1、 第一節第一節 探索勾股定理探索勾股定理你知道畢達哥拉斯想你知道畢達哥拉斯想到了什么嗎？到了什么嗎？相傳兩千多年前，古希臘著名的哲學家、數學家畢達哥拉斯相傳兩千多年前，古希臘著名的哲學家、數學家畢達哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，只有畢去朋友家做客。在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，只有畢達哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發起呆來。原來，朋友家的地達哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發起呆來。原來，朋友家的地是用一塊塊直角三角形形狀的磚鋪成的，黑白相間，非常美觀是用一塊塊直角三角形形狀的磚鋪成的，黑白相間，非常美觀大方。主人看到畢達哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過去問他，大方。主人看到畢達

2、哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過去問他，誰知，畢達哥拉斯突然恍然大悟的樣子，站起來，大笑著跑回誰知，畢達哥拉斯突然恍然大悟的樣子，站起來，大笑著跑回家去了。原來，他發現了地磚上的三個正方形存在某種數學關家去了。原來，他發現了地磚上的三個正方形存在某種數學關系。系。（黑白相間的地磚）第1頁/共44頁探究活動探究活動1 1問題問題1 1：你能發現下圖中三個正方形面積之間：你能發現下圖中三個正方形面積之間有怎樣的關系？有怎樣的關系？第2頁/共44頁問題問題2 2：下圖中的各組圖形面積之間都有上述的結果嗎？：下圖中的各組圖形面積之間都有上述的結果嗎？問題問題3 3：你能用等腰直角三角形的邊長表示正方形的面

3、積：你能用等腰直角三角形的邊長表示正方形的面積嗎？由此猜想等腰直角三角形三邊有怎樣的關系嗎？由此猜想等腰直角三角形三邊有怎樣的關系？第3頁/共44頁ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1-1圖1-2（1）觀察圖1-1 正方形A中含有 個小方格，即A的面積是 個單位面積。 正方形B的面積是 個單位面積。正方形C的面積是 個單位面積。99918數格子：數格子： 第4頁/共44頁ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1-1圖1-2cS正方形143 3182 分割成若干個直角邊為整數的三角形（單位面積）第5頁/共44頁ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1-1圖1-2

4、cS正方形216218（單位面積）把C看成邊長為6的正方形面積的一半第6頁/共44頁探究活動探究活動2 2做一做： （1）請分別計算出圖中正方形A、B、C的面積，看看能得出什么結論？（A的面積B的面積C的面積） （A的面積B的面積C的面積）第7頁/共44頁“割”“補”“拼”方法一：方法二：方法三：分割為四個直角三角形和一個小正方形補成大正方形，用大正方形的面積減去四個直角三角形的面積將幾個小塊拼成一個正方形，如圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個小正方形正方形C的面積該怎么求？第8頁/共44頁問題問題2 2：如果用：如果用a,b,ca,b,c分別表示三個正方形分別表示三個正方形的邊長，三者之間的面

5、積關系如何表示？的邊長，三者之間的面積關系如何表示？由三個正方形所搭成的直角三角形三邊存由三個正方形所搭成的直角三角形三邊存在怎樣的關系？在怎樣的關系？直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方第9頁/共44頁如果直角三角形兩直角邊長分別如果直角三角形兩直角邊長分別為為a，b，斜邊長為，斜邊長為 c ，那么，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方斜邊的平方. . 222cba 勾股定理勾股定理 （gou-gu theoremgou-gu theorem）弦股勾第10頁/共44頁探究活動探究活動3 3議一議：觀察并計算

6、，判斷銳角三角形，鈍角三角形三邊的長度是否滿足a2 +b2=c2第11頁/共44頁簡單應用簡單應用 例例 如圖所示，一棵大樹在一次強烈臺風中于離地面9米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處. 大樹在折斷之前高多少米？解：設大樹在折斷之前高為xm,由勾股定理得： (x-9)2=92+122 解得：x=24 答：大樹在折斷之前高為24米。第12頁/共44頁鞏固練習：鞏固練習：（口答）求下列圖形中未知正方形的面積或未知邊的長度： ?225100 x1517已知直角三角形兩邊，求第三邊.第13頁/共44頁生活中的應用：生活中的應用：小明媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機. 小明量了電視機的屏幕后，

7、發現屏幕只有58厘米長和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了. 你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？ 我們通常所說的29英寸或74厘米的電視機，是指其熒屏對角線的長度27454762258465480售貨員沒搞錯熒屏對角線大約為74厘米第14頁/共44頁拓展練習拓展練習 1.如圖，一個25m長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時的AO距離為24m，如果梯子的頂端A沿墻下滑4m，那么梯子底端B也外移4m嗎？ 解：由勾股定理得： OB2=AB2-AO2=252-242 解得：OB=7 OD2=CD2-CO2=252-(24-4)2 解得：OD2=225 所以OD=15 OD-OB=8m4m

8、 答：梯子低端B外移大于4m。生活中勾股定理的應用ABOCD第15頁/共44頁拓展練習拓展練習 生活中勾股定理的應用210 2. 2.有一個水池，水面是一個邊長為有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方尺的正方形，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水形，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少？這根蘆葦的長度各是多少？ 解：設水深為解：設水深為X尺，則尺，則 蘆葦長為（蘆葦長為（X1）尺，）尺， 由勾股定理得

9、：由勾股定理得： （X1）2X2（ ）2 解得解得X12 X113答：水池的深度為答：水池的深度為12尺，蘆葦長為尺，蘆葦長為13尺。尺。210第16頁/共44頁勾股定理的歷史勾股定理的歷史 勾股定理是初等幾何中的一個基本定理這個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。第17頁/共44頁希臘對勾股定理的研究 最早研究的是希臘著名數學家畢達哥拉斯（前580至568- 前501至500），故西方國家均 稱此定理為畢達哥拉斯定理，據說畢達哥拉斯十分喜愛這個定理，當他在公元前550前年左右發現這個定理時，宰殺了百頭牛羊以謝神的默示但畢達哥拉斯對勾股

10、定理的證明方法已經失傳 畢達哥拉斯 第18頁/共44頁中國對勾股定理的研究 在我國，這個定理的敘述最早見于周髀算經 （大約成書于公元前一世紀前的西漢時期），書中有一段商高（約前1120）答周公問中有“勾廣三 ，股修四，經隅五”的話，意即直角三角形的兩條直角邊是3及4、則斜邊是5 周髀算經第19頁/共44頁 請你利用自己準備的四個全等的直角三角形拼出以斜邊為邊長的正請你利用自己準備的四個全等的直角三角形拼出以斜邊為邊長的正方形方形. 有不同的拼法有不同的拼法嗎嗎？ 第20頁/共44頁aaaabbbbcccc22)(421baabc a+b =c 驗證驗證方法一方法一圖 1你還能用圖2進行驗證嗎？

11、 方法小結：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數的問題結合起來，再進行整式運算，從理論上驗證了勾股定理. 第21頁/共44頁據傳是當年畢達哥拉斯發現勾股定理時做出的證明。據傳是當年畢達哥拉斯發現勾股定理時做出的證明。 將將4個全等的直角三角形拼成邊長個全等的直角三角形拼成邊長為為(ab)的正方形的正方形ABCD，使中間留下，使中間留下邊長邊長c的一個正方形洞畫出正方形的一個正方形洞畫出正方形ABCD移動三角形至圖移動三角形至圖2所示的位置中，所示的位置中，于是留下了邊長分別為于是留下了邊長分別為a與與b的兩個正方的兩個正方形洞則圖形洞則圖1和圖和圖2中的白色部分面積必中的白色部分面積必定相等，所

12、以定相等，所以c2=a2+b2圖1圖2第22頁/共44頁 驗證驗證方法二方法二cab a22)(421cabab a+b =c 你還有其他的方法嗎？下來你還有其他的方法嗎？下來繼續研究喔！繼續研究喔！圖 3第23頁/共44頁驗證方法三美國美國第二十任第二十任總統伽菲爾德的證法：總統伽菲爾德的證法：bcabcaABCD如圖，梯形由三個直角三角形組合而如圖，梯形由三個直角三角形組合而成，利用面積公式，列出代數關系式成，利用面積公式，列出代數關系式, ,得得化簡化簡, ,得得2111()()2.222ab baabc 222.abc第24頁/共44頁其他驗證法：勾股定理的無字證明其他驗證法：勾股定理

13、的無字證明以劉徽的以劉徽的“青朱出入圖青朱出入圖”為代表，證明不需用任何數學為代表，證明不需用任何數學符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被便清晰地呈現，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為稱為“無字證明無字證明”。 約公元約公元 263 年，三國時代魏國的數學家年，三國時代魏國的數學家劉徽為古籍劉徽為古籍九章算術九章算術作注釋時，用作注釋時，用“出入相補法出入相補法”證明了勾股定理。證明了勾股定理。 第25頁/共44頁 做法是將一條垂直線和一條水做法是將一條垂直線和一條水平線，將較大直

14、角邊的正方形分成平線，將較大直角邊的正方形分成 4 4 分。之后依照圖中的顏色分。之后依照圖中的顏色, ,將兩將兩個直角邊的正方形填入斜邊正方形個直角邊的正方形填入斜邊正方形之中，便可完成定理的證明。之中，便可完成定理的證明。其他驗證法：勾股定理的拼圖證明其他驗證法：勾股定理的拼圖證明在印度、在阿拉伯世界和歐洲出現的一種拼圖證明在印度、在阿拉伯世界和歐洲出現的一種拼圖證明第26頁/共44頁第27頁/共44頁同學你知道古埃及人用什么方法得到直角?古埃及人曾用下面的方法得到直角:用13個等距的結,把一根繩子分成等長的12段,一個工匠同時握住繩子的第1個結和第13個結,兩個助手分別握住第4個結和第8

15、個結,拉緊繩子就得到一個直角三角形, 其直角在第4個結處.想一想：這個方法得到的是直角三角形嗎？是不是只有勾三股四弦五才能得到直角三角形呢？第28頁/共44頁做一做做一做下面的三組數分別是一個三角形的三邊a、b、c。 5、12、13 7、24、25 8、15、17這三組數都滿足 嗎？222cba第29頁/共44頁1.如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2， DF=1， 圖中有幾個直角三角形，你是如何判斷的？4 41 12 22 24 43 3易知易知: :ABEABE，DEFDEF，FCBFCB均為均為RtRt 由勾股定理知由勾股定理知 BEBE2 2=2=22 2+4+42 2=20=

16、20，EFEF2 2=2=22 2+1+12 2=5=5， BFBF2 2=3=32 2+4+42 2=25=25 BE BE2 2+EF+EF2 2=BF=BF2 2 BEF是是Rt 第30頁/共44頁如圖所示的一塊地，已知AD=4m，CD=3m， ADDC，AB=13m，BC=12m，求這塊地的面積.A DCB解：連接AC ADDC AC=AD2+DC2=42+32=5 AC2+BC2=AB2 ACBC答：這塊地的面積是24m2.224)43125(212121mDCADACBCSSSADCABC第31頁/共44頁如圖，E、F分別是正方形ABCD中BC和CD邊上的點，且AB=4，CE= B

17、C，F為CD的中點，連接AF、AE，問AEF是什么三角形？請說明理由. 41FEACBD第32頁/共44頁如圖，已知等腰ABC的底邊BC=20cm，D是腰AB上一點，且CD=16cm，BD=12cm，求ABC的周長.DB CA第33頁/共44頁第34頁/共44頁BA 螞蟻怎么走最近螞蟻怎么走最近? 在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A 處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？第35頁/共44頁ABABAArOh怎樣計算AB？在在RtRtAAAAB B中，利用勾股定理可得，中，利用勾股定理可得，222BAAAAB側面展開圖側面展

18、開圖其中AA是圓柱體的高,AB是底面圓周長的一半(r)第36頁/共44頁小試牛刀小試牛刀練習練習1練習練習2 1如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離。3220BA第37頁/共44頁小試牛刀小試牛刀練習練習1練習練習2 2有一個高為1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5米，問這根鐵棒有多長？你能畫出示意你能畫出示意圖嗎圖嗎? ?解:設伸入油桶中的長度為x x 米,則最長時:5 . 225 . 1222xx最短時:最長是2.5+0.5=3(米)5 . 1x答:這根鐵棒的長應在23米之間最短是1.5+0.5=2(米)第38頁/共44頁舉一反三舉一反三練習練習1練習練習2