1、1 / 16 第 1 講 直線的傾斜角與斜率、直線方程 最新考綱 考向預測 1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素. 2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式. 3.根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾何形式(點斜式、兩點式及一般式) 命題趨勢 直線是解析幾何中最基本的內容，對直線的考查一是在選擇題、填空題中考查直線的傾斜角、斜率、直線的方程等基本知識；二是在解答題中與圓、橢圓、雙曲線、拋物線等知識進行綜合考查. 核心素養 直觀想象 1直線的傾斜角 (1)定義： (2)范圍：直線的傾斜角 的取值范

2、圍是0，) 2直線的斜率 條件 公式 直線的傾斜角 ，且 90 ktan_ 2 / 16 直線過點 a(x1，y1)，b(x2，y2)且 x1x2 ky2y1x2x1 直線 axbyc0(b0) kab 3.直線方程的五種形式 名稱 方程形式 適用條件 點斜式 yy0k(xx0) 不能表示斜率不存在的直線 斜截式 ykxb 兩點式 yy1y2y1xx1x2x1 不能表示平行于坐標軸的直線 截距式 xayb1 不能表示平行于坐標軸的直線和過原點的直線 一般式 axbyc0(a，b不同時為零) 可以表示所有類型的直線 特別提醒 1直線的傾斜角和斜率的關系 (1)直線都有傾斜角，但不一定都有斜率 (

3、2)不是傾斜角越大，斜率 k 就越大，因為 ktan ，當 0，2時，越大，斜率 k 就越大，同樣 2，時也是如此，但當 0，)且 2時就不是了 2幾種特殊位置的直線方程 (1)x 軸：y0. (2)y 軸：x0. (3)平行于 x軸的直線：yb(b0) (4)平行于 y軸的直線：xa(a0) (5)過原點且斜率存在的直線：ykx. 常見誤區 1求直線方程時要注意判斷直線的斜率是否存在，每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率 3 / 16 2斜率公式 ky2y1x2x1(x1x2)與兩點的順序無關，且兩點的橫坐標不相等 3“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而

4、“距離”是一個非負數 1判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)直線的傾斜角越大，其斜率就越大( ) (2)直線的斜率為 tan ，則其傾斜角為 .( ) (3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等( ) (4)經過點 p(x0，y0)的直線都可以用方程 yy0k(xx0)表示( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 2直線 l：xsin 30ycos 150a0 的斜率為( ) a.33 b. 3 c 3 d33 解析：選 a.cos 15032，sin 3012，所以 k123233. 3(多選)下列說法正確的是( ) a截距相等的直線都可以用方程xaya1表示 b方程 xmy20

5、(mr)能表示平行于 y 軸的直線 c經過點 p(1，1)，傾斜角為 的直線方程為 y1tan (x1) d經過兩點 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直線方程為(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)0 解析：選 bd.對于 a，若直線過原點，橫縱截距都為 0，則不能用方程xaya1 表示，所以 a不正確；對于 b，當 m0時，平行于 y軸的直線方程為 x2，所以 b 正確；對于 c，若直線的傾斜角為 90，則該直線的斜率不存在，不能用 y1tan (x1)表示，所以 c 不正確；對于 d，設點 p(x，y)是經過4 / 16 兩點 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直線上的

6、任意一點，則根據p1p2p1p可得(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)0，所以 d正確，故選 bd. 4若過點 m(2，m)，n(m，4)的直線的斜率等于 1，則 m_， 解析：由 k4mm21，得 4mm2，即 m1. 答案：1 5過點(1，2)且傾斜角為 150的直線方程為_ 解析：因為 ktan 15033，所以直線方程為 y233(x1)，即3x3y6 30. 答案： 3x3y6 30 直線的傾斜角與斜率 (1)直線 xsin y20的傾斜角的取值范圍是( ) a.)0， b.0，434， c.0，4 d.0，42， (2)直線 l 過點 p(1，0)，且與以 a(2，1)，b

7、(0， 3)為端點的線段有公共點，則直線 l 斜率的取值范圍為_ 【解析】 (1)設直線的傾斜角為 ，則有 tan sin .因為 sin 1，1，所以1tan 1，又 0，)，所以 04或34，故選 b. (2)如圖，因為 kap10211， kbp3001 3 ， 所 以 直 線l的 斜 率k(， 3 )1，. 5 / 16 【答案】 (1)b (2)(， 3 )1， 【引申探究】 1(變條件)將本例(1)變為：直線 2xcos y306，3的傾斜角的取值范圍為_ 解析：直線 2xcos y30的斜率 k2cos .由于 6，3，所以12cos 32，因此 k2cos 1， 3設直線的傾斜

8、角為 ，則有 tan 1， 3由于 0，)，所以 4，3，即傾斜角的取值范圍是4，3. 答案：4，3 2(變條件)若將本例(2)中 p(1，0)改為 p(1，0)，其他條件不變，求直線l 斜率的取值范圍 解：因為 p(1，0)，a(2，1)，b(0，3)，所以 kap102（1）13，kbp300（1） 3. 由圖可知，直線 l 斜率的取值范圍為13， 3 . (1)求傾斜角的取值范圍的一般步驟 求出斜率 ktan 的取值范圍； 利用三角函數的單調性，借助圖象，確定傾斜角 的取值范圍 求傾斜角時要注意斜率是否存在 (2)斜率的求法 定義法：若已知直線的傾斜角或的某種三角函數值，一般根據 kta

9、n 求斜率； 公式法：若已知直線上兩點 a(x1，y1)，b(x2，y2)，一般根據斜率公式 ky2y1x2x1(x1x2)求斜率 6 / 16 1(2021 普通高等學校招生全國統一考試模擬)若正方形一條對角線所在直線的斜率為 2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為_，_ 答案：13 3 2若直線 l 的斜率為 k，傾斜角為 ，且 6，423， ，則 k的取值范圍是_ 解析：當 6，4時，ktan 33，1 ； 當 23， 時，ktan 3，0) 綜上得 k 3，0)33，1 . 答案： 3，0)33，1 直線的方程 (1)(多選)若直線 l 過點 a(1，2)，且在兩坐標軸上截距的絕

10、對值相等，則直線 l 的方程可能為( ) axy10 bxy30 c2xy0 dxy10 (2)若直線過點 a(1，3)，且斜率是直線 y4x 的斜率的13，則該直線的方程為_ 【解析】 (1)當直線經過原點時，斜率為 k20102，所求的直線方程為y2x，即 2xy0；當直線不過原點時，設所求的直線方程為 x yk，把點a(1，2)代入可得 12k 或 12k，求得 k1或 k3，故所求的直線方程為 xy10 或 xy30.綜上，所求的直線方程為 2xy0，xy10或 xy30. 故選 abc. 7 / 16 (2)設所求直線的斜率為 k，依題意 k41343.又直線經過點 a(1，3)，因

11、此所求直線的方程為 y343(x1)，即 4x3y130. 【答案】 (1)abc (2)4x3y130 求解直線方程的 2種方法 直接法 根據已知條件，選擇適當的直線方程形式，直接寫出直線方程 待定系數法 設所求直線方程的某種形式； 由條件建立所求參數的方程(組)； 解這個方程(組)求出參數； 把參數的值代入所設直線方程 1已知abc 的三個頂點坐標為 a(1，2)，b(3，6)，c(5，2)，m 為 ab 的中點，n 為 ac的中點，則中位線 mn所在直線的方程為( ) a2xy120 b2xy120 c2xy80 d2xy80 解析：選 c.由題知 m(2，4)，n(3，2)，中位線 m

12、n 所在直線的方程為y424x232，整理得 2xy80. 2經過點(2，1)，且傾斜角比直線 yx1 的傾斜角小4的直線方程是( ) ax2 by1 cx1 dy2 解析：選 a.因為直線 yx1 的斜率為1，則傾斜角為34.由已知，所求直線的傾斜角為3442，斜率不存在，所以過點(2，1)的直線方程為 x2. 8 / 16 直線方程的綜合應用 (一題多解)已知直線 l 過點 m(2，1)，且分別與 x 軸的正半軸、y 軸的正半軸交于 a，b兩點，o為原點，當aob面積最小時，求直線 l 的方程 【解】 方法一：設直線 l 的方程為 y1k(x2)(k0，b0，因為直線 l 過點 m(2，1

13、)，所以2a1b1，則 12a1b22ab，故 ab8，故 saob的最小值為12ab1284，當且僅當2a1b12時取等號，此時 a4，b2，故直線 l 為x4y21，即 x2y40. 【引申探究】 (變問法)本例條件不變，當|ma| |mb|取得最小值時，求直線 l 的方程 解：方法一：由本例 3的解析知 a2k1k，0 ，b(0，12k)(k0，b0，2a1b1. 所以|ma| |mb|ma| |mb| ma mb(a2，1) (2，b1) 2(a2)b12ab5 9 / 16 (2ab)2a1b52baab4，當且僅當 ab3 時取等號，此時直線l 的方程為 xy30. 與直線方程有關

14、問題的常見類型及解題策略 (1)求解與直線方程有關的最值問題先設出直線方程，建立目標函數，再利用基本不等式求解最值 (2)求直線方程弄清確定直線的兩個條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程 (3)求參數值或范圍注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結合函數的單調性或基本不等式求解 1當 k0時，兩直線 kxy0，2xky20與 x 軸圍成的三角形面積的最大值為_ 解析：直線 2xky20 與 x 軸交于點(1，0)由kxy0，2xky20，解得 y2kk22，所以兩直線 kxy0，2xky20 與 x 軸圍成的三角形的面積為1212kk221k2k，又 k2k2k2k2 2，當且僅當

15、 k 2時取等號，故三角形面積的最大值為24. 答案：24 2已知直線 x2y2分別與 x 軸、y 軸相交于 a，b兩點，若動點 p(a，b)在線段 ab上，則 ab 的最大值為_ 解析：由題得 a(2，0)，b(0，1)，由動點 p(a，b)在線段 ab 上，可知0b1，且 a2b2，從而 a22b，故 ab(22b)b2b22b2b12212.由于 0b1，故當 b12時，ab 取得最大值12. 答案：12 10 / 16 a級 基礎練 1傾斜角為 120，在 x 軸上的截距為1的直線方程是( ) a. 3xy10 b. 3xy 30 c. 3xy 30 d. 3xy 30 解析：選 d.

16、由于傾斜角為 120，故斜率 k 3.又直線過點(1，0)，所以方程為 y 3(x1)，即 3xy 30. 2(多選)下列說法正確的是( ) a直線 xy20 與兩坐標軸圍成的三角形的面積是 2 b點(0，2)關于直線 yx1的對稱點為(1，1) c過兩點(x1，y1)，(x2，y2)的直線方程為yy1y2y1xx1x2x1 d經過點(1，1)且在 x 軸和 y 軸上的截距都相等的直線方程為 xy20 解析：選 ab.a 中，直線 xy20 在 x 軸、y 軸上的截距分別為 2，2，則直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是 2，所以 a 正確b 中，點012，212在直線 yx1 上，且點(0，2

17、)，(1，1)連線的斜率為1，所以 b正確c 中，直線方程成立需要條件 y2y1，x2x1，所以 c 錯誤d 中，還有一條截距都為 0的直線 yx，所以 d錯誤故選 ab. 3在等腰三角形 mon 中，momn，點 o(0，0)，m(1，3)，點 n 在 x軸的負半軸上，則直線 mn的方程為( ) a3xy60 b3xy60 c3xy60 d3xy60 解析：選 c.因為 momn，所以直線 mn的斜率與直線 mo的斜率互為相反數，所以 kmnkmo3，所以直線 mn的方程為 y33(x1)，即 3xy60，選 c. 4(多選)過點 a(1，2)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程可

18、能為( ) axy10 bxy30 11 / 16 c2xy0 dxy10 解析：選 ac.當直線過原點時，可得斜率為20102，故直線方程為 y2x，即 2xy0.當直線不過原點時，設直線方程為xaya1，代入點(1，2)，可得1a2a1，解得 a1，所以直線方程為 xy10，故所求直線方程為2xy0 或 xy10.故選 ac. 5(2020 四川雅安中學月考)已知直線 l1：yk1xb1與 l2：yk2xb2如圖所示，則有( ) a.k1k2，b1b2 b.k1b2 c.k1k2，b1b2 d.k1k2，b1b2 解析：選 a.由圖可知直線 l1的傾斜角小于直線 l2的傾斜角，并且它們都大

19、于2，由 ytan x 在 x2， 上單調遞增，得 k1k2，又直線 l2與 y 軸的交點在直線 l1與 y 軸的交點的上方，故 b10，a20或（a1）0，a20.所以 a1.綜上可知實數 a的取值范圍是(，1 14為了綠化城市，擬在矩形區域 abcd 內建一個矩形草坪(如圖)，另外efa內部有一文物保護區不能占用，經測量 ab100 m，bc80 m，ae30 m，af20 m，應如何設計才能使草坪面積最大？ 解：如圖所示，建立平面直角坐標系，則 e(30，0)，f(0，20)， 所以直線 ef的方程為x30y201(0 x30) 易知當矩形草坪的一個頂點在 ef上時，可取最大值， 在線段 ef 上取點 p(m，n)，作 pqbc 于點 q，prcd 于點 r，設矩形pqcr的面積為 s， 則 s|pq| |pr|(100m)(80n) 又m30n201(0m30)， 15 / 16 所以 n2023m. 所