1、第九章微分方程及其應(yīng)用§ 9.1微分方程及其相關(guān)概念所謂微分方程，就是含有自變量、自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程。 例如，以下各式都是微分方程：ay 2(2)m 空dx“dt2 hx kx = f (t).dxdt史+ P(x)y =Q(x). dx與drdt I(5) F(x, y, y-嚴(yán))=0.只含一個(gè)自變量的微分方程，稱為常微分方程，自變量多于一個(gè)的稱為偏微分方程。本章只研究常微分方程， 因而以后各節(jié)提到微分方程時(shí)均指常微分方程。微分方程中所含有的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為該微分方程的階。例如，(1)、為一階方程，(2)、為 二階方程，而為n階方程。微

2、分方程中可以不含有自變量或未知函數(shù)，但不能不含有導(dǎo)數(shù)，否則就不成為微分方程。微分方程與普通代數(shù)方程有著很大的差別，建立微分方程的目的是尋找未知函數(shù)本身。如果P196有一個(gè)函數(shù)滿足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程變成(對(duì)自變量的)恒等式，這個(gè)1 3函數(shù)就叫做微分方程的解。例如y二-?顯然是的解因?yàn)?dx若方程解中含有獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)，則稱此解為微分方程的通解，1 3女口 y x-就是的通解。31從通解中取定任意常數(shù)的一組值所得到的解，稱為微分方程的特解。例如y x3 二就是3的一個(gè)特解。用來確定通解中任意常數(shù)值的條件稱為定解條件，當(dāng)自變量取某個(gè)值時(shí)，給出未知函數(shù)及其導(dǎo)

3、數(shù)的相應(yīng)值的條件稱為初始條件。在本章中，我們遇到的用來確定任意常數(shù)值的條件一般為初始條“1 3件。例如,如果的初始條件為y 0二二，則在代入到通解y x3 c后，可以求得c二”：，從31 3而得到特解y x3 *二。3一般的，因?yàn)閚階微分方程的通解中含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)。需要有n個(gè)(一組)定解條件，所以n階方程的初始條件為：y (x" ) =y“，y (x° )二力y(x0)= y?,，0)= yA其中y°y,y2,，yz為n個(gè)給定常數(shù)。微分方程的解所對(duì)應(yīng)的幾何圖形叫做微分方程的積分曲線。通解的幾何圖形是一族積分曲線，特解所對(duì)應(yīng)的幾何圖形是一族積分曲線中的某一條

4、。就是滿足初始條件yo =二的例如，方程的積分曲線族如圖9 1所示。其中y x 二3特解。§9.2微分方程的經(jīng)典案例例1自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律自由落體運(yùn)動(dòng)是指物體在僅受到地球引力的作用下，初速度為零的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)的牛頓第二定律：物體動(dòng)量變化的大小與它所受到的外力成正比，其方向與外力的方向一致。當(dāng)物體的運(yùn)一5動(dòng)速度U的絕對(duì)值不大（與光速=3 10km/s相比較）時(shí)，其質(zhì)量m可以是一恒量。于是這一運(yùn)動(dòng)定律能表達(dá)成ddvmv = F,或 m F（ 1）dtdt其中F表示物體所受外力的合力。對(duì)于僅受到地球引力作用的自由落體的運(yùn)動(dòng)，則有：- dS -2- 二mg”這里g表示重力加速度，其大小

5、一般取為：g = 9.8m/s ;dtS表示自由落體運(yùn)動(dòng)的路程，其大小以S表示之。- _ dS注意到S的方向匕9的方向一致，將口mg,v = dS代入式后得到自由落體運(yùn)動(dòng)立場(chǎng)大小22變化的規(guī)律：d2s十d2s（2）下一亍=019或-二%運(yùn)動(dòng)規(guī)律式（2俵示一個(gè)微分方程問題。等式；2）的左端區(qū)路程大小S的二次微商它的右端是常數(shù)g。這里S和g之間不是普通的函數(shù)關(guān)系，而是二微商的關(guān)系。例2單擺運(yùn)動(dòng)單擺又稱為鐘擺或數(shù)學(xué)擺。所謂單擺運(yùn)動(dòng)是指一質(zhì)量為m>o的小球，用長(zhǎng)度為I的柔軟細(xì)繩拴住，細(xì)繩的一端固定在某點(diǎn)0處。小球在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，略去空氣的阻力和細(xì)繩在0點(diǎn)處的摩擦力。并且認(rèn)為細(xì)繩的長(zhǎng)度I不變，僅

6、考慮地球的引力和細(xì)繩對(duì)小球的拉力（見圖9 2）。在鉛垂平面內(nèi)引進(jìn)以0為坐標(biāo)原點(diǎn)的極坐標(biāo)系統(tǒng)，由于細(xì)繩長(zhǎng)度不變且細(xì)繩總是直的，所以小球的位置用一個(gè)坐標(biāo)t就能表示。這里二表示細(xì)繩I和鉛垂方向之間的夾角。鉛垂方向即是小球的平衡方向，它對(duì)應(yīng)的二為零。作用在小球上的地球引力的大小f為mg，其方向鉛垂向下。重力沿細(xì)繩方向的分力的大小為mg cos二，其方向沿細(xì)繩指向外。這個(gè)力與小球運(yùn)動(dòng)所需要的向心力剛好平衡。所以小球沿細(xì)mgsi，它的方向與角 二增加的方向相根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律有:llvdt繩方向沒有運(yùn)動(dòng)。重力在垂直于細(xì)繩方向的分力的大小為反。根據(jù)牛頓第二定律得到單擺運(yùn)動(dòng)的規(guī)律為：d mv 二mgsinr于是

7、從式（3 ）得出：二-g sin v（4）dt2關(guān)系式（4）是包含r及其二接微商的方程，并且二不是線性而是非線性地出現(xiàn)在方程中（以sin=這種非線性 形式）。從方程（4）來求出二隨著時(shí)間變化規(guī)律的分析表達(dá)式是困難的。當(dāng)I二比較小時(shí)，對(duì)微分方程（4）能夠進(jìn)行線性化出處理，即用 二代替sin,，或者說，用-來近似si nr。這樣得到式（4）的線性化微分方程：在相同初始條件下服從微分方程5 ”求得的二隨時(shí)間t變化的規(guī)律二t是單擺運(yùn)動(dòng)的近似規(guī)律。通常將式5 ”寫成如下的規(guī)范形式:dt2其中卜2。I例3真空中的拋射體運(yùn)動(dòng)在真空中運(yùn)動(dòng)的拋射體，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律十分復(fù)雜。這里僅考慮在真空中拋射體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。即忽

8、略拋射體所受的空氣阻力，而僅考慮質(zhì)量為m的拋射體受地球引力作用而引起的運(yùn)動(dòng)。取一直角坐標(biāo)系Oxyz， Ox軸沿水平方向；Oy軸垂直于Ox軸；Oz軸垂直于xOy平面，并與Ox軸、Oy軸一起組成右手坐標(biāo)系。依牛頓第二定律，拋射體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：d2xm2= 0dt2mgd2zm恭d2y小m2= 0 dt2拋射體的初始狀態(tài)取為:xO 二 yO 二 zO =0;dxy = Vo cos ,t=o 二 Vo sinm 史u v mg dt鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)M成正比。已知t=0時(shí)鈾的含量為Mo，求在衰變過程中鈾含量Mt隨時(shí)間t變化的規(guī)律。其中V。是拋射體的初始速度，位于xOy平面內(nèi)，V。表示V。的大

9、??；表示V。與水平方向（即Ox軸）之間的夾角（見圖94）。例4深水炸彈的水下運(yùn)動(dòng)一質(zhì)量為m的深水炸彈，從高為h m處自由下落到海中。這里不考慮深水炸彈在水平方向的運(yùn)動(dòng)，而僅考慮它在鉛直方向的運(yùn)動(dòng)。由經(jīng)典力學(xué)知：物體由高為h m處自由下落至海平面時(shí)，其鉛垂方向的速度V。為：V° = . 2gh這里g為重力加速度。按如下方式取定坐標(biāo)系：坐標(biāo)原點(diǎn)0取在海平面上某處，Ox軸沿鉛垂向下，（見圖95）。深水炸彈m自高度為h m處自由下落至海平面的時(shí)間為to。于是深水炸彈的初始狀態(tài)為：dx|_x to= 0, It = to= Vo = . 2gh dt深水炸彈在海中運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們不考慮海水對(duì)它的浮

10、力，這時(shí)炸彈受到兩個(gè)力的作用，：一是地球引力mg，其方向鉛垂向下；另一個(gè)是海水對(duì)炸彈的摩擦力。這個(gè)摩擦力是很復(fù)雜的，它和炸彈的形狀、速度等因 素有關(guān)，這里近似的認(rèn)為摩擦力的大小和炸彈的速度v成正比，比例系數(shù)即摩擦f能表示系數(shù)u為常數(shù)。摩擦力的方向與炸彈的速度方向相反，因而是鉛垂向上的。于是摩擦力dx為： f 二一 u v = "u dt根據(jù)牛頓第二定律知深水炸彈在水下運(yùn)動(dòng)的規(guī)律為：2d x u dx 小2dt2 m dt例5放射性元素的衰變放射性元素鈾由于不斷的有原子放射出微粒 子而變成其他元素， 象叫做衰變。由原子物理學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量解鈾的衰變速度就是M

11、 t對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)釗，由于鈾的衰變速度與其含量成正比，故得dt微分方程型dt 二一幾 M其中 0是常數(shù)，叫做衰變系數(shù)。前置符號(hào)是由于當(dāng)t增加時(shí)M單調(diào)減少，即型：0的緣故。按題意，初始條件為M |t=o 二 M odt例6指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯人口模型）英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus，:1766/834）根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料，于1798年提出了著名的人口指數(shù)增長(zhǎng)模型。這個(gè)模型的基本假設(shè)是：人口的增長(zhǎng)率是常數(shù)，或者說，單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的人口成正比。記時(shí)刻t的人口為Xt，當(dāng)考察一個(gè)國(guó)家或一個(gè)很大地區(qū)的人口時(shí)，Xt是很大的整數(shù)。為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將 Xt視為連續(xù)、可微函

12、數(shù)。記初始時(shí)刻 t = 0的人口為X。，人口增長(zhǎng)率為r，r是單位時(shí)間內(nèi)Xt的增量與X t的比例系數(shù)。于是，Xt滿足如下的微分方程:dxrx« dtiA（0 ） =XoeM表明人口將按指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng)r0。例7阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）例6中的指數(shù)增長(zhǎng)模型在19世紀(jì)前比較符合人口增長(zhǎng)情況，但從19世紀(jì)以后，就與人口事實(shí)上的增長(zhǎng)情況產(chǎn)生了較大的差異。產(chǎn)生上述現(xiàn)象的主要原因是，隨著人口的增加，自然資源，環(huán)境條件等因素對(duì)人口繼續(xù)增長(zhǎng)的阻滯作用越來越顯著。如果當(dāng)人口較少時(shí)（相對(duì)于資源而言）人口增長(zhǎng)率還可以看作常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到 一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率就會(huì)隨著人口的繼續(xù)增加而逐漸減

13、少。為了使人口預(yù)報(bào)特別是長(zhǎng)期預(yù)報(bào)更好的符合實(shí)際情況，必須修改指數(shù)增長(zhǎng)模型關(guān)于人口增長(zhǎng)率是常數(shù)這個(gè)基本假設(shè)。將增長(zhǎng)率r表示為人口 x t的函數(shù)r x，按照前面的分析，r x應(yīng)該是X的減函數(shù)。一個(gè)最簡(jiǎn)單的假定是設(shè)r x為x的線性函數(shù)r x =r-sx，（ r, s 0）這里r相當(dāng)于X=0時(shí)的增長(zhǎng)率，稱固有增長(zhǎng)率。它與指數(shù)模型中的增長(zhǎng)率r不同（雖然用了相同的符號(hào)）。顯然對(duì)于任意的X 0,增長(zhǎng)率rx :： : r，為了確定系數(shù)s的意義，弓i人自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用摘要隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，國(guó)內(nèi)資金積累量在不斷增加，但是中國(guó)人口近幾年還是呈增加的趨勢(shì)，這樣就會(huì)

14、影響人均收入。由于國(guó)民收入是資金積累的一部分， 國(guó)民收入變化可以反映資金積累的變化。因此研究資金積累、國(guó)民收入與人口增長(zhǎng)的關(guān)系可以轉(zhuǎn)化成研究資金積累與人口增長(zhǎng)的關(guān)系。若國(guó)民平均收入與按人口平均資金積累成正比，說明僅當(dāng)資金積累的相對(duì)增長(zhǎng)率大于人口的相對(duì)增長(zhǎng)率時(shí)，國(guó)民平均收入才是增長(zhǎng)的。本文通過微分方程建立 有關(guān)人口 增長(zhǎng)與資金積累、國(guó)民收入的關(guān)系的模型。關(guān)鍵詞：總資金積累人口平均資金積累國(guó)民平均收入 資金積累增長(zhǎng) 人口增長(zhǎng)一、人口預(yù)測(cè)模型由于資源的有限性，當(dāng)今世界各國(guó)都注意有計(jì)劃地控制人口的增長(zhǎng)，為了得到 人口預(yù)測(cè)模型，必須首先搞清影響人口增長(zhǎng)的因素，而影響人口增長(zhǎng)的因素很多， 如人口的自然出生

15、率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭(zhēng)等諸多因 素，如果一開始就把所有因素都考慮進(jìn)去，則無從下手.因此，先把問題簡(jiǎn)化，建立 比較粗糙的模型，再逐步修改，得到較完善的模型.而此次討論的則是資金積累、 國(guó)民收入與人口增長(zhǎng)的關(guān)系。在人口自然增長(zhǎng)過程中，凈相對(duì)增長(zhǎng)(出生率與死亡率之差)是常數(shù)，即單位 時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與人口成正比，比例系數(shù)設(shè)為r,而若國(guó)民平均收入x與按人口 平均資金積累y成正比，說明反當(dāng)總資金積累的相對(duì)增長(zhǎng)率k大于 人口的相對(duì)增長(zhǎng) 率r時(shí)，國(guó)民平均收入才是增長(zhǎng)的。在此假設(shè)下，推導(dǎo)并求解人口增長(zhǎng)與資金積 累、國(guó)民收入的關(guān)系。二、問題的重述資金積累、國(guó)民收入、與人口增長(zhǎng)的關(guān)系：

16、(1)若國(guó)民平均收入x與按人口平均資金積累y成正比，說明僅當(dāng)總資金積累的相對(duì) 增長(zhǎng)率k大于人口的相對(duì)增長(zhǎng)率r時(shí)，國(guó)民平均收入才是增長(zhǎng)的.(2)作出k(x)和r(x)的示意圖，分析人口激增會(huì)引起什么后果.三、問題分析人均國(guó)民收入主要與國(guó)家資金總積累量和總?cè)丝跀?shù)有關(guān)，若總?cè)丝跀?shù)的增長(zhǎng)率 大于資金積累增長(zhǎng)率，則增長(zhǎng)的資金不能使每一位國(guó)民增加收入，只能使少量國(guó)民收 入增加，因此，總體來說，國(guó)家人均收入實(shí)際上是減少的。四、模型假設(shè)假設(shè)總資金增長(zhǎng)和人口增長(zhǎng)均為指數(shù)增長(zhǎng)，資金積累增長(zhǎng)率和人口增長(zhǎng)率為二 次曲線模型。五、符號(hào)說明a為國(guó)民收入在總資金積累中所占比例；y(t)為總資金積累量；N(t)為總?cè)丝跀?shù)；N

17、m為人口的峰值；x(t)為人均國(guó)民收入；r為人口增長(zhǎng)率； k為資金積累增長(zhǎng)率。解：若國(guó)民平均收入x與按人口平均資金積累y成正比，說明反當(dāng)總資金積累的相對(duì)增長(zhǎng)率k大于人口的相對(duì)增長(zhǎng)率t時(shí)，國(guó)民平均收入才是增長(zhǎng)的N(t)e： J 106X(t)二幽dX(t 簞)dty(t)kN(t) rN(t)y(t .：t) y(t)所以，當(dāng)k大于r時(shí)，國(guó)民收入才會(huì)增加總資金積累的相對(duì)增長(zhǎng)率示意圖人口相對(duì)增長(zhǎng)示意圖0.180.0219800.160.140.120.10.080.06 r0.04 一198519901995200020052010可見，當(dāng)人口激增時(shí)，在一定程度上，人口資金積累和人均國(guó)民收入相對(duì)減 少，人們生活水平就會(huì)下降。因此，國(guó)家應(yīng)該實(shí)施宏觀調(diào)控，以控制人口增長(zhǎng)， 以保證人們的生活水平進(jìn)一步提高。分析人口