1、 1、反三角函數：概念：把正弦函數，時的反函數，成為反正弦函數，記作. ，不存在反函數.含義：表示一個角；角；.反余弦、反正切函數同理，性質如下表.名稱函數式定義域值域奇偶性單調性反正弦函數增奇函數增函數反余弦函數減非奇非偶減函數反正切函數R 增奇函數增函數反余切函數R 減非奇非偶減函數 其中： （1） 符號arcsinx可以理解為，上的一個角(弧度)，也可以理解為區間，上的一個實數；同樣符號arccosx可以理解為0，上的一個角(弧度)，也可以理解為區間0，上的一個實數； （2） yarcsinx等價于sinyx, y，, yarccosx等價于cosyx, x0, , 這兩個等價關系是解反

2、三角函數問題的主要依據； （3）恒等式sin(arcsinx)x, x1, 1 , cos(arccosx)x, x1, 1, arcsin(sinx)x, x，, arccos(cosx)x, x0, 的運用的條件； （4） 恒等式arcsinxarccosx, arctanxarccotx的應用。2、最簡單的三角方程方程方程的解集其中：（1）含有未知數的三角函數的方程叫做三角方程。解三角方程就是確定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）解最簡單的三角方程是解簡單的三角方程的基礎，要在理解三角方程的基礎上，熟練地寫出最簡單的三角方程的解； （3）要熟悉同名三角函數相等時角度

3、之間的關系在解三角方程中的作用； 如：若，則；若，則； 若，則；若，則； （4）會用數形結合的思想和函數思想進行含有參數的三角方程的解的情況和討論。【例題精講】 例1. 分析與解： 例4. 分析與解： 例5. 分析與解： 例6.使成立的x的取值范圍是( ) 分析與解： 該題研究不等關系，故需利用函數的單調性進行轉化，又因為求x的取值范圍，故需把x從反三角函數式中分離出來，為此只需對arcsinx，arccosx同時取某一三角函數即可，不妨選用正弦函數。 例7. 分析與解：這是三角函數的反三角運算，其方法是把角化到相應的反三角函數的值域內。 例8. 求值：(1) (2) 分析：問題的關鍵是能認清

4、三角式的含義及運算次序，利用換元思想轉化為三角求值。 解： 例9.知函數（1）求函數的定義域、值域和單調區間；（2）解不等式： 解：（1）由得 又的定義域為，值域為又時，單調遞減，單調遞減，從而遞增的單調遞增區間是，同理的單調遞減區間是（2）即 解不等式組得 不等式的解集為簡單的三角方程例1.寫出下列三角方程的解集(1); (2); (3)解集x|x=(k+arctg3)2，kZ例2.求方程在上的解集.說明  如何求在指定區間上的解集？(1)先求出通解，(2)讓k取適當的整數，一一求出在指定區間上的特解，(3)寫指定區間上的解例3.解方程解：方程化為說明  可化為關于某一三

5、角函數的二次方程，然后按二次方程解例4. 解方程除以cos2x化為2tg2x-3tgx-2=0 說明  關于sinx，cosx的齊次方程的解法：方程兩邊都除cosnx(n=1，2，3，)(cosx=0不是方程的解)，轉化為關于tgx的方程來解例5.解方程：(1) (2)思考：引入輔助角，化為最簡單的三角方程2x-30°=k180°+(-1)k30°x=k90°+(-1)k15°+15°(kZ)所以解集是x|x=k90°+(-1)k15°+15°，kZ于是x=k60°

6、+(-1)k10°+22°38，(kZ)原方程的解集為x|x=k60°(-1)k10°+22°38，kZ最簡單的三角方程例6.解方程解 原方程可化為 ，即 解這個關于的二次方程，得，由，得解集為；由，得解集為所以原方程的解集為說明方程中的可化為，這樣原方程便可看成以為未知數的一元二次方程，當時，可用因式分解將原方程轉化成兩個最簡方程，從而求得它們的解【拓展提高】例1.若方程存在實數解，求的取值范圍解一 由原方程，得 ，即 解這個以為未知數的一元二次方程，因為要使方程有解，只需解得所以的取值范圍為說明 有關三角方程的實數解問題，不僅要考慮以為未知

7、數的一元二次方程的，而且必須考慮的值在內解二 由原方程得 ， 得因為，所以所以的取值范圍為說明 當方程有解時，必須滿足，則原題就轉化為求的最大值、最小值問題例2.求方程的解集解一由原方程得，得，由，得解集為；由，得解集為所以原方程的解集為解二由原方程得，即得或，即或，所以原方程的解集為解三由原方程得，即得或，即或，所以原方程的解集為說明 由于轉化方法的不同，所得解集的表達形式不同，通過驗證這些解集是相等的集合對于兩個相等的同名三角函數所組成的三角方程，可直接利用以下關系得到方程的解（1），則或；（2），則或；（3），則【鞏固練習】反三角函數1.的值是 ( )A. B. C. D.2.下列關系式

8、中正確的是 ( )A. B. C. D.3.函數的定義域是 ( )A. B. C. D.4.在上和函數相同的函數是 ( )A. B. C. D.5.函數的反函數是 .6.求在上的反函數.7.比較與的大小. 8.研究函數的定義域、值域及單調性.9.計算:10.求下列函數的定義域和值域： (1) yarccos; (2) yarcsin(x2x); (3) yarccot(2x1), 解：(1) yarccos, 0<1, x1, y0, ). (2) yarcsin(x2x), 1x2x1, x, 由于x21(x)2, 1x2x, yarcsin. (3) yarccot(2x1), 由于

9、2x1>1, 0< arccot(2x1)<, xR, y(0, ).11.求函數y(arccosx)23arccosx的最值及相應的x的值。 解：函數y(arccosx)23arccosx, x1, 1, arccosx0, 設arccosxt, 0t, yt23t(t)2, 當t時,即xcos時, 函數取得最小值， 當t時,即x1時，函數取得最大值23.簡單的三角方程1.解下列方程.(1) (2)(2)5x=2k+3x或5x=2k+-3x或2.方程sin2xsinx在區間(0, 2)內的解的個數是 3個 . 解：作出函數ysin2x和ysinx的圖象，由圖象知，它們的交點有3個。3.