1、專題14 角平分線問題1.角的平分線定義：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為oc是aob的平分線，所以1=2=aob，或aob=21=22.類似地，還有角的三等分線等.2.作角平分線角平分線的作法（尺規作圖）以點o為圓心，任意長為半徑畫弧，交oa、ob于c、d兩點；分別以c、d為圓心，大于cd長為半徑畫弧，兩弧交于點p；過點p作射線op，射線op即為所求  3.角平分線的性質（1）定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。符號語言：op平分aob，apoa，bpob，ap=bp.（2）逆定理：到角的兩邊距離相等的點在角

2、的平分線上。符號語言： apoa，bpob，ap=bp，點p在aob的平分線上.注意：三角形的角平分線。三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線的數學語言：如下圖，ad是abc的角平分線，或badcad且點d在bc上.說明：ad是abc的角平分線baddacbac (或bac2bad2dac) .（1）三角形的角平分線是線段；（2）一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內部； （3）三角形三條角平分線交于三角形內部一點，這一點叫做三角形的內心；（4）可以用量角器或圓規畫三角形的角平分線.4.角平分線的綜合應用（1）為推導線段相

3、等、角相等提供依據和思路；（2）在解決綜合問題中的應用【例題1】（2020襄陽）如圖，abcd，直線ef分別交ab，cd于點e，f，eg平分bef，若efg64°，則egd的大小是（）a132°b128°c122°d112°【答案】c【分析】根據平行線的性質得到bef180°efg116°，根據角平分線的定義得到beg=12bef58°，由平行線的性質即可得到結論【解析】abcd，efg64°，bef180°efg116°，eg平分bef交cd于點g，beg=12bef58°

4、，abcd，egd180°beg122°【對點練習】（2020長春模擬 ）如圖，在abc中，cd平分acb交ab于點d，過點d作debc交ac于點e若a=54°，b=48°，則cde的大小為（）a44° b40° c39° d38°【答案】c【解析】根據三角形內角和得出acb，利用角平分線得出dcb，再用平行線的性質解答即可a=54°，b=48°，acb=180°54°48°=78°，cd平分acb交ab于點d，dcb=78°=39°，

5、debc，cde=dcb=39°，【點撥】本題考查三角形內角和定理、平行線性質、角平分線定義。【例題2】（2020隨州）如圖，點a，b，c在o上，ad是bac的角平分線，若boc120°，則cad的度數為 【答案】30°【解析】先根據圓周角定理得到bac=12boc60°，然后利用角平分線的定義確定cad的度數bac=12boc=12×120°60°，而ad是bac的角平分線，cad=12bac30°【對點練習】（2019四川自貢）如圖，在rtabc中，acb90°，ab10，bc6，cdab，abc的平

6、分線bd交ac于點e，de 【答案】【解析】由cdab，dabe，dcbe，所以cdbc6，再證明aebced，根據相似比求出de的長acb90°，ab10，bc6，ac8，bd平分abc，abecde，cdab，dabe，dcbe，cdbc6，aebced，ceac×83，be，debe×【點撥】本題考查相似三角形性質、勾股定理、角平分線性質。【例題3】（2020金華）圖1是一個閉合時的夾子，圖2是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為ac，bd（點a與點b重合），點o是夾子轉軸位置，oeac于點e，ofbd于點f，oeof1cm，acbd6cm，cedf，ce：ae2

7、：3按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點o轉動（1）當e，f兩點的距離最大時，以點a，b，c，d為頂點的四邊形的周長是 cm（2）當夾子的開口最大（即點c與點d重合）時，a，b兩點的距離為 cm【答案】（1）16 （2）6013【分析】（1）當e，f兩點的距離最大時，e，o，f共線，此時四邊形abcd是矩形，求出矩形的長和寬即可解決問題（2）如圖3中，連接ef交oc于h想辦法求出ef，利用平行線分線段成比例定理即可解決問題解：（1）當e，f兩點的距離最大時，e，o，f共線，此時四邊形abcd是矩形，oeof1cm，ef2cm，abcd2cm，此時四邊形abcd的周長為2+2+6+616（cm）

8、，故答案為16（2）如圖3中，連接ef交oc于h由題意cecf=25×6=125（cm），oeof1cm，co垂直平分線段ef，oc=ce2+oe2=(125)2+12=135（cm），12oeec=12coeh，eh=1×125135=1213（cm），ef2eh=2413（cm）efab，efab=cecb=25，ab=52×2413=6013（cm）故答案為6013【對點練習】已知：點p是mon內一點，paom于a，pbon于b，且papb求證：點p在mon的平分線上 【答案】見解析。【解析】證明：連結op在rtpao和rtpbo中， pa=pb op=op

9、 rtpaortpbo（hl）12op平分mon即點p在mon的平分線上【點撥】全等三角形性質、角平分線定義。一、選擇題1（2020樂山）如圖，e是直線ca上一點，fea40°，射線eb平分cef，geef則geb（）a10°b20°c30°d40°【答案】b【分析】根據平角的定義得到cef180°fea180°40°140°，由角平分線的定義可得ceb=12cef=12×140°=70°，由geef可得gef90°，可得ceg180°aefgef180&

10、#176;40°90°50°，由gebcebceg可得結果【解析】fea40°，geef，cef180°fea180°40°140°，ceg180°aefgef180°40°90°50°，射線eb平分cef，ceb=12cef=12×140°=70°，gebcebceg70°50°20°2（2020福建）如圖，ad是等腰三角形abc的頂角平分線，bd5，則cd等于（）a10b5c4d3【答案】b【解析】根據

11、等腰三角形三線合一的性質即可求解ad是等腰三角形abc的頂角平分線，bd5，cd53.如圖，在abc中，c=90°，ad平分bac，過點d作deab于點e，測得bc=9，be=3，則bde的周長是( )a.15 b.12 c.9 d.6【答案】b 【解析】在abc中，c=90°，accdad平分bac，deab，de=cdbc=9，be=3，bde的周長為be+bd+de=be+bd+cd=be+bc=3+9=124如圖，面積為24的abcd中，對角線bd平分abc，過點d作debd交bc的延長線于點e，de6，則sindce的值為（）abcd【答案】a【解析】連接ac，過

12、點d作dfbe于點e，bd平分abc，abddbc，abcd中，adbc，adbdbc，adbabd，abbc，四邊形abcd是菱形，acbd，obod，debd，oced，de6，oc，abcd的面積為24，bd8，5，設cfx，則bf5+x，由bd2bf2dc2cf2可得：82（5+x）252x2，解得x，df，sindce故選：a5.已知：如圖，點p在線段ab外，且pa=pb，求證：點p在線段ab的垂直平分線上，在證明該結論時，需添加輔助線，則作法不正確的是（）a作apb的平分線pc交ab于點cb過點p作pcab于點c且ac=bcc取ab中點c，連接pcd過點p作pcab，垂足為c【答案

13、】b【解析】利用判斷三角形全等的方法判斷即可得出結論a利用sas判斷出pcapcb，ca=cb，pca=pcb=90°，點p在線段ab的垂直平分線上，符合題意；c利用sss判斷出pcapcb，ca=cb，pca=pcb=90°，點p在線段ab的垂直平分線上，符合題意；d利用hl判斷出pcapcb，ca=cb，點p在線段ab的垂直平分線上，符合題意，b過線段外一點作已知線段的垂線，不能保證也平分此條線段，不符合題意。6如圖，abc中，ad是bc邊上的高，ae、bf分別是bac、abc的平分線，bac=50°，abc=60°，則ead+acd=（）a75&#

14、176;b80°c85°d90°【答案】a【解析】依據ad是bc邊上的高，abc=60°，即可得到bad=30°，依據bac=50°，ae平分bac，即可得到dae=5°，再根據abc中，c=180°abcbac=70°，可得ead+acd=75°ad是bc邊上的高，abc=60°，bad=30°，bac=50°，ae平分bac，bae=25°，dae=30°25°=5°，abc中，c=180°abcbac=70&#

15、176;，ead+acd=5°+70°=75°7（2019山東濱州）如圖，在正方形abcd中，對角線相交于點o，bn平分cbd，交邊cd于點n，交對角線ac于點m，若om1，則線段dn的長是多少（）a1.5b2cd2【答案】b【解析】作nebd于e，如圖所示：四邊形abcd是正方形，acbd，adcbcd90°，odc45°，obod，bcdc，den是等腰直角三角形，dene，dnne，bn平分cbd，nenc，nencde，設nencdex，則dnx，dcx+x，bddc2x+x，bebddex+x，obbdx+x，nebd，neac，bo

16、mben，即，解得：x，dnx28.（2019陜西）如圖，在abc中，b=30°，c=45°，ad平分bac交bc于點d，deab，垂足為e。若de=1，則bc的長為（ ） a.2+ b. c.2+ d.3 【答案】a 【解析】過點d作dfac于f如圖所示，ad為bac的平分線，且deab于e，dfac于f，de=df=1，在rtbed中，b=30°，bd=2de=2，在rtcdf中，c=45°，cdf為等腰直角三角形，cd=df=，bc=bd+cd=，故選a9（2019內蒙古）如圖，在rtabc中，b90°，以點a為圓心，適當長為半徑畫弧，分

17、別交ab、ac于點d，e，再分別以點d、e為圓心，大于de為半徑畫弧，兩弧交于點f，作射線af交邊bc于點g，若bg1，ac4，則acg的面積是（）a1bc2d【答案】c【解析】利用基本作圖得到ag平分bac，利用角平分線的性質得到g點到ac的距離為1，然后根據三角形面積公式計算acg的面積由作法得ag平分bac，g點到ac的距離等于bg的長，即g點到ac的距離為1，所以acg的面積×4×12二、填空題10（2020揚州）如圖，在abc中，按以下步驟作圖：以點b為圓心，任意長為半徑作弧，分別交ab、bc于點d、e分別以點d、e為圓心，大于12de的同樣長為半徑作弧，兩弧交于

18、點f作射線bf交ac于點g如果ab8，bc12，abg的面積為18，則cbg的面積為 【答案】27【分析】過點g作gmab于點m，gnac于點n，根據作圖過程可得ag是abc的平分線，根據角平分線的性質可得gmgn，再根據abg的面積為18，求出gm的長，進而可得cbg的面積【解析】如圖，過點g作gmab于點m，gnac于點n，根據作圖過程可知：bg是abc的平分線，gmgn，abg的面積為18，12×ab×gm18，4gm18，gm=92，cbg的面積為：12×bc×gn=12×12×92=2711如圖，abc中，c=90°

19、;，abc=60°，bd平分abc，若ad=8cm，則cd= 【答案】4cm【解析】c=90°，abc=60°，a=30°，bd平分cbd，cbd=abd=30°，cd=bd，a=abd，ad=bd=8cm，cd=4cm12.如圖，oc為aob的平分線，cmob，oc=5，om=4，則點c到射線oa的距離為 【答案】3【解析】過c作cfao，根據勾股定理可得cm的長，再根據角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得cf=cm，進而可得答案過c作cfao，oc為aob的平分線，cmob，cm=cf，oc=5，om=4，cm=3，cf=3，13如圖，

20、在abc中，af平分bac，ac的垂直平分線交bc于點e，b=70°，fae=19°，則c= 度【答案】24【解析】根據線段的垂直平分線的性質得到ea=ec，得到eac=c，根據角平分線的定義、三角形內角和定理計算即可de是ac的垂直平分線，ea=ec，eac=c，fac=eac+19°，af平分bac，fab=eac+19°，b+bac+c=180°，70°+2（c+19°）+c=180°，解得，c=24°，14（2019內蒙古通遼）如圖，在矩形abcd中，ad8，對角線ac與bd相交于點o，aebd，

21、垂足為點e，且ae平分bac，則ab的長為 【答案】【解答】四邊形abcd是矩形aocobodo，ae平分baobaeeao，且aeae，aebaeo，abeaoe（asa）aoab，且aoobaoabbodo，bd2ab，ad2+ab2bd2，64+ab24ab2，ab15（2019寧夏）如圖，在rtabc中，c90°，以頂點b為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交ab，bc于點m，n，再分別以點m，n為圓心，大于mn的長為半徑畫弧，兩弧交于點p，作射線bp交ac于點d若a30°，則 【答案】【解析】由作法得bd平分abc，c90°，a30°，abc60&

22、#176;，abdcbd30°，dadb，在rtbcd中，bd2cd，ad2cd，=三、解答題16（2020瀘州）如圖，ac平分bad，abad求證：bcdc【答案】見解析。【解析】由“sas”可證abcadc，可得bcdc證明：ac平分bad，bacdac，又abad，acac，abcadc（sas），bccd17（2020武漢）如圖，在rtabc中，abc90°，以ab為直徑的o交ac于點d，ae與過點d的切線互相垂直，垂足為e（1）求證：ad平分bae；（2）若cdde，求sinbac的值【答案】見解析。【分析】（1）連接od，如圖，根據切線的性質得到odde，則可判

23、斷odae，從而得到1oda，然后利用2oda得到12；（2）連接bd，如圖，利用圓周角定理得到adb90°，再證明23，利用三角函數的定義得到sin1=dead，sin3=dcbc，則adbc，設cdx，bcady，證明cdbcba，利用相似比得到x：yy：（x+y），然后求出x、y的關系可得到sinbac的值【解析】（1）證明：連接od，如圖，de為切線，odde，deae，odae，1oda，oaod，2oda，12，ad平分bae；（2）解：連接bd，如圖，ab為直徑，adb90°，2+abd90°，3+abd90°，23，sin1=dead，s

24、in3=dcbc，而dedc，adbc，設cdx，bcady，dcbbca，32，cdbcba，cd：cbcb：ca，即x：yy：（x+y），整理得x2+xy+y20，解得x=-1+52y或x=-1-52y（舍去），sin3=dcbc=5-12，即sinbac的值為5-1218.已知：oc平分mon，p是oc上任意一點，paom，pbon，垂足分別為點a、點b求證：papb【答案】見解析。【解析】證明：paom，pbonpaopbo90°oc平分mon12在pao和pbo中，paopbopapb19.已知：如圖，在rtabc中，c90°，d是ac上一點，deab于e，且de

25、dc（1）求證：bd平分abc；（2）若a36°，求dbc的度數【答案】見解析。【解析】（1）證明：dcbc，deab，dedc，點d在abc的平分線上，bd平分abc（2）c90°，a36°，abc54°，bd平分abc，dbcabc27°20.已知：如圖，銳角abc的兩條高bd、ce相交于點o，且ob=oc. (1)求證：abc是等腰三角形； (2)判斷點o是否在bac的角平分線上，并說明理由.【答案】見解析。【解析】（1）證明：ob=oc，obc=ocb.bd、ce是兩條高，bdc=ceb=90°.又bc=cb，bdcceb(a

26、as).dcb=ebc.ab=ac，即abc是等腰三角形. (2)點o是在bac的角平分線上.理由：連接ao.bdcceb，dc=eb,ce=bd.ob=oc，od=oe.又bdc=ceb=90°，ao=ao，adoaeo(hl).dao=eao.點o是在bac的角平分線上.21.如圖，12，aeob于e，bdoa于d，ae與bd相交于點c求證：acbc 【答案】見解析。【解析】證明：12，bdoa，aeob，cdce，dcaecb，adcbec90°，acdbce，acbc22.如圖，已知點d為等腰直角abc內一點，cad=cbd=15°，e為ad延長線上的一點

27、，且ce=ca. (1)求證：de平分bdc； (2)若點m在de上，且dc=dm，求證：me=bd.【答案】見解析。【解析】(1)證明：在等腰直角abc中，cad=cbd=15°，bad=abd=45°-15°=30°，bd=ad，bdcadc，dca=dcb=45°.由bde=abd+bad=30°+30°=60°，edc=dac+dca=15°+45°=60°，bde=edc，de平分bdc.(2)證明：連接mc，dc=dm，且mdc=60°，mdc是等邊三角形，即cm

28、=cd.又emc=180°-dmc=180°-60°=120°，adc=180°-mdc=180°-60°=120°，emc=adc.又ce=ca，dac=cem=15°，adcemc，em=ad=db.23. 如圖所示，在abc中，c90°，acbc，da平分cab交bc于d，問能否在ab上確定一點e，使bde的周長等于ab的長？若能，請作出點e，并給出證明；若不能，請說明理由【答案】見解析。【解析】由于點d在cab的平分線上，若過點d作deab于e，則dedc于是有bddebddcbcac，只要知道ac與ae的關系即可得出結論能在ab上確定一點e，使bde的周長等于ab的長。過點d作deab于e，則bde的周長等于ab的長理由如下：ad平分cab，dcac，deab，dcde在rtacd和rtaed中，rtacdrtaed（hl）acae又acbc，aebcbde的周長bddebebddcbebcbeaebeab24.如圖，oc是aob的平分線，p是oc上一點，pdo