1、一一. .條件概率條件概率第1頁/共40頁例例 1 盒中有4個(gè)外形相同的球，它們的標(biāo)號(hào)分別為1、2、3、4，每次從盒中取出一球，有放回地取兩次 則該試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果為 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 其中( (i,j)i,j)表示第一次取出i i

2、號(hào)球，第二次取出j j號(hào)球第2頁/共40頁例例 1（續(xù)）（續(xù)）設(shè)A= 第一次取出球的標(biāo)號(hào)為 2 B= 取出的兩球標(biāo)號(hào)之和為 4 則事件B所含的樣本點(diǎn)為 (1,3) (2,2) (3,1)(1,3) (2,2) (3,1)因此事件B的概率為 163BP第3頁/共40頁例例 1（續(xù)）（續(xù)） 若我們考慮在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，并記此概率為ABP由于已知事件A已經(jīng)發(fā)生，則該試驗(yàn)的所有可能結(jié)果為 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)這時(shí)，事件B是在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下的概率，因此這時(shí)所求的概率為41ABP第4頁/共40頁注注 意意

3、由例1可以看出，事件在“條件A已發(fā)生這附加條件的概率與不附加這個(gè)條件的概率是不同的因此，有必要引入下面的定義：第5頁/共40頁條件概率的定義條件概率的定義設(shè)A、B是某隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且 0AP 則稱事件B在“事件A已發(fā)生”這一附加條件下的概率為在事件A已發(fā)生的條件下事件B的條件概率，簡稱為B在A之下的條件概率，記為ABP第6頁/共40頁條件概率計(jì)算公式條件概率計(jì)算公式 在例 1 中，我們已求得 41,163ABPBP 還可求得 161,164ABPAP 顯然，上述結(jié)果滿足下面的等式 APABPABP 上面的公式具有一般性，即有第7頁/共40頁條件概率計(jì)算公式條件概率計(jì)算公式設(shè)A、B是某隨

4、機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且 0AP 則 APABPABP第8頁/共40頁條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)0. 1ABPB，有非負(fù)性：對(duì)任意事件 條件概率有如下性質(zhì)：；規(guī)范性：12 AP11213nnnnnABPABPBBB則兩互不相容，兩，機(jī)事件可列可加性：如果隨簡言之，條件概率是概率簡言之，條件概率是概率第9頁/共40頁例例 2已知某家庭有3個(gè)小孩，且至少有一個(gè)是女孩，求該家庭至少有一個(gè)男孩的概率解： 設(shè)：A= 3個(gè)小孩至少有一個(gè)女孩 B= 3個(gè)小孩至少有一個(gè)男孩 第10頁/共40頁例例 2（續(xù)） 則 878111APAP86ABP 所以 768786APABPABP第11頁/共40頁說說 明明對(duì)于

5、某些比較簡單的條件概率，我們可以直接計(jì)算第12頁/共40頁例例 3 袋中有 4 只白球，5 只黑球，每次從中取一球，不放回地取兩次，已知第一次取出的是白球，求第二次也取出白球的概率 解： 設(shè)：A= 第一次取出白球 ， B= 第二次取出白球 ， 則當(dāng)已知事件 A 發(fā)生時(shí)，袋中還有球 8 只，其中有白球 3 只，故83ABP第13頁/共40頁例例 4 n個(gè)人排成一排，已知甲總是排在乙的前面，求乙恰好緊跟在甲的后面的概率 解：乙緊跟在甲的后面，甲總排在乙的前面設(shè)BA則所求概率為ABP因此，前面”機(jī)會(huì)是均等的，在甲的在乙的前面”與“乙排個(gè)人排成一排，“甲排n 21AP第14頁/共40頁例例 4種（樣本

6、點(diǎn)總數(shù)）！同的排法個(gè)人排成一排，共有不nn！所包含的樣本點(diǎn)數(shù)為而事件1nABnnnABP11！所以， APABPABP因此，nn2211第15頁/共40頁二二. .乘法公式乘法公式第16頁/共40頁兩個(gè)事件的乘法公式兩個(gè)事件的乘法公式由條件概率的計(jì)算公式 APABPABP 我們得 ABPAPABP這就是兩個(gè)事件的乘法公式第17頁/共40頁多個(gè)事件的乘法公式多個(gè)事件的乘法公式 由數(shù)學(xué)歸納法，我們有個(gè)隨機(jī)事件，且為，設(shè)nAAAn210121nAAAP則有12121312121 nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP這就是n個(gè)事件的乘法公式第18頁/共40頁例例 5 試求，滿足：與設(shè)隨機(jī)事件BA

7、PBAPBPAPBA6131解： BPBAPBAP BPBAP BPBAP11 BPABPBPAP11 BPBAPBPBPAP11127311613131311第19頁/共40頁例例 6 袋中有一個(gè)白球與一個(gè)黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進(jìn)一個(gè)白球，直至取出黑球?yàn)橹骨笕×薾次都未取出黑球的概率 解：次都未取出黑球取了設(shè)：nB niiAi，次取出白球第21則nAAAB21第20頁/共40頁例例 6（續(xù)）（續(xù)） 由乘法公式，我們有 nAAAPBP21 121213121 nnAAAAPAAAPAAPAP1433221nn11n第21頁/共40頁三三. .全概率公式全概率

8、公式第22頁/共40頁全概率公式全概率公式 設(shè)隨機(jī)事件BAAAn以及,21滿足： 兩兩互不相容；nAAA,121 ；12nnAB , 2, 103nAPn 1nnnABPAPBP則有第23頁/共40頁全概率公式的證明全概率公式的證明 由條件：1nnAB得1nnBAB而且由兩兩互不相容，nAAA,21也兩兩互不相容；得BABABAn,21第24頁/共40頁全概率公式的證明（續(xù)）全概率公式的證明（續(xù)）所以由概率的可列可加性，得 11nnBAPBP代入公式（1），得得，再由條件, 2, 10nAPnnnnABPAPBAP 11nnnnnABPAPBAPBP第25頁/共40頁全概率公式的使用全概率公式

9、的使用 我們把事件B看作某一過程的結(jié)果，因，看作該過程的若干個(gè)原把nAAA,21根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，已知即nAP已知即nABP而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，則我們可用全概率公式計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率 BP即求第26頁/共40頁例例 7 某小組有20名射手，其中一、二、三、四級(jí)射手分別為3、6、9、2名又若選一、二、三、四級(jí)射手參加比賽，則在比賽中獲獎(jiǎng)的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32，試求該小組在比賽中獲獎(jiǎng)的概率 解：該小組在比賽中獲獎(jiǎng)設(shè)B4321，級(jí)射手參加比賽選iiAi第27頁/共40頁例例 7（續(xù)）（續(xù)） 由全概率公式，有 41nnnABPAPBP32.

10、 020345. 020964. 020685. 02025275. 0第28頁/共40頁例例 8 一箱產(chǎn)品由三家工廠分別生產(chǎn)，已知其中第一、二、三家生產(chǎn)的產(chǎn)品各占產(chǎn)品總量的40%、35%、25%，又知第一、二、三家生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率分別為3%、4.5%、3.6%，現(xiàn)從該箱中任取一件產(chǎn)品，試求該產(chǎn)品為次品的概率 解：任取一件產(chǎn)品為次品設(shè)B3, 2, 1iiAi家工廠生產(chǎn)任取一件產(chǎn)品為第第29頁/共40頁例例 8（續(xù)）（續(xù)） 由全概率公式，有 31nnnABPAPBP036. 025. 0045. 035. 003. 040. 003675. 0第30頁/共40頁四四.Bayes公式公式第31頁

11、/共40頁Bayes 公公 式式 設(shè)隨機(jī)事件BAAAn以及,21滿足： 兩兩互不相容；nAAA,121 ；12nnAB , 2, 103nAPn1nnniiiABPAPABPAPBAPi則對(duì)任意的第32頁/共40頁Bayes公式的證明公式的證明 由條件概率的計(jì)算公式： 對(duì)于上式中的分子和分母，分別應(yīng)用乘法公式和全概率公式，得 BPBAPBAPii 1nnniiiiABPAPABPAPBPBAPBAP第33頁/共40頁Bayes公式的使用公式的使用 我們把事件B看作某一過程的結(jié)果，因，看作該過程的若干個(gè)原把nAAA,21根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，已知即nAP已知即nABP而且每一原因

12、對(duì)結(jié)果的影響程度已知， 如果已知事件B已經(jīng)發(fā)生，要求此時(shí)是由第 i 個(gè)原因引起的概率，則用Bayes公式BAPi即求第34頁/共40頁例例 9 在例6中，若已知取出的一個(gè)產(chǎn)品為次品，試問該產(chǎn)品是由第一家工廠生產(chǎn)的概率由多大？ 解： 所用記號(hào)與例6完全相同由Bayes公式及在例6得到的結(jié)果，有 3265. 003675. 003. 040. 0111BPABPAPBAP第35頁/共40頁例例 10 用某種方法普查肝癌，設(shè)： A= 用此方法判斷被檢查者患有肝癌 ， D= 被檢查者確實(shí)患有肝癌 ， 已知90. 0,95. 0DAPDAP 0004. 0DP而且已知： 現(xiàn)有一人用此法檢驗(yàn)患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率第36頁/共40頁例例 10（續(xù)）（續(xù)） 解： 由已知，得 9996. 0,90. 0DPDAP 所以，由Bayes公式，得 DAPDPDAPDPDAPDPADP10. 09996. 095. 00004. 095. 00004. 00038. 0第37頁/共40頁例例