1、2015年湖北省高考數學試卷（文科）一、選擇題：本大題10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1（3分）i為虛數單位，i607=（）AiBiC1D12（3分）我國古代數學名著九章算術有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為（）A134石B169石C338石D1365石3（3分）命題“x0（0，+），lnx0=x01”的否定是（）Ax0（0，+），lnx0x01Bx0（0，+），lnx0=x01Cx（0，+），lnxx1Dx（0，+），lnx=x14（3分）已知變量x

2、和y滿足關系y=0.1x+1，變量y與z正相關，下列結論中正確的是（）Ax與y負相關，x與z負相關Bx與y正相關，x與z正相關Cx與y正相關，x與z負相關Dx與y負相關，x與z正相關5（3分）l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線，q：l1，l2不相交，則（）Ap是q的充分條件，但不是q的必要條件Bp是q的必要條件，但不是q的充分條件Cp是q的充分必要條件Dp既不是q的充分條件，也不是q的必要條件6（3分）函數f（x）=+lg的定義域為（）A（2，3）B（2，4C（2，3）（3，4D（1，3）（3，67（3分）設xR，定義符號函數sgnx=，則（）A|x|=x|sgnx|B

3、|x|=xsgn|x|C|x|=|x|sgnxD|x|=xsgnx8（3分）在區間0，1上隨機取兩個數x，y，記p1為事件“x+y”的概率，P2為事件“xy”的概率，則（）Ap1p2BCp2D9（3分）將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b（ab）同時增加m（m0）個單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則（）A對任意的a，b，e1e2B當ab時，e1e2；當ab時，e1e2C對任意的a，b，e1e2D當ab時，e1e2；當ab時，e1e210（3分）已知集合A=（x，y）|x2+y21，x，yZ，B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ，定義集合AB=（x1+x2，y1+y2

4、）|（x1，y1）A，（x2，y2）B，則AB中元素的個數為（）A77B49C45D30二、填空題11（3分）已知向量，|=3，則= 12（3分）設變量x，y滿足約束條件，則3x+y的最大值為 13（3分）f（x）=2sin xsin（x+）x2的零點個數為 14（3分）某電子商務公司對10000名網絡購物者2014年度的消費情況進行統計，發現消費金額（單位：萬元）都在區間0.3，0.9內，其頻率分布直方圖如圖所示（1）直方圖中的a= （2）在這些購物者中，消費金額在區間0.5，0.9內的購物者的人數為 15（3分）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏

5、北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD= m16（3分）如圖，已知圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且|AB|=2（1）圓C的標準方程為 （2）圓C在點B處切線在x軸上的截距為 17（3分）a為實數，函數f（x）=|x2ax|在區間0，1上的最大值記為g（a）當a= 時，g（a）的值最小三、解答題18（12分）某同學將“五點法”畫函數f（x）=Asin（wx+）（w0，|）在某一個時期內的圖象時，列表并填入部分數據，如下表：wx+02xAsin（wx+）0

6、550（1）請將上述數據補充完整，填寫在答題卡上相應位置，并直接寫出函數f（x）的解析式；（2）將y=f（x）圖象上所有點向左平移個單位長度，得到y=g（x）圖象，求y=g（x）的圖象離原點O最近的對稱中心19（12分）設等差數列an的公差為d，前n項和為Sn，等比數列bn的公比為q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100（1）求數列an，bn的通項公式（2）當d1時，記cn=，求數列cn的前n項和Tn20（13分）九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑在如圖所示的陽馬PABCD中，側棱PD底面ABCD，且PD=C

7、D，點E是PC的中點，連接DE、BD、BE（）證明：DE平面PBC試判斷四面體EBCD是否為鱉臑若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；（）記陽馬PABCD的體積為V1，四面體EBCD的體積為V2，求的值21（14分）設函數f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，f（x）+g（x）=ex，其中e為自然對數的底數（1）求f（x），g（x）的解析式，并證明：當x0時，f（x）0，g（x）1；（2）設a0，b1，證明：當x0時，ag（x）+（1a）bg（x）+（1b）22（14分）一種畫橢圓的工具如圖1所示O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉動，

8、長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DN=ON=1，MN=3，當栓子D在滑槽AB內作往復運動時，帶動N繞O轉動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C，以O為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系（1）求橢圓C的方程；（2）設動直線l與兩定直線l1：x2y=0和l2：x+2y=0分別交于P，Q兩點若直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，試探究：OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由2015年湖北省高考數學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

9、的。1（3分）i為虛數單位，i607=（）AiBiC1D1【分析】直接利用虛數單位i的運算性質得答案【解答】解：i607=i606i=（i2）303i=（1）303i=i故選：A【點評】本題考查了虛數單位i的運算性質，是基礎的計算題2（3分）我國古代數學名著九章算術有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為（）A134石B169石C338石D1365石【分析】根據254粒內夾谷28粒，可得比例，即可得出結論【解答】解：由題意，這批米內夾谷約為1534×169石，故選：B【點評】本題考查利用數學知識解決

10、實際問題，考查學生的計算能力，比較基礎3（3分）命題“x0（0，+），lnx0=x01”的否定是（）Ax0（0，+），lnx0x01Bx0（0，+），lnx0=x01Cx（0，+），lnxx1Dx（0，+），lnx=x1【分析】根據特稱命題的否定是全稱命題即可得到結論【解答】解：命題的否定是：x（0，+），lnxx1，故選：C【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎4（3分）已知變量x和y滿足關系y=0.1x+1，變量y與z正相關，下列結論中正確的是（）Ax與y負相關，x與z負相關Bx與y正相關，x與z正相關Cx與y正相關，x與z負相關Dx與y負相關，x與z正相關【分析】由題意，根據

11、一次項系數的符號判斷相關性，由y與z正相關，設y=kz，k0，得到x與z的相關性【解答】解：因為變量x和y滿足關系y=0.1x+1，一次項系數為0.10，所以x與y負相關；變量y與z正相關，設，y=kz，（k0），所以kz=0.1x+1，得到z=，一次項系數小于0，所以z與x負相關；故選：A【點評】本題考查由線性回歸方程，正確理解一次項系數的符號與正相關還是負相關的對應是解題的關鍵5（3分）l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線，q：l1，l2不相交，則（）Ap是q的充分條件，但不是q的必要條件Bp是q的必要條件，但不是q的充分條件Cp是q的充分必要條件Dp既不是q的充分條

12、件，也不是q的必要條件【分析】根據充分條件和必要條件的定義結婚空間直線的位置關系，進行判斷即可【解答】解：若l1，l2是異面直線，則l1，l2不相交，即充分性成立，若l1，l2不相交，則l1，l2可能是平行或異面直線，即必要性不成立，故p是q的充分條件，但不是q的必要條件，故選：A【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據空間直線的位置關系是解決本題的關鍵6（3分）函數f（x）=+lg的定義域為（）A（2，3）B（2，4C（2，3）（3，4D（1，3）（3，6【分析】根據函數成立的條件進行求解即可【解答】解：要使函數有意義，則，即，0等價為即，即x3，即，此時2x3，即2x3或x3，4

13、x4，解得3x4且2x3，即函數的定義域為（2，3）（3，4，故選：C【點評】本題主要考查函數的定義域的求解，要求熟練掌握常見函數成立的條件7（3分）設xR，定義符號函數sgnx=，則（）A|x|=x|sgnx|B|x|=xsgn|x|C|x|=|x|sgnxD|x|=xsgnx【分析】去掉絕對值符號，逐個比較即可【解答】解：對于選項A，右邊=x|sgnx|=，而左邊=|x|=，顯然不正確；對于選項B，右邊=xsgn|x|=，而左邊=|x|=，顯然不正確；對于選項C，右邊=|x|sgnx=，而左邊=|x|=，顯然不正確；對于選項D，右邊=xsgnx=，而左邊=|x|=，顯然正確；故選：D【點評

14、】本題考查函數表達式的比較，正確去絕對值符號是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題8（3分）在區間0，1上隨機取兩個數x，y，記p1為事件“x+y”的概率，P2為事件“xy”的概率，則（）Ap1p2BCp2D【分析】分別求出事件“x+y”和事件“xy”對應的區域，然后求出面積，利用幾何概型公式求出概率，比較大小【解答】解：由題意，事件“x+y”表示的區域如圖陰影三角形，p1=；滿足事件“xy”的區域如圖陰影部分所以p2=；所以；故選：B【點評】本題考查了幾何概型的公式運用；關鍵是分別求出陰影部分的面積，利用幾何概型公式解答9（3分）將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b（

15、ab）同時增加m（m0）個單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則（）A對任意的a，b，e1e2B當ab時，e1e2；當ab時，e1e2C對任意的a，b，e1e2D當ab時，e1e2；當ab時，e1e2【分析】分別求出雙曲線的離心率，再平方作差，即可得出結論【解答】解：由題意，雙曲線C1：c2=a2+b2，e1=；雙曲線C2：c2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，=，當ab時，e1e2；當ab時，e1e2，故選：B【點評】本題考查雙曲線的性質，考查學生的計算能力，比較基礎10（3分）已知集合A=（x，y）|x2+y21，x，yZ，B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ，定義集合AB=

16、（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B，則AB中元素的個數為（）A77B49C45D30【分析】由題意可得，A=（0，0），（0，1），（0，1），（1，0），（1，0），B=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，1），（2，2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2），根據定義可求【解答】解：解法一：A=（x，y）|x2+y21，x，yZ=（0，0），（0，1），（0，1）

17、，（1，0），（1，0），B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，1），（2，2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2）AB=（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B，AB=（0，0），（0，1），（0，2），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，1），（1，2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，1）

18、，（2，2），（1，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，3），（0，3），（2，3），（1，3），（1，3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，2）（3，2）（3，1），（1，3），（3，1），（3，0），（3，2）共45個元素；解法二：因為集合A=（x，y）|x2+y21，x，yZ，所以集合A中有5個元素，即圖中圓中的整點，B=（x，y）|x|2，|y|2，x，yZ，中有5×5=25個元素，即圖中正方形ABCD中的整點，AB=（x1+

19、x2，y1+y2）|（x1，y1）A，（x2，y2）B的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整點（除去四個頂點），即7×74=45個故選：C【點評】本題以新定義為載體，主要考查了集合的基本定義及運算，解題中需要取得重復的元素二、填空題11（3分）已知向量，|=3，則=9【分析】由已知結合平面向量是數量積運算求得答案【解答】解：由，得=0，即（）=0，|=3，故答案為：9【點評】本題考查了平面向量的數量積運算，考查了向量模的求法，是基礎的計算題12（3分）設變量x，y滿足約束條件，則3x+y的最大值為10【分析】作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，通過平移即可求z的最大值【解

20、答】解：作出不等式對應的平面區域如圖，由z=3x+y，得y=3x+z，平移直線y=3x+z，由圖象可知當直線y=3x+z，經過點C時，直線y=3x+z的截距最大，此時z最大由得即C（3，1），此時z的最大值為z=3×3+1=10，故答案為：10【點評】本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決線性規劃題目的常用方法13（3分）f（x）=2sin xsin（x+）x2的零點個數為2【分析】將函數進行化簡，由f（x）=0，轉化為兩個函數的交點個數進行求解即可【解答】解：f（x）=2sinxcosxx2=sin2xx2，由f（x）=0得sin2x=x2，作出函數y=sin2x和y=x2

21、的圖象如圖：由圖象可知，兩個函數的圖象有2個不同的交點，即函數f（x）的零點個數為2個，故答案為：2【點評】本題主要考查函數零點個數的判斷，利用函數和方程之間的關系轉化為兩個函數圖象的交點問題是解決本題的關鍵14（3分）某電子商務公司對10000名網絡購物者2014年度的消費情況進行統計，發現消費金額（單位：萬元）都在區間0.3，0.9內，其頻率分布直方圖如圖所示（1）直方圖中的a=3（2）在這些購物者中，消費金額在區間0.5，0.9內的購物者的人數為6000【分析】（1）頻率分布直方圖中每一個矩形的面積表示頻率，先算出頻率，在根據頻率和為1，算出a的值；（2）先求出消費金額在區間0.5，0.

22、9內的購物者的頻率，再求頻數【解答】解：（1）由題意，根據直方圖的性質得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1=1，解得a=3（2）由直方圖得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×10000=6000故答案為：（1）3 （2）6000【點評】本題考查了頻率分布直方圖中每一個矩形的面積表示頻率，頻數=頻率×樣本容量，屬于基礎題15（3分）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山

23、的高度CD=100m【分析】設此山高h（m），在BCD中，利用仰角的正切表示出BC，進而在ABC中利用正弦定理求得h【解答】解：設此山高h（m），則BC=h，在ABC中，BAC=30°，CBA=105°，BCA=45°，AB=600根據正弦定理得=，解得h=100（m）故答案為：100【點評】本題主要考查了解三角形的實際應用關鍵是構造三角形，將各個已知條件向這個主三角形集中，再通過正弦、余弦定理或其他基本性質建立條件之間的聯系，列方程或列式求解16（3分）如圖，已知圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且|AB|=2（1）圓C

24、的標準方程為（x1）2+（y）2=2（2）圓C在點B處切線在x軸上的截距為1【分析】（1）確定圓心與半徑，即可求出圓C的標準方程；（2）求出圓C在點B處切線方程，令y=0可得圓C在點B處切線在x軸上的截距【解答】解：（1）由題意，圓的半徑為=，圓心坐標為（1，），圓C的標準方程為（x1）2+（y）2=2；（2）由（1）知，B（0，1+），圓C在點B處切線方程為（01）（x1）+（1+）（y）=2，令y=0可得x=1故答案為：（x1）2+（y）2=2；1【點評】本題考查圓的標準方程，考查圓的切線方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題17（3分）a為實數，函數f（x）=|x2ax|在區間0，1上的最

25、大值記為g（a）當a=22時，g（a）的值最小【分析】通過分a0、0a22、a22三種情況去函數f（x）表達式中絕對值符號，利用函數的單調性即得結論【解答】解：對函數f（x）=|x2ax|=|（x）2|分下面幾種情況討論：當a0時，f（x）=x2ax在區間0，1上單調遞增，f（x）max=g（1）=1a；當0a22時，=，f（1）=1a，（1a）=20，f（x）max=g（1）=1a；當22a1時，f（x）max=g（a）=；綜上所述，g（a）=，g（a）在（，上單調遞減，在，+）上單調遞增，g（a）min=g（）；當1a2時，g（a）=f（）=；當a2時，g（a）=f（1）=a1；綜上，當a

26、=時，g（a）min=32，故答案為：【點評】本題考查求函數的最值，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于難題三、解答題18（12分）某同學將“五點法”畫函數f（x）=Asin（wx+）（w0，|）在某一個時期內的圖象時，列表并填入部分數據，如下表：wx+02xAsin（wx+）0550（1）請將上述數據補充完整，填寫在答題卡上相應位置，并直接寫出函數f（x）的解析式；（2）將y=f（x）圖象上所有點向左平移個單位長度，得到y=g（x）圖象，求y=g（x）的圖象離原點O最近的對稱中心【分析】（1）由五點作圖法即可將數據補充完整，寫出函數的解析式；（2）由函數y=Asin（x+）的圖象變換

27、可得g（x），解得其對稱中心即可得解【解答】解：（1）數據補充完整如下表：wx+02xAsin（wx+）05050函數f（x）的解析式為：f（x）=5sin（2x）（2）將y=f（x）圖象上所有點向左平移個單位長度，得到y=g（x）=5sin2（x+）=5sin（2x+）由2x+=k，kZ，可解得：x=，kZ，當k=0時，可得：x=從而可得離原點O最近的對稱中心為：（，0）【點評】本題主要考查了由y=Asin（x+）的部分圖象確定其解析式，函數y=Asin（x+）的圖象變換，屬于基本知識的考查19（12分）設等差數列an的公差為d，前n項和為Sn，等比數列bn的公比為q，已知b1=a1，b2=

28、2，q=d，S10=100（1）求數列an，bn的通項公式（2）當d1時，記cn=，求數列cn的前n項和Tn【分析】（1）利用前10項和與首項、公差的關系，聯立方程組計算即可；（2）當d1時，由（1）知cn=，寫出Tn、Tn的表達式，利用錯位相減法及等比數列的求和公式，計算即可【解答】解：（1）設a1=a，由題意可得，解得，或，當時，an=2n1，bn=2n1；當時，an=（2n+79），bn=9；（2）當d1時，由（1）知an=2n1，bn=2n1，cn=，Tn=1+3+5+7+9+（2n1），Tn=1+3+5+7+（2n3）+（2n1），Tn=2+（2n1）=3，Tn=6【點評】本題考查求

29、數列的通項及求和，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題20（13分）九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑在如圖所示的陽馬PABCD中，側棱PD底面ABCD，且PD=CD，點E是PC的中點，連接DE、BD、BE（）證明：DE平面PBC試判斷四面體EBCD是否為鱉臑若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；（）記陽馬PABCD的體積為V1，四面體EBCD的體積為V2，求的值【分析】（）證明BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即可得出結論；（）由

30、已知，PD是陽馬PABCD的高，所以V1=由（）知，DE是鱉臑DBCE的高，BCCE，所以V2=即可求的值【解答】（）證明：因為PD底面ABCD，所以PDBC，因為ABCD為正方形，所以BCCD，因為PDCD=D，所以BC平面PCD，因為DE平面PCD，所以BCDE，因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DEPC，因為PCBC=C，所以DE平面PBC，由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個鱉臑，其四個面的直角分別是BCD，BCE，DEC，DEB；（）由已知，PD是陽馬PABCD的高，所以V1=由（）知，DE是鱉臑DBCE的高，BCCE

31、，所以V2=因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DE=CE=CD，所以=4【點評】本題考查線面垂直的判定與性質，考查體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題21（14分）設函數f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，f（x）+g（x）=ex，其中e為自然對數的底數（1）求f（x），g（x）的解析式，并證明：當x0時，f（x）0，g（x）1；（2）設a0，b1，證明：當x0時，ag（x）+（1a）bg（x）+（1b）【分析】（1）運用奇、偶函數的定義，由函數方程的思想可得f（x）、g（x）的解析式，再由指數函數的單調性和基本不等式，即可證得f（x）0，

32、g（x）1；（2）當x0時，ag（x）+1af（x）axg（x）+（1a）x，bg（x）+1bf（x）bxg（x）+（1b）x，設函數h（x）=f（x）cxg（x）（1c）x，通過導數判斷單調性，即可得證【解答】解：（1）f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，即有f（x）=f（x），g（x）=g（x），f（x）+g（x）=ex，f（x）+g（x）=ex，即為f（x）+g（x）=ex，解得f（x）=（exex），g（x）=（ex+ex），則當x0時，ex1，0ex1，f（x）0；g（x）=（ex+ex）×2=1，則有當x0時，f（x）0，g（x）1；（2）證明：f（x）=（ex+ex）=g（x），g（x）=（exex）=f（x），當x0時，ag（x）+1af（x）axg（x）+（1a）x，bg（x）+1bf（x）bxg（x）+（1b）x，設函數h（x）=f（x）cxg（x）（1c）x，h（x）=f（x）c（g（x）+xg（x）（1c）=g（x）cg（x）cxf（x）（1c）=（1c）（g（x）1）cxf（x），若c0則h（x）0，故h（x）在（0，+）遞增，h（x）h（0）=0，（x0），即有f（x）cxg（x）+（1c）x，故ag（x）+1a成立；若c1則h（