 例例 為規范形為規范形. .121324x xx x 求可逆線性交換求可逆線性交換, ,化化AE121212200000001012001 12 121212000000201 2001

24、12 1212012121000000201 1200 12120 1 C TC ACB解解 B 二次型對應的矩陣為二次型對應的矩陣為A A 例例 為規范形為規范形. .121324x xx x 求可逆線性交換求可逆線性交換, ,化化AE12121000000201 1200 12120 1 C TC ACB經可逆線性交換經可逆線性交換123xxx 123yyy1122112202001 C 二次型化為二次型化為TYBY()TC AC110 2212yy3.3.用正交交換法用正交交換法實對稱矩陣實對稱矩陣A A存在正交矩陣存在正交矩陣Q,Q,12n 存在正交矩陣存在正交矩陣Q, Q, 12n

25、經過正交交換經過正交交換 XQY12(,.,)nyyy 12n nyyy21定理定理4.144.14規范形規范形A A的一切特征值的一切特征值實對稱矩陣實對稱矩陣A AB二次型化為：二次型化為：化二次型為規范形化二次型為規范形使得使得使得使得1QAQ TfYYB TYY TQ AQTQ AQ 2221212.nnyyy 二次型二次型12(,.,)nf x xxTX AX例例 為規范形為規范形, ,解解 特征值特征值232313231323132323Q Q是正交矩陣是正交矩陣并寫出所作的線性交換并寫出所作的線性交換. .123 220220利用正交交換法利用正交交換法令令2221231231223(,)2344f xxxxxxx xx x 對應的矩對應的矩陣為陣為A 123