1、八京航玄航夭大爭b e i h a n g university倒立擺與自動控制原理實驗報告目錄一、實驗目的2二、實驗設備2三、倒立擺系統介紹3四、倒立擺控制系統的建模4五、系統的可控性分析10六、根軌跡控制實驗126. 1根軌跡分析126.2根軌跡校正及仿真136. 3實時控制結果186.4根軌跡設計小結19七、頻率響應控制實驗197.1頻率響應分析197.2頻率響應設計及仿真（超前校正）227.3實時控制結果（超前校正）277.4頻率響應設計（滯后超前校正）287.5實時控制結果（滯后超前校正） 307.6頻域分析校正方法小結30八、pid控制實驗318.1 pid 控制318.2 pid

2、參數設定及仿真318.3實時控制結果368.4 pid控制小結37九、狀態空間極點配置實驗399.1極點配置及仿真399.1.1極點配置399.1.2極點仿真439.2實時控制結果449.2.1 當取 匚-0.5, © = 3 時449.2.2 當取匚-0.5, a)n = 5 時459.3狀態空間極點配置方法小結46十、線性最優二次控制lqr4810.1線性二次最優控制lqr基本原理及分析4810.2 lqr控制參數調節4910.3 lqr控制參數設計仿真5210.4實時控制結果5310.5線性二次最優控制lqr小結54-一、個人小結55一、實驗目的1. 運用經典控制理論控制直線一

3、級倒立擺，包括實際系統模型 的建立、根軌跡分析和控制器設計、頻率響應分析、pid控制分析等 內容.2. 運用現代控制理論中的線性最優控制lqr方法實驗控制倒立 擺3. 學習matlab工具軟件在控制工程中的應用4. 掌握對實際系統進行建模的方法，熟悉利用matlab對系統 模型進行仿真，利用學習的控制理論對系統進行控制器的設計，并對 系統進行實際控制實驗，對實驗結果進行觀察和分析，非常直觀的感 受控制器的控制作用。二、實驗設備計算機及m atlab.vc等相關軟件固高倒立擺系統的軟件固高一級直線倒立擺系統'包括運動卡和倒立擺實物倒立擺相關安裝工具三、倒立擺系統介紹倒立擺是機器人技術、控

4、制理論、計算機控制等多個領域、多種 技術的有機結合，其被控系統本身又是一個絕對不穩定、高階次、多 變量、強耦合的非線性系統，可以作為一個典型的控制對象對其進行 研究。倒立擺系統作為控制理論研究中的一種比較理想的實驗手段， 為自動控制理論的教學、實驗和科研構建一個良好的實驗平臺，以用 來檢驗某種控制理論或方法的典型方案，促進了控制系統新理論、新 思想的發展。由于控制理論的廣泛應用，由此系統研究產生的方法和 技術將在半導體及精密儀器加工、機器人控制技術、人工智能、導彈 攔截控制系統、航空對接控制技術、火箭發射中的垂直度控制、衛星 飛行中的姿態控制和一般工業應用等方面具有廣闊的利用開發前景。倒立擺已

5、經由原來的亡線一級倒立擺擴展出很多種類，典型的有 直線倒立擺環形倒立擺，平面倒立擺和復合倒立擺等，本次實驗采用 的是直線一級倒立擺。倒立擺的形式和結構各異，但所有的倒立擺都具有以下的特性:1） 非線性2）不確定性3）耦合性4）開環不穩定性5）約束限制。倒立擺控制器的設計是倒立擺系統的核心內容，因為倒立擺是一 個絕對不穩定的系統，為使其保持穩定并且可以承受一定的干擾，需 要給系統設計控制器，本小組采用的控制方法有：根軌跡控制、頻率 響應控制、pid控制、狀態空間極點配置、線性二次最優控制。四、倒立擺控制系統的建模下面我們采用牛頓一歐拉方法建立亡線型一級倒立擺系統的數學模型：在忽略了空氣阻力和各種

6、摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統m小車質量m擺桿質量b小車摩擦系數/擺桿轉動軸心到桿質心的長度/擺桿慣量f加在小車上的力x小車位置<i>擺桿與垂直向上方向的夾角0擺桿與垂直向下方向的夾角(考慮到擺桿初始位置為豎直向下) 圖是系統中小車和擺桿的受力分析圖。其中，n和p為小車與擺桿相 互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在實際倒立擺系統中檢測和執行裝置的正負方向已經完全確 定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量止方向。圖3-2小車及擺桿受力分析分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：mx = f-bx-n“、(3-1)由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：n =加

7、上(x + / sin &)赤(3-2)gp：(3-3)n = nix + mw cos 0 一 mlo2 sin 0把這個等式代入式(3j)中，就得到系統的第一個運動方程:(m + 加)壬 + bx + mid cos 0 一 mlo2 sin 0 = f(3-4)為了推出系統的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行 分析，可以得到下面方程：d 2p 一 mg = m (7 cos 0)(3-5)p 一 nig = -nilo sin 0 一 ml 02 cos 6(3-6)力矩平衡方程如下:一 pl sin 0 - n1 cos 6 = 10(3-7)合并這兩個方程，約去p

8、和/v,得到第二個運動方程:(7 + mgl sin 0 = -mix cos 0(3-8)設e = n( e是擺桿與垂直向上方向之間的夾角)，假設e與1 (單位是弧度)相比很小，即4)«1,則可以進行近似處理：cos& = 一1, sin 6? = 一0 , ()2 = 0dt用u來代表被控對象的輸入力f,線性化后兩個運動方程如下:(3-9)(3-10)|(z + 滬暢 一 mgl(p = mix (a/ + nf)x + bx - ml(p = u對式(39)進行拉普拉斯變換，得到(7 + ml1)0(5)52 一 回“)=mlx(s)s， (m + m)x(s)s2 +

9、 bx (.s )5 一 (|s)“ = u (s)注意：推導傳遞函數時假設初始條件為0。由于輸岀為角度e,求解方程組的第一個方程，可以得到: -y(.s)= m j)仝ml或(s) _mis2x(s)(7 + ml2)s2 一mgl如果令v = x 則有：g)7ml(z+- mgl把上式代入方程組的第二個方程，得到:q + m) ml(如+b(z )+ 芻 (s)s ml(s)s2 = u(s)dll整理后得到傳遞函數:ml =s 0)二qu(s) b(i 十血)q (m 4- fn)mglsssqqbmglsq其中q = (m + zw)(z + ml2) -(m/)2設系統狀態空間方程為

10、:x = ax + buv = or + du方程組 對丄妙 解代數方程，得到解如下:x = x:-(i + ml2)b .+m2gl2r .川廠)i(m + tn) + mn 十i(m + m) +i(m + m) + mnil一 nilbmgl(m + ?) 丄i(m + rn) 4- mmf- * z(m +加)+ )伽廠 十 z(m +加)+ a伽廠"ml整理后得到系統狀態空間方程:0100l0一 (z + ml2)bm2gl20xim + m) + mml：i(m + “7)+ mmlx+0001e10-mlbmgl (m + m)0$i(m + m) + mm,i(m +

11、 加)+ mml2x xi(m + m) + mmf 0 mloz + ml2x='10 00_x+0_0 0 10_0_0由(39)的第一個方程為：(/ + 滬暢 一 mgl(p - mix對于質量均勻分布的擺桿有：i = ml23于是可以得到：1. d-nil" + 0 mgl(p - mix13j化簡得到: 3e 3x = a a 旅 0,則有:心滬+戸00x0 10 0x0 x0 0 0 0x1缶=0 0 0 1(h0y ±0 0空0ra3l4/l。_4?_uux實際系統的模型參數如下:m小車質量1.096 kgm擺桿質量0.109 kgb小車摩擦系數0ln

12、/m/seci擺桿轉動軸心到桿質心的長度0.2 5m/ 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m把上述參數代入，可以得到系統的實際模型。擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數為:(s)7(s) 一 0.0102125/ -0.26705以小車加速度作為輸入的系統狀態方程:01001xo0000x1+000100029.4j jd_3_l x_10 0o-x_0+00 1000i/u注意事項：在固高科技所有提供的控制器設計和程序中，采用的都是以小不的加速度作為系統的輸入。五、系統的可控性分析對于連續時間系統:x = ax + buy = cx + du系統狀態完全可控的條件為：當且僅當向量組b, ab,

13、an-1b是線性無關的系統的輸出可控性的條件為：當且僅當矩陣 cb;cab;ca?b;ca”b;d的秩等于輸出向量y的維數。應用以上原理對系統進行可控性分析，在mat lab中計算：clear;a= 0 1 0 0;0000;000 1;0 0 29.4 0;b=0 1 0 3：c= 1 0 0 0;0 100;d= 0 0 *;cona=b a*b aa2*b aa3*b;cona2=c*b c*a*b c*aa2*b c*aa3*b d;rank(cona)rank(cona2)可以得到：ans =4ans =2可以看出，系統的狀態完全可控性矩陣的秩等于系統的狀態變量 維數，系統的輸出完全

14、可控性矩陣的秩等于系統輸出向量y的維數， 所以系統可控，因此可以對系統進行控制器的設計，使系統穩定。六、根軌跡控制實驗6. 1根軌跡分析前面我們已經得到了亡線一級倒立擺的物理模型，實際系統的開 環傳遞函數為： _0.027257(s) 0.0102125/ -0.26705其中輸入為小車的加速度u(s),輸岀為擺桿的角度。在matlab下繪制系統的根軌跡圖。在matlab中鍵入以下命令：clear;num=0.02725 ;den=0.0102125 0 -0.26705;rlocus (numden)z=roots (num);p=roots(den);得到如下結果：z = 0,0p = 5

15、.1136,-5.1136root locus可以看岀，系統有兩個零點，有兩個極點，并且有一個極點為正。可以看出閉環傳遞函數的一個極點位于右半平而，并且有一條根 軌跡起始于該極點，并沿著實軸向左跑到位于原點的零點處，這意味 著無論增益如何變化，這條根軌跡總是位于右半平面，即系統總是不 穩定的。6. 2根軌跡校正及仿真對于傳遞函數為：亠、0.02725g(s) =0.0102125?-0.2675的系統，設計控制器，使得校正后系統的要求如下: 調整時間ts = 0.55(2%)；最大超調量mp<m ；根軌跡設計步驟如下：1) 確定閉環期望極點d s的位置，由最人超調量二嚴w%510%可以得

16、到：>0.591155 ,在本實驗我們取,0.7 o由 $ = cos(&)可以得到：0 = 0.795399 (rad)其中0為位于第二象限的極點和o點的連線與實軸負方向的夾角。又由：t = - < 0.5$3可以得到：13.5328 ,在本例我們取©=14.2857于是可以得到期望的閉環極點為：14.2857(cos&土 jsino)2) 未校正系統的根軌跡在實軸和虛軸上，不通過閉環期望極點，因此需要對系統進行超前校正，設控制器為：k(s) = a 75 + 1 = (a <1)ats + 5 + p3) 計算超前校正裝置應提供的相角，已知期望的

17、閉環主導極點和系 統原來的極點的相角和為：, -1z14.2857 sin <9、.14.2857 sin、“、八g(s.) = -(- tan () - tan () + 6.28) = -4.5653'14.2857 cos & - 5.113614.2857 cos & + 5.1136因此校正裝置提供的相角為：0 =3.14 (4.5653) = 1.42534) 設計超前校正裝置，已知：e = 0.795399對于最大的a值的丫角度可由下式計算得到：丫=、兀-所以有：丫=丄(龍一0 0) = 0.46124324 jwux按最佳確定法作圖規則，在上圖中畫

18、岀相應的直線，求出超前校正裝置的零點和極點，分別為：z°=-6.68521;z“=-30.52731校正后系統的開環傳遞函數為：q = g(s) k(s) = kg+6.68521)_002725_(s+30.52731) 0.010212552-0.267055) 由幅值條件|g(sd)h(sd)| = l ,并設反饋為單位反饋，所以有 = 165.19 ；6) 于是我們得到了系統的控制器：g(s) = 165.19 "+668521)(s+30.52731)使用數學軟hmathematica編寫自動計算程序如下：overstep=0 04598791;adjusttim

19、e=04; pospole=51136;negpole=-51136;mp= 1 丿；print nnnsolve(mp-overstep)do , damp=0/%printndn =arccos dampts=4-r (damp*n);print ffnsolve (ts-ad justtime) do, (_n);_=_n/ %polesre=-*cos ;polesim=*sin;z=polesre+i*polesim;printngsdn;gsd=- (arg z-pospole +arg z-negpole)print f>n>=-<-gsd;printnnn=(

20、y»-a)/2print n zerocoord11 zerocoord=polesre-polesim*tan -(y/2-口)printnpolecoordnpolecoord=polesre-polesim*tan-(y/2-口)+afk=absk*(z-zerocoord)/(z-polecoord)*0 02725/(0 0102125*2 一026705);printnknsolvefk-ldoz (k)在matlab中編寫如下m文件，對系統進行仿真:clear;num 二0.02725;den=0.0102125 0-0.267051; numlead=-6.68521

21、;denlead=-30.57321;z,p,k=tf2zp(num,den);za=z;numlead;pa=p;denleadl;num2,den2=zp2tf(za,pa,k);sys=tf(num2,den2);rlocus(sys);figurekk=14l137 % compensated system sys2二zpk(za,pa,kk*k);sysc=sys2/(l +sys2);% transfer function of the linear 1 stage% inverted penulum% controller zeros% controller poles% add

22、 zeros to the lip system% add poles to the lip systemt=0:0.005:5;step(sysc,t) % response of the close-loop system根軌跡圖及仿真如下：根軌跡階躍響應04020.52.5time (seconds)6. 3實時控制結果6. 4根軌跡設計小結根軌跡是指系統開環傳遞函數中的某個參數（一般為開環增益） 從零到無窮時，閉環特征根在s平面上移動的軌跡。通過實驗我總結到，閉環極點應該遠離虛軸，這樣會使系統的快 速性更好。復數極點最好設置在s平面中與負實軸成止負45度夾角線 附近，這樣既能有較好的穩

23、定性也有較好的動態性能。對開環傳遞函 數增加零點可以使根軌跡向s左半平面移動，是系統穩定性變好。在本實驗所用設計方法中，為獲得系統更好地瞬態響應，減少穩 態誤差，可以采用以下方法進一步調整：第一種方法：增加阻尼$ ,重復上面的設計方法，重新設計， 直到系統的響應滿足要求。第二種方法：在保持©角不便的情況下，將校正裝置的零點向 左側偏移，以減少閉環零點和極點的影響。七. 頻率響應控制實驗7,1頻率響應分析前面我們已經得到了直線一級倒立擺的物理模型，實際系統的開環傳遞函數為：(s) _0.02725/(s) 0.0102125/ 0.26705其中輸入為小車的加速度u(s),輸出為擺桿的

24、角度。在matlab下繪制系統的bode圖和奈奎斯特圖。在matlab中鍵入以下命令：clear;n um 二0.02725;den=0.0102125 0 -0.26705;z=roots(num);p=roots(d en);subplot(2zl,l)bode(num,de n)subplot(2 丄 2)nyq uist( nu m,den)得到如下圖所示的結果：z =empty matrix: 0-by-lp =5.1136-5.1136figure no. 1insert tools window helpk a z / 妙 q c80回兇bode diagram50101l o8

25、111025.o.5o.frequency (rad/sec)nyquist diagram0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10real axis可以得到，系統沒有零點，但存在兩個極點，其中一個極點位 于右半s平面，根據奈奎斯特穩定判據，閉環系統穩定的充分必要條 件是：當3從一 oo到+ oo變化時，開環傳遞函數g(丿"3 )沿逆時針 方向包圍j點p圈，其中p為開環傳遞函數在右半s平面內的極點 數。對于直線一級倒立擺，由奈奎斯特圖我們可以看出，開環傳遞函 數在s右半平面有一個極點，因此g(j3 )需要沿逆時針方向包圍j 點一圈。可以看出，系統的奈奎

26、斯特圖并沒有逆時針繞點一圈， 因此系統不穩定，需要設計控制器來鎮定系統。7.2頻率響應設計及仿真(超前校正)直線一級倒立擺的頻率響應設計可以表示為如下問題:考慮一個單位負反饋系統，其開環傳遞函數為：g(s)二 ©二°°2725' v(s) 0.010212552 -0.26705設計控制器q(s),使得系統的靜態位置誤差常數為io,相位裕量為5(r ,增益裕量等于或大于10分貝。根據要求，控制器設計如下：1) 選擇控制器，上面我們已經得到了系統的bode圖，可以看出，給系統增加一個超前校正就可以滿足設計要求，設超前校正裝置為:gs) = kca7 + 1a

27、tsl1s + -£ +at已校正系統具有開環傳遞函數gf.(s)g(s)g (s) = kg(s)=0.02725 xk0.0102125"0.26705式中k = kca o2)根據穩態誤羌要求計算增益k ,k=limq(s)g(s)二p5->01汕盲 x0-02725=10一0 c 丄 10.0102125?-0.26705at可以得到：kca = 9s = k于是有：_0.02725x981 0.0102125?-0.267053)在matlab中畫出g】(s)的bode圖:500op) apnjtcewsode diagram10frequency (rad

28、/$)nyquet diagram.sxv ajbu&be-10-9-8real axis4) 可以看出，系統的相位裕量為oo,根據設計要求，系統的相位裕 量為50。，因此需要增加的相位裕量為50“，增加超前校正裝置會改變 bode圖的幅值曲線，這時增益交界頻率會向右移動，必須對增益交 界頻率增加所造成的g(je)的相位滯后增量進行補償，因此，假設需 要的最大相位超前量血近似等于60。因為sin血=-1 +力計算可以得到：a =0.07185) 確定了衰減系統，就可以確定超前校正裝置的轉角頻率3 = vt 和3 =1/( a t),可以看出，最大相位超前角血發生在兩個轉角頻率 的幾何中

29、心上，即a)=/(4at),在a)=/(yfat)點上，由于包含 (ts+l)/(ats+l)項，所以幅值的變化為：1+腳1 +丿如7訥忌）14a= 11.4386 分貝并且|g（jq）| =-11.4386分貝對應于3 = 30.8181 rad/s,我們選擇此頻率作為新的增益交界頻率©，這一頻率相應于0=1/（巫t）,即© = 1 / (a t),于是1oa©4a115.01486）于是校正裝置確定為:g,s) = kfn+i+ 1s +8.9854$ + 90.3965= 13657) 增加校正后系統的根軌跡和奈魁斯特圖如下：使用matlab畫圖的m文件為:

30、clear;phi=60;alpha=solve(1sind(phi) = (1-alpha)/(1+alpha) 1, 1 alpha1);kc=98/alpha;r=solve('0.02725*98/(0.010212 5*ommigaa2 + 0 2 67 05) = (alpha)a0.5', 'ommiga')；ommiga=r(1);zc=alphaa05*ommiga;pc=zc/alpha;num=98*0.02725;den=0.0102125 0 -026705; subplot(2,1,1);bode(num, den)subplot(2

31、,1,2);nyquist(num,den)z=roots(num);p=roots(den);za=z;-82577;pa=p;-115.0148;k=1365;sys=zpk(za,pa,k);figuresubplot (2,1,1)bode (sys)subplot (2,1,2)nyquist (sys)figuresysc=sys/(1+sys);t=0:0005:5;impulse(sysc,t);figurestep(sysc,t);從bode圖中可以看岀'系統具右要求的相角裕度和幅值裕度，從奈 魁斯特圖中可以看出，曲線繞j點逆時針一圈，因此校正后的系統 穩定。sode

32、 diagramfrequency (rad/$).sxv ajbu&be-得到系統的單位階躍響應如下:step response25335445time (seconds)得到系統的單位脈沖響應如下:impure response022.5time seconds)1210可以看出，系統在遇到干擾后，在1秒內可以達到新的平衡，但是 超調量比較大。3007.3實時控制結果（超前校正）3.5l13一(9125一11-215-1一-0.5a1 1502002500100150time7.4頻率響應設計（滯后超前校正）通過上面的實驗可以看出，系統存在一定的穩態誤差，為使系統 獲得快速響應特性

33、，又可以得到良好的靜態精度，我們采用滯后一超 前校正（通過應用滯后一超前校正，低頻增益增大，穩態精度提高， 又可以增加系統的帶寬和穩定性裕量），設滯后一超前控制器為：（s+*）（s+*）q（s）+卞（s+）（s+）參考相關教材設計滯后-超前控制器。求得控制器為：（sh）（sh）g.=k.夕 t： = 980x54 % $ + 2（s+0）（s+丄）5 + 90.3965 5 + 0.1988可以得到靜態誤差系數：/f=limg（s）g（. （s） = 100.6p sto比超前校正提高了很多，因為一2零點和一0.1988極點比較接 近，所以對相角裕度影響等不是很大，滯后超前校正后的系統bode

34、 圖和奈魁斯特圖如下所示：sode diagramlil r -50100-90frequency (rad/$)vo o 1 27nyquet diagram-3530-2s20real axt32015s-xv?euaee單位脈沖響應為:impulse response7,5實時控制結果（滯后超前校正）0500.50100150time/s2007.6頻域分析校正方法小結超前校正的主要作用，是對系統的頻率響應引入超前相位，改變 頻率響應曲線的形狀，以補償原系統較大的滯后相角，使系統穩定， 改善系統動態性能。串聯超前校正的優點：保證低頻段滿足穩態誤差，改善中頻段, 使截止頻率增大，相角裕度變

35、大，動態性能提高，高頻段提高使其抗 噪聲干擾能力降低。滯后超前校正兼有滯后校正和超前校正的優點。使得被校正系 統的響應速度變快，超調變小，抑制高頻噪聲的性能變好。當對系統 的動態和靜態性能有較高要求時，宜采用lag-lead校正。八、pid控制實驗8.1 pid控制經典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統，控制器設 計時一般需要有關被控對象的較精確模型。pid控制器因其結構簡 單，容易調節，且不需要對系統建立精確的模型，在控制上應用較 廣。8.2 pid參數設定及仿真由實際系統的物理模里：(s) _0.02725v(s) 0.01021252 - 0.26705pid控制器的傳遞函數為k

36、d(s) = kds + k“+£需仔細調節pid控制器的參數，以得到滿意的控制效果。在matlab中建立m文件以仿真不同參數下pid控制的效果，代碼如下：clear;num=002725;den=0.0102125 0 一0.26705;kp=60;ki=12;kd=15; numpid=kd kp ki;denpid=l 0;syspid=tf(numpid,denpid); sysgs=tf(num,den);sysg=series(syspid, sysgs);sys=sysg/(1 + sysg);figure (1);t=0:0005:10;step(sys);figur

37、e (2);impulse (sys);我們通過試湊法尋找合適的pid參數。我們在試湊過程中發現， 比例系數心 可以增強系統的快速性，但不利于系統的穩定性；微分 系數k,可以增強系統的穩定性，但不利于系統的穩態誤差；積分系 數心 可以改善動態特性，并減少穩態誤差，但是會使穩定時間增加。 了解了這些特性，我們按照平衡各方面特性的想法，最終我們一共找 到了三組參數，均能達到較好控制效果。第一組，k“=40;k/=0;心=10單位階躍響應仿真曲線如下:step responsej1.8g1 g a0206time (seconds)單位脈沖響應仿真曲線如下:imp use responsetime

38、(seconds)第二組，k“=40;k/=12;心=4單位階躍響應仿真曲線如下:step responsen 1.8g10.0.5time(5ocbnds)單位脈沖響應仿真曲線如下:100206inpude responsetime (seconds)第三組，k” = 60; k/ = 12; k° = 15單位階躍響應仿真曲線如下：step response02time (seconds)1.6 1.8單位脈沖響應仿真曲線如下:302520imp use response010203time (secbnds)0608098.3實時控制結果第一組，k“=40;k/=0;k

39、6; = 10353252i is0.50°5o204060 80180160140120100time/s200p2/e-6uvi1111111i一-一11-一-1-/一 /1 11 1 12206080100time/s120140160180200第三組，心=60; k/ = 12; k° = 1520406080120160180200140100time/s0508.4 pid控制小結在本次pid實驗中，令我對pid控制器的設計有一定的了解。當 僅有比例控制時，控制器的輸出與輸入誤差信號成正比關系，存在穩 態誤差。但在控制器中僅引入“比例”項往往是不夠的，比例項的

40、作用 僅是放大誤差的幅值，在存在有較大慣性組件（環節）或有滯后 （delay）組件的控制系統中，這些環節具有抑制誤差的作用，其變 化總是落后于誤差的變化，導致自動控制系統在克服誤差的調節過程 中可能會出現振蕩甚至失穩。此時需要增加的是“微分項”，它使控 制器的輸出與輸入誤差信號的微分（即誤差的變化率）成正比關系， 能預測誤差變化的趨勢，這樣，具有比例+微分的控制器，就能夠提 前使抑制誤差的控制作用等于零，甚至為負值，從而避免了被控量的 嚴重超調，增強穩定性。但穩態誤差并不因為加入“p”和“i”而消除，為了消除穩態誤 差，在控制器中必須引入“積分項”。在積分控制中，控制器的輸出 與輸入誤差信號的

41、積分成正比關系。積分項對誤差取決于時間的積 分，隨著時間的增加，積分項會增大。這樣，即便誤差很小，積分項 也會隨著時間的增加而加大，它推動控制器的輸出增大使穩態誤差進 一步減小，直到等于零。pid的三個參數相輔相成，因此可以通過不斷嘗試來獲得最佳的 控制效果，但在嘗試時應緩慢調節各參數，因為pid參數的微小變化 很多時候會使控制系統的響應有劇烈變化。九、狀態空間極點配置實驗9.1極點配置及仿真 9.1.1極點配置前面我們已經得到了直線一級倒立擺的狀態空間模型，以小車加速度作為輸入的系統狀態方程為:x_0100 x000000001 00029.40xx+103uo o+x 0 0o oo 1o

42、 o1 o- -兀 0-y直線一級倒立擺的極點配置轉化為：對于如上所述的系統，設計控制器，要求系統具有較短的調整時 間（約3秒）和合適的阻尼（阻尼比q = 0.5）o按極點配置步驟進行計算。1）檢驗系統可控性，由報告第五部分系統可控性分析可以得到, 系統的狀態完全可控性矩陣的秩等于系統的狀態維數（4）,系統的輸出 完全可控性矩陣的秩等于系統輸出向量y的維數（2）,所以系統可控。2）計算特征值根據要求，并留有一定的裕量，我們選取期望的閉環極點s = “,(i = l,2,3,4),其中:叢=一10,2 二一10,“3 =-1.5 + ；3v0.75,/z4 =-1.5-./3v0.75其中，角,

43、“4使一對具有$ = 0.5,© =3的主導閉環極點，口,角位于主 導閉環極點的左邊，因此其影響較小，因此期望的特征方程為：(s- m )(s “2 )(s “3 )(s “4)=(s+10)(s+ 10)(s+1.5 j3v075)(s-1.5 + ；3v(x75)=s4+ 23 y +169s2 + 4805 + 900因此可以得到：ocx 23, a, 169, a、 480,(xa 900由系統的特征方程：si-a = s4-29as2因此有：ax 0, a2 = 29.4, a3 = 0, a4 = 0系統的反饋增益矩陣為:a： = a4-a4;a3-a3;a2-a2;a1

44、 -ajt"13) 確定使狀態方程變為可控標準型的變換矩陣t:t = mw式中:m=b;ab;a2b;a3b =00088.20088.20tz3 a2r 0-29.40ra2 qi0-29.4010q 10001001 000_ 1000于是可以得到:t = mw =-29.400.00-0.03401-29.4003000.011300103_(0.0)_1131-0.0340廠i _000.33330_ 0000.33334）于是有狀態反饋增益矩陣為:k二禺 _&4；03 _&3；。2 _幻；0 ajt"1900 - 0; 480-0;169 + 29

45、.4; 23-01-0.0340000-0.034000.011300.3333000.011300.3333=-30.6122 -16.3265 76.3374 13.1088得到控制量為：“ =kx 二 30.6122兀 +16.3265%- 76.33740-130880以上計算可以采用matlab編程計算。clear;a= 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0;b=0 103*;c= 1 0 0 0; 0 0 1 0;d=0 01;j=-10 0 0 0; 0-10 0 0; 0 0 -1.5-3*sqrt(0.75)*li 0;0 0 0-1.5

46、+3*sqrt(0.75)*li;pa=poly(a);pj=poly(j);m=b a*b aa2*b aa3*b;w= pa(4) pa pa 1; pa pa 1 0;pa(2) 100; 1000;t=m*w;k二pj(5)pa(5) pjpa pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)/tac = (a-b*k);be = b; cc = c; de = d;t=0:0.005:5;u=0.2*ones(size(t);cn=10 0 0;nbar=rscale(a,b,cn,o,k);bcn=nbar*b;xx=lsim(ac/bcn/cc,dc,u,t); plot(xx(:,l),-,color,/recl,)； hold on;plotccxj:)/-1,'color','yellow'); hold on;plot(tzx(:,3),'color','green'); hold on;plotftxf:/)；-1)l