1、微分方程 第七章yxfy求已知, )( 積分問題積分問題 yy求及其若干階導數的方程已知含, 微分方程問題微分方程問題 推廣 目錄 上頁 下頁 返回 結束 微分方程的基本概念 第一節微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 幾何問題幾何問題物理問題物理問題 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 引例引例1. 一曲線通過點(1,2) ,在該曲線上任意點處的解解: 設所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C為任意常數)由 得 C = 1,.12 xy因此所求曲線方程為21xy由 得切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 .目錄 上頁 下頁 返回 結

2、束 引例引例2. 列車在平直路上以sm20的速度行駛, 獲得加速度,sm4 . 02a求制動后列車的運動規律.解解: 設列車在制動后 t 秒行駛了s 米 ,已知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式兩次積分, 可得2122 . 0CtCts利用后兩式可得0,2021CC因此所求運動規律為tts202 . 02說明說明: 利用這一規律可求出制動后多少時間列車才能停住 , 以及制動后行駛了多少路程 . 即求 s = s (t) .制動時目錄 上頁 下頁 返回 結束 常微分方程偏微分方程含未知函數及其導數的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函數導數的最高階數叫做微分方程(本

3、章內容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 階顯式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 階常微分方程的形式是的階階.分類或目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,00ts 使方程成為恒等式的函數.通解通解 解中所含獨立的任意常數的個數與方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 確定通解中任意常數的條件.n 階方程的初始條件初始條件( (或初值條件或初值條件) ):的階數相同.特解特解21xy200ddtts引例24 . 022ddtsxxy2dd引例1 Cxy22122 . 0CtCts通解:tts202 . 0212

4、 xy特解:微分方程的解解 不含任意常數的解, 定解條件定解條件 其圖形稱為積分曲線積分曲線. .目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 驗證函數是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的通解,0Axt00ddttx的特解 . 解解: 22ddtxt kkCsin22)sincos(212tkCtkCkxk2這說明tkCtkCxsincos21是方程的解 . 是兩個獨立的任意常數,21,CC),(21為常數CCt kkCcos2102xk利用初始條件易得: ,1AC 故所求特解為tkAxcos,02C故它是方程的通解.并求滿足初始條件 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求所滿足的微分方程 .例例2. 已知曲線上點 P(x, y) 處的法線與 x 軸交點為 QPQxyOx解解: 如圖所示, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 點的橫坐標yyxX,xyyx即02 xyy點 P(x, y) 處的法線方程為且線