1、精選學習資料 - - - 歡迎下載四邊形中“新定義”型試題探究浙江省象山縣丹城中學王賽英徐敏賢郵編315700所謂“新定義” 型試題,為指在試題中給出一個考生從未接觸過的新概念,要求考生現(xiàn)學現(xiàn)用,主要考查考生閱讀懂得才能.應用新學問才能.規(guī)律推理才能和創(chuàng)新才能. 給“什么”,用“什么”,為 “新定義”型試題解題的基本思路. 以四邊形為背景的幾何“新定義”型試題,看似平淡無奇,認真研讀卻發(fā)覺試題韻味無窮,極具探究價值和選拔功能. 求解這類試題的關鍵為：正確懂得新定義,并將此定義作為解題的依據(jù),同時嫻熟把握相關的基本 概念.性質 、 把握圖形的變化規(guī)律.一.以特別點為契機進行“新定義”例 1 （

2、2007 年寧波市中考數(shù)學試題）四邊形一條對角線所在直線上的點,假如到這條對角線的兩端點的距離不相等,但到另一對角線的兩個端點的距離相等,就稱這點為這個四 邊形的準等距點 如圖 l ,點 p為四邊形 abcd 對角線 ac 所在直線上的一點, pd=pb ,papc,就點 p 為四邊形abcd 的準等距點1如圖 2,畫出菱形abcd的一個準等距點2如圖 3,作出四邊形abcd的一個準等距點尺規(guī)作圖 、保留作圖痕跡,不要求寫作法3如圖 4,在四邊形abcd中, p 為 ac 上的點, pa pc,延長bp 交 cd 于點 e,延長 dp 交 bc 于點 f,且 cdf= cbe ,ce=cf 求

3、圖 1證：點 p 為四邊形abcd 的準等距點4試爭論四邊形的準等距點個數(shù)的情形說出相應四邊形的特點及準等距點的個數(shù),不必證明 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載dp cb圖 2a圖 3deapcfb圖 4圖4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解:（ 1）如圖 2,連結 ac、 在 ac 上任取除ac 中點外的點p、點 p 即為所畫點（ 2）如圖 3,連結 bd、 作 bd 的中垂線交直線ac 于點 p、因點 p 不為 ac 的中點 、故點 p即為所求作點（ 3）如圖 4,連結 db ,在 dcf 與 bce 中, cdf= cbe , dcf= bce ,cf=ce.

4、 dcf bceaas , cd=cb、 cdb= cbd、 pdb= pbd , pd=pb ,papc、點 p 為四邊形abcd 的準等距點 .（ 4）當四邊形的對角線相互垂直且任何一條對角線不平分另一對角線時,準等距點的個數(shù)為 0 個；四邊形的對角線相互垂直且至少有一條對角線平分另一對角線時,準等距點有很多個1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當四邊形的對角線不相互垂直,但相互平分時,準等距點的個數(shù)為0 個；當四邊形的對角線不相互垂直,又不相互平分, 且有一條對角線的中垂線經過另一對角線的中點時,準等距點的個數(shù)為1 個；當四邊形的對角線既不相互垂直又不相互平分,且任何一條對角

5、線的中垂線都不經過另一條對角線的中點時,準等距點的個數(shù)為2 個.評析：本道題以特別點為契機,創(chuàng)設了一個全新的概念 四邊形的準等距點.第（ 1）小題為新定義的簡潔應用.第（ 2）小題依據(jù)新定義的內涵作圖,其實質作一對角線的中垂線與另一對角線的交點,且這一交點不在另一對角線的中點上；思維敏捷.鎮(zhèn)靜淡定的同學,從作圖中不難發(fā)覺一般的四邊形等距點可能為0.1.2.很多個 .第（ 3）小題,常中見新. 拙中藏巧,利用新定義及三角形有關學問就可使命題獲證.第（ 4）小題就難度極大,對分析 問題才能.分類爭論才能.抽象思維才能.歸納才能及語言表達才能提出了極高的要求.好在（ 1）.（ 2）兩小題解決后累積的

6、體會,為第（4）小題解決鋪設了平臺,特別為第（2）小題畫圖時產生的靈感,為第（4）小題的解決指引著思維的方向.于為,類比.聯(lián)想才能強、 思維靈敏的同學會從對角線位置關系入手,對四邊形等距點個數(shù)進行分類爭論；思維嚴密.深刻的同學,會依據(jù)對角線垂直與否及為否平分,分成五類,最終,經抽象.歸納成四類.二.以特別邊為契機邊進行“新定義”例 2 （ 2007 年北京市中考數(shù)學試題）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地,我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形.（ 1）請寫出一個你學過的特別四邊形中為等對邊四邊形的圖形的名稱；（ 2）如圖,在 abc 中,點 d,e 分別在 a

7、b ,ac 上,設 cd .a1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載be 相交于點o,如 a=60 °,dcb= ebc= a.請你寫出圖2fe精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載中一個與 a 相等的角,并猜想圖中哪個四邊形為等對邊四邊形；（ 3）在 abc 中,假如 a 為不等于 60°的銳角,點d ,e 分b1d ogc圖 5精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載別在 ab ,ac 上, 且 dcb= ebc= a. 探究： 滿意上述條件的2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載圖形中為否存在等對邊四邊形,并證明你的結論.解：（ 1）

8、平行四邊形.等腰梯形等.（2）答：與 a 相等的角為bod （或 coe ） .四邊形 dbce 為等對邊四邊形.（3）答：此時存在等對邊四邊形,為四邊形dbce.證明：如圖5,作 cg be 于 g 點,作 bf cd 交 cd 延長線于 f 點, f=90 0=精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 egc.dcbebc1a , bc為公共邊,2bcf cbg. bf=cg.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 bdf= abe+ ebc+ dcb , bec= abe+ a , bdf= bec ,又 f=精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載egc ,bdfc

9、eg , bd=ce ,四邊形dbce 為等對邊四邊形.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載評析： 此題以一組對邊相等關系為契機, 創(chuàng)設了一個全新的概念 等對邊四邊形 .語言精練 、設問流暢,層次感強 .解決此題,需較強的分析問題才能.推理論證才能 . 第（ 1）小題為新定義的簡潔應用 .第（ 2）小題的第一問,利用三角形的內外角的數(shù)量關系即可解決；而其次問,易得猜想：bd=ce ,四邊形dbce為等對邊四邊形,但憑直角得到的猜想不肯定2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載牢靠,為此大多數(shù)考生會設法證明自己的猜想.由公共邊bc、 dcb= ebc=1 a=30 °

10、 、2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載bod= coe=60 °這些條件及要證的猜想bd=ce ,不難想到添幫助線的方法：分別過點b.c 作 cd .be 的垂線 、從而證明自己的猜想.第（ 3）小題完全可類比第（2）小題的其次精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載問進行, 先證 bcf cbg ,再證得 bdf ceg ,繼而使問題獲得解決；當然,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載第（ 3）小題,也可作 hcb= dbc 交 be 于點 h,構造全等三角形bdc 與 chb,得bd=ch ,再證 ch=ce ,也可使問題獲得解決.三.以特別角為契機

11、進行“新定義”例 3（ 2006 年安徽省中考數(shù)學試題）如圖 6,凸四邊形abcd中,假如點 p 滿意 apd apb = .且 bpc cpd,就稱點p 為四邊形abcd 的一個半等角點 l）在圖 7 正方形abcd內畫一個半等角點p,且滿意. 2 ）在圖 8 四邊形abcd中畫出一個半等角點p,保留畫圖痕跡（不需寫出畫法）. 3 ）如四邊形abcd有兩個半等角點p1 .p2（如圖 9 ,證明線段p1 p2 上任一點也為它的半等角點.ddcpibapcabb圖 6圖 7圖 8圖 9解：（ 1）所畫的點p 在 ac 上且不為ac 的中點和ac 的端點,即可 .（ 2）畫點 b 關于 ac 的對

12、稱點b,延長 d b交 ac于點 p,點 p 即為所求的點 .（ 3）連 p1a.p1d.p1b.p1c 和 p2d.p2b,依據(jù)題意 、 a p1d= a p1b, d p1c= b p1c, a p 1b+ b p 1c=180 0、 p1 在 ac上,同理, p2 也在 ac上.在 d p 1 p 2 和 bp1 p 2 中d p1 p2= b p1 p2, d p2 p1=b p2p1, p1 p2= p1 p2, d p1 p2 b p1 p2, p1d=p1b,p2d=p2b, b.d 關于 ac 對稱 .設 p 為 p1 p 上任一點,連結pd .pb,由對稱性,得dpa=bpa

13、 , dpc= bpc,點 p 為四邊形的半等角點.評析：此題以頂點相同的四個角滿意特別的數(shù)量.位置關系為契機、 創(chuàng)設了一個全新的 概念 四邊形半等角點.第（ 1）小題為新定義的直接應用.第（ 2）小題,語言簡潔.精練, 看似平淡,實就蘊涵豐富的思維內涵、 突出考查了同學敏捷運用基礎學問解決問題的才能. 通過分析,發(fā)覺所求作的點在對角線ac上,且 dpa= bpa,但要畫出點p 仍不簡潔； 連續(xù)分析,發(fā)覺dpb 關于直線ac 對稱,點b 關于 ac 的對稱點b在 dp 上,至此,才 峰回路轉,柳暗花明. 第（ 3）小題要證明線段p1 p2 上任一點也為它的半等角點,需先證a .p1 .p2.b

14、 四點在始終線上,再證線段p1 p2 上任一點滿意條件dpa=bpa , dpc=bpc ,從而使問題獲證,此小題對思維的嚴密性提出了較高的要求.四.以特別對角線為契機進行“新定義”例 4 2006 年北京市中考數(shù)學試題我們給出如下定義：如一個四邊形的兩條對角線相等,就稱這個四邊形為等對角線四邊形請解答以下問題：（ 1）寫出你所學過的特別四邊形中為等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；（ 2）探究：當?shù)葘蔷€四邊形中兩條對角線所夾銳角為600 時,這對600 角所對的兩邊3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載之和與其中一條對角線的大小關系,并證明你的結論解：（ 1）矩形.等腰梯形.（ 2）

15、結論：等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為600 時、這對 600 角所對的兩邊之和大于或等于一條對角線的長精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載已知：四邊形abcd 中,對角線ac , bd 交于點 o , acbd ,且aod60o 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載求證： bcad ac dada精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載證明：過點d 作 df ac ,在 df 上截精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載取 de ,使 deac 連結ce , be oooebe精品學習資料精選學習資料 - -

16、- 歡迎下載edoaod60 ,四邊形 aced 為平行bccf f精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載四邊形, cead ；又 acbd , de= ac =bd , edo=60 0、 bde 為等邊三圖 110圖 11精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載角 形 , bedeac 當 bc 與 ce 在 同 一 條 直 線 上 時 （ 如 圖10 ）, 就bccebe , bcadac 當 bc 與 ce 不在同一條直線上時（如圖11）,在 bce 中,有 bccebe , bcadac 綜合.,得bcad ac 即等對角線四邊形中兩條對角線所夾角為600 時,這對60

17、0 角所對的兩邊之和大于或等于其中一條對角線的長評析： 此題以對角線之間滿意相等關系為契機,創(chuàng)設了一個全新的概念 等對角線四邊形 .第（ 1）小題考查同學運用新學問的才能及把握課標規(guī)定的雙基學問的情形.第（ 2）小題,語言精練 、 構思精致, 涉及的學問點不多,但思維含量及高.著重考查同學觀看力.分析 才能.規(guī)律推理才能.好多考生面對此題,如同“昨夜西風凋碧樹,獨上高樓,望盡天際路”. 解決此題, 可就其特別情形入手,即當此等對角線四邊形為梯形時先爭論,不難想到等對角線梯形問題常添幫助線為平移對角線至過角的頂點,從而使特別情形時問題獲證；對于一般情形,就可類比特別情形的方法,使問題得到解決.五

18、.以特別位置關系為契機進行“新定義”例 5 （ 2005年資陽市中考數(shù)學試題）閱讀以下短文,然后解決以下問題：假如一個三角形和一個矩形滿意條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合,且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上,就稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形 ” 如. 圖 12 所示,矩形 abef 即為 abc 的“友好矩形 ”.明顯,當 abc 為鈍角三角形時,其“友好矩形 ”只有一個.(1) 仿照以上表達,說明什么為一個三角形的“友好平行四邊形”；(2) 如圖 13,如 abc 為直角三角形,且c=90 °,在圖 13 中畫出 abc 的全部“友好矩形”,并比較這些矩形面積的大小；精

19、品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載圖 12圖 13圖 14精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(3) 如 abc 為銳角三角形, 且 bc>ac>ab,在圖 14 中畫出 abc 的全部“友好矩形” , 指出其中周長最小的矩形并加以證明.解：1 假如一個三角形和一個平行四邊形滿意條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合, 三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上,就稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.(2) 此時共有2 個友好矩形,如圖的矩形bcad .abef .易知,矩形bcad .abef 的面積都等于abc 面積的 2 倍, abc 的“友好矩形”的面積相等 .(3) 此時共有3 個友好矩形,如圖的矩形bcde . cafg 及 abhk ,其中的矩形abhk的周長最小.證明：易知,這三個矩形的面積相等,令其為s. 設矩形 bcde .cafg 及 abhk 的周長分別為l1,l2,l3 , abc 的邊長 bc=a