1、11.1 參照系參照系 坐標系坐標系 物理模型物理模型1.2 運動的描述運動的描述 1.3 運動學中的兩類問題運動學中的兩類問題1.4 相對運動相對運動第第1章章 運動的描述運動的描述2 運動學是從幾何的觀點來描述物體的運動學是從幾何的觀點來描述物體的運動，即研究物體的空間位置隨時間的變運動，即研究物體的空間位置隨時間的變化關系，不涉及引發物體運動和改變運動化關系，不涉及引發物體運動和改變運動狀態的原因狀態的原因.3一、運動的絕對性和相對性一、運動的絕對性和相對性 運動是絕對的運動是絕對的: 任何物體任何時刻都在不停地運動著任何物體任何時刻都在不停地運動著 運動又是相對的運動又是相對的: 運動

2、的描述是相對其他物體而言的運動的描述是相對其他物體而言的二、參考系二、參考系 為描述物體的運動，被選作參考的物體或物體系為描述物體的運動，被選作參考的物體或物體系稱為參考系稱為參考系 。運動學中參考系可任選運動學中參考系可任選 太陽參考系（太陽太陽參考系（太陽 恒星參考系）恒星參考系）常用的參考系：常用的參考系：1-1 參照系參照系 坐標系坐標系 物理模型物理模型4 地心參考系（地球地心參考系（地球 恒星參考系）恒星參考系） 地面參考系或實驗室參考系地面參考系或實驗室參考系 質心參考系質心參考系日心系日心系ZxY地心系地心系o地面系地面系二、坐標系二、坐標系 為定量地描述物體為定量地描述物體的

3、運動的運動,須在參照系上選用一須在參照系上選用一個坐標系。個坐標系。是參照系的數學抽象是參照系的數學抽象5r xyzPxyz0(x,y,z)四、物理模型四、物理模型 對真實的物理過程和對象，根據所討論的問題的對真實的物理過程和對象，根據所討論的問題的基本要求對其進行理想化的簡化，抽象為可以用數學基本要求對其進行理想化的簡化，抽象為可以用數學方法描述的理想模型。方法描述的理想模型。如如質點質點模型：模型： 物體自身線度與所研究的物體運動的空間范圍物體自身線度與所研究的物體運動的空間范圍r比可以忽略；或者物體作比可以忽略；或者物體作平動平動。真實的物體不滿足上述條件則可將其視為質點系。真實的物體不

4、滿足上述條件則可將其視為質點系。6選擇合適的參考系選擇合適的參考系. 以方便確定物體的運動性質；以方便確定物體的運動性質；建立恰當的坐標系建立恰當的坐標系. 以定量地描述物體的運動；以定量地描述物體的運動；提出較準確的物理模型提出較準確的物理模型. 以確定所提問題最基本運動律以確定所提問題最基本運動律. 71. 位置矢量位置矢量 由原點引向考察點的矢量。由原點引向考察點的矢量。 0rr表示為表示為直角坐標系中直角坐標系中1-2 運動的描述運動的描述xyz0(x,y,z)kzj yixr 222zyxr rzryrx cos,cos,cos1222 coscoscos8運動方程和軌跡方程運動方程

5、和軌跡方程 質點在運動過程中，質點在運動過程中，空間位置空間位置隨時間變化的函數隨時間變化的函數式稱為式稱為運動方程運動方程。表示為：表示為： )(trr 直角坐標系中直角坐標系中ktzjtyitxtr)()()()( )()()(tzztyytxx 或或 運動方程是時間運動方程是時間t t的顯函數。的顯函數。 質點在空間所經過的路徑稱為軌道（軌跡）質點在空間所經過的路徑稱為軌道（軌跡）從運動方程中消去從運動方程中消去t，即可得到軌道方程，即可得到軌道方程軌道方程不是時間軌道方程不是時間t t顯函數顯函數9例例. 自由落體運動的運動方程為自由落體運動的運動方程為 221gty 例例.平拋運動的

6、運動方程平拋運動的運動方程 2021gtytvx平拋運動的軌道方程平拋運動的軌道方程2202xvgy 102.2.位移位移由起始位置指向終位置的一個矢量由起始位置指向終位置的一個矢量1r2rr Sr 1r2r12rrr t 時間內位置矢量的增量時間內位置矢量的增量|12rrr 矢量增量的模矢量增量的模r |12rrr 矢量模的增量矢量模的增量位移在直角坐標系中的表示式位移在直角坐標系中的表示式 kzj yixr 11l路程路程S t 時間內質點在空間內實際運行的路徑距離時間內質點在空間內實際運行的路徑距離 s與與 的區別的區別r 為標量，為標量， 為矢量為矢量r r 注意注意 r 與與 的區別

7、的區別r s為標量為標量, 為矢量為矢量r rdsrs d , rrrrdd ，r )(1tr)(2ttr S r12描述質點位置變化和方向變化快慢的物理量描述質點位置變化和方向變化快慢的物理量 1)1)平均速度與平均速率平均速度與平均速率 tr ts 1rA2rBrS ktzjtyitx 2)2)瞬時速度與瞬時速率瞬時速度與瞬時速率 rdtrdtrt0lim dtdstst 0lim 13 dtdsdtrdtrdd e OA1rB3rC2r e e 在直角坐標系中在直角坐標系中 kjikdtdzjdtdyidtdxzyx 描述質點速度變化快慢和方向的物理量描述質點速度變化快慢和方向的物理量

8、為描述機械運動的狀態參量為描述機械運動的狀態參量 ,r 稱為機械運動狀態的變化率稱為機械運動狀態的變化率 a14OA1rB2rA B A B 平均加速度平均加速度ta 瞬時加速度瞬時加速度 .limrdtrddtdtta 220 在直角坐標系中在直角坐標系中kajaiakdtzdjdtydidtxdazyx 22222215例例: 一人用繩子拉著車前進，小車位于高出繩端一人用繩子拉著車前進，小車位于高出繩端h的的平臺上，人的速率為平臺上，人的速率為 0 不變，求小車的速度和加速不變，求小車的速度和加速度（繩子不可伸長）度（繩子不可伸長）l0 hx車車 解：人的速度為解：人的速度為 dtdx 0

9、 車前進的速率車前進的速率 dtdl 車 16222hxl xdtdxdtdll22 0 lx 車 cos0v 220hxx 車dtdxhxdxdxdtdxhxdtd)(2202201 車)(322222201hxxhxdtd 車322220)(hxhdtda 車車171.質點運動在自然坐標中的描述質點運動在自然坐標中的描述 由曲線上各點的切線和法線所組成的一系列坐標由曲線上各點的切線和法線所組成的一系列坐標系系稱稱自然坐標系。自然坐標系。ASO/ e e0 切向單位矢量切向單位矢量指向物體運動方向指向物體運動方向法向單位矢量法向單位矢量0n指向軌道的凹側指向軌道的凹側r0)(srr edsr

10、d eedtds nnneaeaaaa 18ABC n 切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 P1P2 tat 0limtBCt 0limtnt 0limtttnt 00limlim切向加速度切向加速度 et ; 019 edtdtetatt 00limlim edtsdedtddtda22 edtsda22 法向加速度法向加速度 P1P2 nnet ; 0nntnetta limlim0nnedtda 20nnnedsdedtdsdsda 2 dsdk ddsk 1nnea 2 needtda 2 22222 dtdaaan aatgean1 的的夾夾角角與與212.質點運動在平面極

11、坐標系中的描述質點運動在平面極坐標系中的描述 0 x rPre e極坐標系中質點的運動學方程為極坐標系中質點的運動學方程為 rr(t), (t) 軌跡方程軌跡方程 rr( ) 位矢記作位矢記作rerr 元位移元位移 0 x rPr d d re rrerdedrrd erdedrrdr edtdredtdrdtrdr 徑向速度徑向速度dtdrr 橫向速度橫向速度 dtdr r 22自然坐標系自然坐標系 eedtds needtda 2 neRedtd2 22dtsda Ran2 勻速圓周運動勻速圓周運動 0 aCRan 2 23 極坐標系中極坐標系中0 1 1 2 2p1p2)(t 角位置角位

12、置12 *角位移角位移 方向為右手螺旋法則方向為右手螺旋法則dtd 角速度角速度角加速度角加速度22dtddtd 勻速圓周運動勻速圓周運動: 是恒量是恒量dtd tdtd00 t 024 勻角加速圓周運動勻角加速圓周運動: 是恒量是恒量t 020021tt )(02022 tdtd00 tdt00 一般圓周運動一般圓周運動3. 線量與角量的關系線量與角量的關系 同一種運動的兩種描述方法，二者必有聯系。同一種運動的兩種描述方法，二者必有聯系。 Rdds RdtdRdtds 25 r RdtdRdtdva 22 RRan r26例例: 以速度為以速度為v0平拋一球，不計空氣阻力，平拋一球，不計空氣

13、阻力，t時刻小時刻小球的切向加速度量值球的切向加速度量值 a ；法向加速度量值；法向加速度量值an 。 解：由圖可知解：由圖可知 x= 0 ygana ygga sin22202222tgtgtggtga 22200costggggaxn 271.3運動學中的兩類問題運動學中的兩類問題一、已知運動方程，求速度、加速度一、已知運動方程，求速度、加速度dtrd dtda 例：已知一質點的運動方程為例：已知一質點的運動方程為 r3t 4t2 式中式中r以以m計，計，t以以s計，求質點運動的軌道、速度和加速度計，求質點運動的軌道、速度和加速度.ij解將運動方程寫成分量式解將運動方程寫成分量式 x3t，

14、y4t2消去參變量消去參變量t得軌道方程：得軌道方程： 4x29y0，這是一條頂點在原點的拋物線這是一條頂點在原點的拋物線.0 xy由速度定義得由速度定義得j tijdtdyidtdxdtrd83 由加速度的定義得由加速度的定義得jdtda8 28例例: 一質點沿半徑為一質點沿半徑為1 m的圓周運動，它通過的弧長的圓周運動，它通過的弧長s按按st2t2的規律變化的規律變化.問它在問它在2 s末的速率、切向加速末的速率、切向加速度和法向加速度各是多少？度和法向加速度各是多少？解由速率定義，有解由速率定義，有tdtds41 將將t2代入上式，得代入上式，得2 s末的速率為末的速率為 1429 (m

15、s1)法向加速度法向加速度Ran2 81 ms2 切向加速度切向加速度22dtsda 4 ms2 ，為一常數，為一常數則則2 s末的切向加速度為末的切向加速度為4 ms2.29例例: 一飛輪半徑為一飛輪半徑為2 m，其角量運動方程為，其角量運動方程為 2+3t-4t3(SI)，求距軸心，求距軸心1 m處的點在處的點在2s末的速率和切向加速度末的速率和切向加速度.解因為解因為 dtd 3-12t2dtd 24t將將t2代入，得代入，得2 s末的角速度為末的角速度為 312(2)245(rads1)2s末的角加速度為末的角加速度為 24248(rads2)在距軸心在距軸心1 m處的速率為處的速率為

16、 R 45 (ms1)切向加速度為切向加速度為 a R 48 (ms2)30二、已知加速度和初始條件，求速度和運動方程二、已知加速度和初始條件，求速度和運動方程dtda ttadtd00 ttadt00 初始條件初始條件 t = 0， = 0可確定可確定 dtdr ttxxdtdx00 ttdtxx00 初始條件初始條件 t = 0，x = x0可確定可確定 31例：跳水運動員沿鉛直方向入水，設接觸水面瞬間時例：跳水運動員沿鉛直方向入水，設接觸水面瞬間時速率為速率為 0.入水后，運動員所受地球引力和水的浮力相入水后，運動員所受地球引力和水的浮力相抵消，其僅受水的阻力而減速抵消，其僅受水的阻力而

17、減速.加速度加速度ak 2，k為正為正常數常數.取水面為坐標原點，向下為取水面為坐標原點，向下為x軸正向，運動員入水軸正向，運動員入水時開始計時時開始計時.求入水后運動員的下沉速度隨時間變化的規律；求入水后運動員的下沉速度隨時間變化的規律；若若10 m跳臺跳水運動員入水可視作自由落體并取跳臺跳水運動員入水可視作自由落體并取k0.4 m1，求運動員水中速度降為入水速度，求運動員水中速度降為入水速度1/10時，運時，運動員的入水深度動員的入水深度. 解解 2 k dtd分離變量得分離變量得 tkdtd020 kt )1(10 10 kt0 32 dtdxdtdx txdtktdx00001 )ln

18、(011 ktkx dxddtdxdxda dtd2 kdxd kdx d xkdx00 dkx 0ln kxe 0 由題知由題知gh20 14 ms1將將 0/10，k0.4 m1代入之，即得代入之，即得 x5.76 m33例例: 一飛輪受摩擦力矩作用作減速轉動過程中，其角一飛輪受摩擦力矩作用作減速轉動過程中，其角加速加速 與角位置與角位置 成正比，比例系數為成正比，比例系數為k(k0)，且，且t0時，時， 00， 0.求：求：(1)角速度作為角速度作為 的函數表達式；的函數表達式；(2)最大角位移最大角位移. 解解(1)依題意依題意 k dddtddd dtd所以有所以有 kdd 分離變量

19、并積分，且考慮到分離變量并積分，且考慮到t=0時，時， 0=0， = 0，有有 dkd 00342222202 k 故故220 k (取正值取正值)(2)最大角位移發生在最大角位移發生在 0時，故時，故01 k (只能取正值只能取正值)351.4相對運動相對運動一、運動描述的相對性一、運動描述的相對性 由于選取不同的參考系，對同一物體運動的描述由于選取不同的參考系，對同一物體運動的描述就會不同就會不同. “靜止參考系靜止參考系”、“運動參考系運動參考系” 都是相對的都是相對的 S系系S/系系絕對運動，牽連運動，相對運動絕對運動，牽連運動，相對運動. 也是相對的也是相對的 36(非相對論效應非相

20、對論效應)參考系參考系: S系和系和S/系系yxSoo/S/0rr/r1. 位矢變換關系位矢變換關系/0rrr 絕對絕對位矢位矢牽連牽連位矢位矢相對相對位矢位矢位移關系：位移關系：/0rrr 2. 速度變換關系：速度變換關系： /0 絕對絕對速度速度牽連牽連速度速度相對相對速度速度稱為稱為伽利略速度變換伽利略速度變換3.加速度變換關系：加速度變換關系： 37.const0 若若aa 0dd0 ta /0aaa 說明說明(1) 結論是在物體的運動速度遠小于光速時才成立結論是在物體的運動速度遠小于光速時才成立. (2) 只適用于相對運動為平動的情形。只適用于相對運動為平動的情形。aaa 038相對

21、位矢相對位矢 xyzoAArBBrABrABBArrr 是是B對對A的位矢的位矢BAr相對速度相對速度 ABBA 相對加速度相對加速度 ABBAaaa 這種描述相對運動的方法與上述方法是一致的。這種描述相對運動的方法與上述方法是一致的。BAABrrr 絕對絕對位矢位矢牽連牽連位矢位矢相對相對位矢位矢39例：如圖所示，河寬為例：如圖所示，河寬為L，河水以恒定速度，河水以恒定速度u流動，流動，岸邊有岸邊有A，B兩碼頭，兩碼頭，A，B連線與岸邊垂直，碼頭連線與岸邊垂直，碼頭A處有船相對于水以恒定速率處有船相對于水以恒定速率 0開動開動.證明：船在證明：船在A，B兩碼頭間往返一次所需時間為兩碼頭間往返一次所需時間為(船換向時間忽略不計船換向時間忽略不計)