1、數學教學“土”經驗 任 勇 數學教學“土”經驗主張1：每課一趣主張2：每堂一贊主張3：初中引趣主張4：高中引深主張5：追求真諦主張6：不唯教材主張7：善用媒體主張8：貼近生活主張9：情境教學主張10：“氣”象萬千主張11：讓生上課主張12：科際聯系主張13：文化滲透主張14：與美共舞主張15：高數弱化主張16：有意差錯主張17：借題發揮主張18：全程導學主張19：“四化”促學主張20：限時限解主張21：每日一題主張22：作業再生主張23：學生命題主張24：生考教師主張25：統計到位主張26：綠色奧數 1.本書是我在數學教學中的“土”經驗，不敢說都是原創的，但多有原創思想和獨到思考。 2.本書雖

2、考慮了按一定系列來寫，但讀者完全可以“跳”著讀，也完全可以“挑”著讀。 3.電影是遺憾的藝術，因為不能重拍；建筑是一門遺憾的藝術，因為不可能重建；教學也永遠是一門遺憾的藝術，沒有最好，只有更好。 4.說到數學教學，我崇尚“教需有法，教無定法；大法必依，小法必活”的說法。 5.“學而不思則罔，思而不學則殆”告訴我們：只學習而不動腦筋思考，就會茫然不解；只憑空思考而不學習，就會疑惑不解。 6.我思故我在。人是靠思想直立的，沒有“思”是不行的，僅有“思”是不夠的，還必須在“思”的基礎上進行“研”，我“研”故我智。 7.“學與思”、“思與研”還不夠，還要踐行，走向且思且研且行的境界，不斷追求教育工作的

3、“有思想有智慧的行動者”。 8.說到教師發展，我以為宜“在全面發展中特色發展，在自主發展中充分發展，在專業發展中持續發展，在跨越發展中和諧發展”。 9.青年教師：生逢其時，更要奮斗其時；奮斗其時，更要長期奮斗。時代為每位奮斗者鋪就了廣闊的發展平臺。 10.人生之路，是一個不斷自我完善的過程。人生之路，也是伴隨著足與不足的過程。足與不足，一切盡在認識自我、戰勝自我中。 11.“優于別人，并不高貴。真正的高貴應該是優于過去的自己。”只要用心，你就能“優于過去的自己”，你就能成為最好的數學教師。 12.感謝中國輕工業出版社，感謝“萬千教育”，感謝吳紅編輯，你們讓我有一個傳播“主張”的平臺，讓讀者有一

4、個了解“主張”的園地。主張1：每課一趣 每節課都要有一道以上的趣味數學題，或是數學游戲，或是數學智力趣題，或是趣味數學故事。有時在開講時講，有時在課末時講，有時滲透在課中講。趣題可以和所學內容有關，也可以與數學內容無關。趣題一般不超綱，也可以適度超一點。趣題宜自然融入，力求起到引發興趣、激活思維、活躍課堂之效。 數學的邏輯性、系統性、條理性很強，抽象性較大。在數學教學中發展學生的智力，是主要的。教科書有一定的知識系統性，而知識是發展智力的重要條件，智力又是順利掌握知識的必要條件，所以課堂教學是促進學生知識、技能和智力三者統一發展的重要途徑。但除了課內應給學生安排充裕的認識活動外，課外還應該對他

5、們有一些補充的認識活動。 課內教學由于受到教材內容的限制，某些能力的培養也受到一定的限制，因此可以通過課外的認識活動（如數學游戲、智力測驗等）來彌補課內之不足。同時，對于學習較好的學生，可以預早給他們播下熱愛科學的種子；對于學習成績較差的學生，也可以通過合適的途徑激發他們對學習數學的興趣。 問題： 有4個同樣大小的啤酒瓶，你能放得使任意兩個瓶口中心之間的距離都相等嗎？主張2：每堂一贊 不知從何時起，我養成了一個習慣，每天備課快結束前，還要“備一事”，就是“明天表揚誰？” 可以表揚最近進步的學生，可以表揚數學作業工整的學生，可以表揚給出新穎解題方法的學生，可以表揚自覺預習課文的學生，可以表揚研究

6、型學習做得扎實的學生。表揚學生，就是贊美學生。教師，不要吝嗇你的贊美。你的贊美，也許是某個學生成才的起點。作業批語的效應 贊美之策，一是贊美學生要持平等的態度，即要放下“架子”來贊美；二是贊美要公正，即要“一碗水端平”；三是贊美要及時、真誠，此時不“贊”，更待何時？四是贊美要公開、得體，管理學中有“公開表揚，私下批評”一說。 當然，贊美亦需有度，隨意拔高不可取。1贊美最近進步的學生2贊美數學學習認真仔細的學生3贊美給出新穎解題方法的學生4贊美自覺預習課文的學生5贊美研究型學習做得扎實的學生問題：設 ，求證： 。2,2ababab我們從對稱入手，有相加即可得證。同理,2,2, 0, 2aabba

7、bba不妨設baaaaabba2,則0)2()2()2()2()(22abbababaabbaab有從“構造正項”入手，baabba)2()2()(24)(24)2)(2(, 0,2,2則、令從“增量”入手，有即得證。兩邊同乘以相加，得同理，倒數”入手，寫下：有“一般生”說可從“abbabbaa. 1110.2110, 2.2110, 2猜謎孤舟蓑笠翁，獨釣寒江雪（數學名詞一）公垂線主張3：初中引趣 數學教材具有知識的系統性，一般編寫得比較簡練。由于數學研究對象的特點，教材在許多地方的敘述比較抽象，這給學習帶來一定的困難。因此，根據教材的特點，充分挖掘教材中的趣味因素，用“引趣”的方法上好數學

8、課，以引起學生對學習數學的興趣，是十分重要的。特別對于初中生，他們自覺性、自制力較差，注意力易分散，而好奇心、好勝心較強，如果教師能根據他們的心理規律，逐步引導他們熱愛數學，從而發展他們的智力，教學質量就必然會提高。1引趣于講授新課之前2引趣于概念教學之中3引趣于命題（公理、定理、公式）教學之中4引趣于解題教學之中5引趣于知識探索之中6引趣于一堂課（或一章節）結束之時 我教了六年的初中數學課，“激趣教學”可以說是我教學風格的主旋律。學生聽我的數學課，感到很有意思，其緣故就是“趣”。 我每次備課快備完之前，經常會問自己，明天這節課，“趣”在何方？ 數學是迷人的樂園，曾使多少探索者流連忘返，如癡著

9、魔；數學是神奇的世界，曾使無數開拓者腦汁絞盡，駐足興嘆！數學課是可以上得很有趣的，但現今的數學課能夠達到充分“激趣”境界的還不多。當然，我們絕不能“為激趣而激趣”。“激趣”是要有智慧和藝術的，“激趣”貴在用心挖掘，“激趣”貴在天然渾成。 “引趣”和“引深”應靈活運用。 不是說初中數學教學不能“引深”，也不是說高中數學教學不能“引趣”。 初中數學教學應“引趣為主，引深為輔”，高中數學教學則應“引深為主，引趣為輔”。 “引趣”，讓學生感到“數學好玩”；“引深”，帶領學生走向“玩好數學”的境界。主張4：高中引深 “問題是數學的心臟。”數學問題是由解題主體與數學習題系統組成的。因此，解題教學就成為決定

10、教學成敗的關鍵因素，數學解題教學應突出探索活動，探索活動不能僅停留在對原習題的解法的探索上，而應適當地、有機地對原習題進行深層次的探索、挖掘出更深刻的結論。引深，是一種探索問題的方法，也是一種值得提倡的學習方法。引深，可以激發學生學習數學的興趣，可以有效地提高學生的數學水平。1通過一般化將問題引深2通過類比將問題引深3通過豐富命題結論將問題引深4通過變換命題條件將問題引深5通過交換命題的條件與結論將問題引深王老師推出200多個新結論，多解多變可成一書2211125()().2abrababab已知 、，且，求知： 業務：已知： 證明：0,0,ab mamabmb 你若能用分析法、綜合法、求差比

11、較法、求商比較法、反證法進行證明，大概可得30分；你若還能用放縮法、構造函數法、增量法進行證明，你就可以得50分了；你若能進一步研究，得到定比分點法、斜率法、三角法、幾何模型法進行證明，你就可以得到70分啦；你還能再努力一下，苦尋證法，得到90分嗎？有人在此基礎上，繼續研究，得到用正弦定理法、相似三角形法、換元法、雙換元法、綜合法及放縮法、定義域及值域法進行證明，這時他得到90分！有誰還能再開動腦筋、挖掘潛能，探尋到用橢圓離心率法、雙曲線離心率法、函數圖象法、兩直線位置關系法、矩形面積法、定積分法進行證明，那他就得100分啦！ 我并不是說，每位數學教師都一定要掌握所有的證法，事實上也是“所有”

12、不完的，還會有新的證法。我是想說，作為數學教師要盡可能地“透視”問題，這樣在教學中才能左右逢源、得心應手。數學教師并不是要把所有的證明都教給學生，但要給學生“一杯水”，你沒有“一桶水”“一條河”能行嗎？ 應當指出，中學數學教學要面向全體學生，所以，在教學中不能隨意增加教材以外的內容，不能一味拔高。引深，應結合學生實際和所教內容的特點恰當地進行，逐步提高學生的學習興趣，不斷提高學生的解題水平。 值得一提的是，初中數學引趣教學和高中數學引深教學不是截然分開的，初中也可以引深，高中也應該引趣，只是初中應該我一些引趣，高中應該多一些引深。引趣中有引深，引深中有引趣，兩者相輔相成，有機結合，才能共同促進

13、數學教學。 “深”與“淺”是相對的，每位高中數學教師在教學中都能進行，只要用心，就一定能“深入淺出”。 課改背景下，“引深”之路怎么走？ 我以為，合作學習、自主學習、探究學習都可以和“引深”掛上鉤，數學教師要善于引導，讓你所教的班級具有“引深文化”。 其次，研究性學習與“引深”也有著密切的聯系。一方面，某些“引深”的問題，再“引深”下去，就是滲透式研究性學習。另一方面，研究性學習有課題式和滲透式兩大類。課題式研究性學習的選題，一般情況下與課堂數學學習沒有直接聯系，而滲透式研究性學習慰問是課堂學習的深化。 滲透式研究性學習，是數學解題教學的深化，是基于“預設”的“生成”，是隨時可以進行的，何樂不

14、為呢？主張5：追求真諦 教育的真諦是什么？這是我多年在思考和探索的問題。總得說來，教育要著眼于學生的發展，著眼于學生的未來。具體的說，教育要尊重和確立學生在教學中的主體地位，要引導學生積極參與教學，要培養學生對問題主動探索、獨立思考的積極態度，要引發學生的創新精神和重視培養學生實踐能力。對上述思考和探索，可以從育人角度、課程角度、課堂角度和學習角度進行。1從育人的角度看教學：為經師，更為人師；重師德，也重師能。2從課程角度看教學：在各種課程中發展學生素質。（必修、選修、活動、微型、潛在、社會）3從課堂角度看教學：課堂教學要著眼于學生未來的發展。（主體參與、分層優化 、“成片開發” 、過程教學

15、、方法滲透 、問題解決 ）4從學習角度看教學：讓學生會學、會科學地學、會創新地學。 任勇出的一道易題，能做對嗎？ （“好的”數學題） 棱長分別為1，2，4，8，壘，漆表面，則最小油漆面積為_。魔方去掉一小塊后的表面積？魔方轉動時的表面積？(1,6,6,8)86-16 新的育人觀、課程觀、教學觀、學習觀是一個有機的整體，三者之間相互聯系、相互包容、相互影響、相互補充，在教學實踐中融會貫通合理實施，共同影響和促進學生數學素質的全面發展。 追求數學教育的真諦，永無止境。惟有不斷地學習、不斷地實踐、不斷地探索，學會在研究狀態下工作，不斷向著數學教學的高境界攀登，就一定能“讓今天比昨天教得更好！”主張6

16、：不唯教材 教學中，要有教材，要信教材，但不唯教材，活用教材。當然，首先要重視教材對教學的指引功能，教材畢竟是由專家學者編的，是集體智慧的結晶；其次要創造性地使用教材，穩定性和通用性的教材必須與時效性和個性化相結合，才能產生新的整體效應；第三要樹立大教材觀，整合一切教學資源為“我”所用。1把握教材2吃透教材3激活教材4改組教材5拓展教材6備好重點7備好難點8備多用寡 公分母 x分子 y分子1112220(1)0a xb yca xb yc2 112122 12 112122 1(2)c bc bxa ba ba ca cya ba b俗：從前有座山，山里有座廟，廟里有個老和尚給小和尚講故事。講

17、的是：從前有座山，山里有座廟，廟里有個老和尚給小和尚講故事。講的是：雅： 引用公元前九世紀荷馬史詩中的一段來展望分形的發展： “她出生時十分弱小， 但每個時辰都在長大。 她在大地上蔓延， 并震撼著周圍的世界。”“俗”得得體，“雅”得引人。雅俗共賞主張7：善用媒體 多媒體網絡教學不能忽略情感、不能沒有變化、不能拿來就用、不能思維僵化、不能破壞想象、不能費師多時、不能取代實驗、不能遠離實踐、不能忽視文本、不能主體不明計算機的探索功能 我對“多媒體網絡教學”進行研究，用“另類”眼光提出十問： 一問“情感”歸于何處？ 二問“變化”怎么應對？ 三問“他人”怎為我用？ 四問“思維”空間安在？ 五問“想象”

18、境界存否？ 六問“時間”該怎分配？ 七問“實驗”能否取代？ 八問“實踐”如何進行？ 九問“文本”是否忽視？ 十問“主體”如何體現？ 基于上述十問，我以為多媒體網絡教學不能忽略情感、不能沒有變化、不能拿來就用、不能思維僵化、不能破壞想象、不能費師多時、不能取代實驗、不能遠離實踐、不能忽視文本、不能主體不明。 多媒體網絡教學要讓優勢“最大化”，要讓弊端“最小化”。倘若如此，這“十問”就問出了效應，就問出了價值。倘若如此，學生甚幸，教育甚幸。主張8：貼近生活 數學來源于生活，又應用于生活中。數學家華羅庚曾經說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數學。”這是對數學

19、與生活的精彩描述。 數學教師，你能“讓生活問題走進數學課堂”嗎？ 只有具備“慧眼”的數學教師，才能透視生活中的數學現象，再回過頭來，讓生活問題融入數學課堂。主張9：情境教學 數學來自現實生活，再應用到現實生活中去；用現實的方法學習數學，學生通過熟悉的現實生活情境逐步發現和得出數學結論落到那個手指頭？廈門數學情境三例情境1：中考試等級劃分情境2：廈門中秋博餅情境3：水果挑大挑小？ 讓數學貼近實際，讓數學貼近生活，讓數學貼近社會，是數學教育孜孜以求的目標之一，應成為數學教師的一種自覺的、有意識的行為。 主張10：“氣”象萬千 為使數學教學“一路走好”，期盼數學教學“氣”象萬千“大氣”一些、“才氣”

20、一些、“朝氣”一些、“秀氣”一些、“和氣”一些、“靈氣”一些、“喜氣”一些、“傻氣”一些、“勇氣”一些、“書卷氣”一些主張11：讓生上課 讓學生當一回教師未嘗不可，可以是整節課由學生來上，老師適當點評；可以由幾個學生一起上課，老師點評；也可以是學生和老師共同上課，老師講一段，學生講一段。通常的情況是，講評問題時，若學生有好的解法和好的想法，我就順勢說：“請某某同學上來講一講他的解法（想法）。”1哪些數學課宜讓學生上？ 一是內容相對容易的課，可以考慮讓學生上； 二是開放性的課，沒有絕對標準的答案，可以考慮讓多個學生一起上； 三是帶有操作性的課，探索“真理”有個逐步完善的過程，可以考慮讓多個學生一

21、起上； 四是作業或試卷講評課，由于學生解答“異彩紛呈”，更可以考慮讓學生上； 五是一些獨特性的內容或專題選修內容，可以考慮讓對這塊內容有研究的學生來上。2讓學生當一回教師應注意哪些問題？ 一是宜鼓勵學生當一回“小老師”，倡導“當一回老師，對學習的體會是不一樣的”氛圍； 二是宜讓數學成績中上且表達清晰的學生先當“小老師”； 三是可以有意識地讓部分學生利用暑期進行自學，就某一內容先行研究、先做準備； 四是可以適當組織學生“小組攻關、集體備課、組內競爭”的形式，產生“優者”走向講臺； 五是教師可以介入學生備課過程，并給予一定的指導； 六是學生的教案教師要過目，在謹防科學性錯誤的前提下優化教案； 七是

22、讓學生單獨授課不宜過頻，教師一定要把握好“度”； 八是以師生互動形式讓學生上臺講解，是可以經常進行的教學活動； 九是教師要善于抓住“中下學生”的某些特長或某次“閃光”，及時“推”他們上講臺； 十是教師對學生授課中的錯誤，宜啟發或引導“小老師”發現問題，自我糾錯，即使最后由教師糾錯，教師的語言應當“平和而友善”。4由“讓生上課”想開去 由“讓生上課”這一思路“想開去”，竟讓我產生如下一些想法： （1）能否讓家長來上課？ 有些家長本身就是某一方面的專家，或是高校的數學教師，完全可以挑選一些內容請家長來上，溝通得好，絕大多數家長是非常樂意來上的。 （2）能否讓本校其他數學教師來上課？ 有些數學教師在

23、某些方面有所鉆研、造詣頗深，講到這方面內容時，完全可以“放下面子”請這位教師“現身說法”，只要以誠相待，相信這位數學教師也是非常樂意來上的。 （3）能否讓校外數學教師來上課？ 校外一些數學教師，或是數學特級教師，或是在某一方面“有專攻”，或是某個內容教學有特色，我們可以事先相約，屆時請這位教師來為我們的學生授課。 （4）能否讓其他專家來上課？ 有些專家，他們在生產實踐或工作研究中，或多或少地運用數學知識分析問題、解決問題，我們就可以請他們走進校園，結合學生所學知識和他們運用數學的心得進行講課。主張12：科際聯系 當今世界，數學已滲透到各個領域。另一方面，其他學科的知識也為數學提供了解題的機會和

24、解題方法。因此，在數學教學中如能結合有關內容，巧妙地聯系各學科知識，將數學知識與其他學科知識進行“科際聯系”，就能激發學生的學習興趣，活躍課堂氣氛，提高學生的解題能力(尤其是解決實際問題的能力)。 前提：每日聚沙不止。 下列說法正確的是_。 聚少一定成多 聚少未必成多 聚沙一定成塔 聚沙未必成塔22122112211211212111nnnn413121116110191817161514131211212121211 “科際聯系”的藝術在于“用心”和“有機”。比如用“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”來說明“極限”，用“三分之二”猜數學名詞“陸續不斷”，就是數學與文學的“科際聯系”；再如向日葵

25、葵花籽的分布規律與斐波那契數列的關系，呈螺線形的螺殼，就是數學與生物的“科際聯系”。 事實上，“學科科際聯系”是一個很值得研究的課題。科學發展走向高度細分化和高度綜合化發展時代，中學學科教育理應“科際聯系”。如果我們的每個學科都“有機”聯系其他學科，我們每個學科教師都“用心”聯系其他學科，學生就會整體地看問題，就會逐步學會系統思維和綜合思維。 當然，基礎教育畢竟是“基礎”教育，學科間的“科際聯系”應有一個“度”。 “度”的把握，也是一門藝術。主張13：文化滲透 “數學不僅是數字、符號、公式，而且還有浸潤其中的數學文化。只有把抽象的、邏輯的、嚴謹的數學，即冰冷的數學，轉化為生動的、人文的、思考的

26、數學，即火熱的數學文化，數學課堂才是人才陶冶的爐膛。”張奠宙先生的這段話生動地說出了“數學可以塑造人的靈魂”的道理。電腦研究紅樓夢猜謎也能學數學介紹“數壇英豪”數學與燈謎天沒它大，人有它大（字一）知難相逢嘆別離（字一）各有風格（字一）三分之二（成語一）三八二十四（體育項目一）1981.9.25（電影一）四五六八九（七字俗語一）劉邦聞之則喜，劉備聞之則悲（字一）青梅煮酒論英雄（選舉用語一）主張14：與美共舞 數學中充滿著美的因素，運用審美法則在一定程度上可以幫助我們提高解題和研究數學問題的能力。數學美感，能喚起良好的情感，就會感到數學學習是十分有趣的。不覺得是一種負擔、一種苦役，而是一種需要、一

27、種享受。數學中充滿著“美”，數學家維納說過：“數學實質上是藝術的一種。” 數學之美，美在何處？1數學之美，美在對稱、和諧2數學之美，美在簡單、明快3數學之美，美在雅致、統一4數學之美，美在奇異、突變01, 1,sincosiiieeie即得令 我雖然只花了幾分鐘時間，講復數的指數形式，講數學的奧秘和數學中的美，全班學生以驚嘆的眼神注視著我這位從教不久的數學教師，繼而情不自禁地爆發出熱烈的掌聲，我也以微笑、點頭回敬學生并品味著教師的幸福。若干年后，許多現已小有成就的學生回憶起這節課時，有的說“從那一刻起，我才發自心底真正想學好數學了！”有的說“任老師，那時真覺得數學太神奇了，你也太有魅力了！”主

28、張15：高數弱化 中學時講初等數學，側重在具體實用。大學里的高等數學，內容豐富，概括寬闊，立論抽象，應用廣泛。由于數學學科的這種特點，往往形成在中學里很少利用高等數學的內容、思想、觀點和方法來指導中學數學教學，又使許多大學新生用初等數學的學習態度去對待高等數學，以致不能適應新的學習任務甚至造成學習失敗。 近幾年來，由于某些原因，我在中學教學的同時，經常接觸高等數學知識，因此，我根據我校學生的特點，注意加強高等數學的內容、思想、觀點、方法和中學數學的聯系，使教學活動搞得生動活潑，取得了較好的教學效果。1介紹高等數學內容，開闊學生知識視野2滲透高等數學思想，培養學生思維能力3運用高等數學觀點，幫助

29、學生理解教材4遷移高等數學方法，提高學生解題能力砌磚問題砌磚問題主張16：有意差錯 我在教學中采用一種“有意差錯”的方法，即在解題過程中，根據學生容易忽視或弄錯之處，有意將解題過程“不露聲色”地講錯，最后引出矛盾或說明解答是錯誤的，然后師生共同糾正錯誤。這樣充分暴露了錯誤過程，讓學生在“情理之中”驚呼上當，使學生加深對錯誤的認識，在知識上來一次再認識，在能力上得到一次再提高，從而達到預防錯誤、提高解題能力的目的。22 |43 |22ay yxxxrby yxxxr ，224322yxxyxx 22210 xx 例3 已知求ab。師：因求交集，故由消去y，得方程無實根，因而ab =畫出兩條拋物線

30、的圖象，可以看到實沒有交點。幾點想法 （1）“有意差錯”，說白了就是“故意講錯”。記得初為人師時的一次“有意差錯”，由于“錯的”太逼真，又有意放到下節課“糾錯”，學生回家后又和作為數學教師的家長探討，竟被誤認為我的課“犯了科學性錯誤”。當然，當時我并不知道我背后“有此一論”。 若干年后聞知此事，我啞然一笑，“發憤”要寫一篇關于“有意差錯”的文章，希望那位數學老師能看到我發表的這篇文章。 （2）課改的今天，教學評價環境對“有意差錯”就十分有利了。一方面，已有不少老師踐行于此；另一方面評價者的“境界”也提高了。 當然，今天對“有意差錯”的要求提高了，“有意差錯”還要進一步走向智慧、走向藝術、走向“

31、無痕”。 著名數學特級教師張思明，說他的一位導師告訴他：“最好的老師是把學生托起來，而學生還以為是自己站得高呢。”這就是我們所說的“教育無痕”。 （3）近讀陳桂生教授“教育”是什么？一文（教師月刊2009年第3期），文中有這么一段話：“關于有意識地給出一個帶有錯誤的命題，讓學生把老師駁倒，徐特立在許多年前，就提出過類似的設想。只是從來未聞有誰做過這種嘗試。” 我讀了這段文字，想法有四：一是說“帶有錯誤的命題”，值得商榷，命題分真命題和假命題，如果“帶有錯誤的命題”中這“命題”是家命題呢？二是教師更多的是給出的是“有意的解題差錯”，因此這里說成“有意識地給出一個錯誤的解答”，也許更妥些；三是徐特

32、立老學生早就有此設想，佩服不已！四是陳老“從未聞過有誰做過這種嘗試”，那我1992年的做法可稱“史上第一”？主張17：借題發揮 引導學生考慮一題多解，引導學生一題多變，引導學生一題多用，這樣，學生就可以多層次、廣視角、全方位地認識數學問題 “問題是數學的心臟。”學習數學，關鍵之一是學會解題。解題教學是數學教師的基本功，解題是數學教學中的“微觀藝術”，而任何藝術的精彩之處和感人之處，也許就在這“微觀”之中。 例題教學是幫助學生掌握概念、定理及其它數學知識的手段；又是使學生掌握數學思想、方法，形成技能技巧以及培養學生數學能力的重要手段。 如何充分發掘利用課本例題的價值，是數學教育工作者正在積極探索

33、的一個熱點問題。 基于上述理念，筆者以一道課本題為例，借題發揮，探索一題多解、一題多變、一題多用的價值，以期培養學生學會從多層次、廣視角、全方位地認識、研究問題，培養學生的創新意識和創新能力。1一題多解的教學價值 一道數學題，由思考的角度不同可得到多種不同的思路。廣闊尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發展觀察、想象、探察、探索、思維能力。2一題多變的教學價值 一個例題，如果靜止地、孤立地去解答它，那么再好充其量只不過解決了一個問題。數學解題教學應突出探索活動，探索活動不僅停留在對原習題的解法上的探索上，而應適當地有機地對原習題進行深層的探索，挖掘出更深刻的結論。這就是數學教學中的變式藝術。變式

34、，是一種探索問題的方法，也是一種值得提倡的學習方法；變式，可以激發學生學習數學的興趣，可以有效地提高學生的數學水平。3一題多用的教學價值 教學例題大多有其廣泛的應用。一題多解，實現由“點到線”的變化；一題多解；又由“線擴大到面”的變化；而“借題發揮”，則進一步實現由“面到體”的變化。這樣，例題教學便可多層次、廣視角、全方位地進行研究與拓展，充分發揮其潛能。 用尺規將一個圓的面積四等分用尺規將一個圓的面積四等分. .主張18：全程導學 我們稱滲透于學生學習計劃、課前預習、課堂學習、課后復習、獨立作業、學習總結、課外學習等等環節的學習指導為全程滲透式學習指導。 強調“全程滲透”，旨在強化教師在教學

35、過程中全方位、多層次、廣渠道地進行學習指導滲透，讓“學習指導”像無聲的細雨時時潤入學生的心田。1、將學習指導滲透于學生制定計劃之中。2、將學習指導滲透于學生課前預習之中。3、將學習指導滲透于學生課堂學習之中。4、將學習指導滲透于學生課后復習之中。5、將學習指導滲透于學生獨立作業之中。6、將學習指導滲透于學生學習總結之中。7、將學習指導滲透于學生課外學習之中。主張19：“四化”促學 序化，就是要求學生建立知識大廈；類化，就是引導學生將問題歸類；活化，就是融合知識和技能靈活地解決問題；深化，就是將問題引深數學教授的一次遭遇一道奧數題：正數滿足條件求證：cbacba，kccbb aa2kcabcab

36、。，23)()()()(kcabcabcabcabkcabcabkabcabcccbbaak組委會點題： 巧用放縮法，妙解奧賽題。考察把上式左端視為關于c的函數式，令 當 時，當 時， 為一次函數，因而是 上的單調函數，又，2)()()(kakcckbbka2)()()(kabbakcbakcf0bak0)(22abkabkcf0bak)(cf)0(k，0)(0)()()0(2abkfkbakkabbakf，)(cf)0(k，0)()(2kabbakcbak2kcabcab高中生點題： 巧用構造法，妙解奧賽題。 一位初中生說：“不必那么復雜，畫個三角形就可證得。”作邊長為的正三角形pqr，在三

37、邊上分別取三點x、y、z，使qx=a，xr=a，ry=b，yp=b，pz=c，zq=c。pqrssss三角形32160sin2160sin2160sin2160sin21kkcabcab2kcabcab初中生點題： 巧用三角形，妙解奧賽題。正方形ssss3212kcabcab小學生點題： 巧用正方形，妙解奧賽題。 眾人驚愕！ 初中生笑了，高中生不好意思了，老師先是驚得目瞪口呆，繼而發出會心的微笑，連稱：“好！好！好！你們都是好樣的！”鋪砌問題主張20：限時限解 數學解題的“限時”訓練，應有一個“寬松”的要求，決不能“操之過急”，也就是說要求學生有“解題限時”的觀念，對不同的學生的要求也不盡相同

38、。 “限時”相對容易做到，而“限解”可能就具有挑戰性了。 我們說，求異思維是一種重要的創造性思維，它是引導學生從不同的方面、不同的角度探索多種答案，鼓勵學生提出個人獨特見解，發揮自己獨有的才能，力求創新的一種思維。其主要特點是：思維具有獨創性、多向性、靈活性和批判性。1限制解題方法，引導學生突破固有的解題模式，使思維具有獨創性2限制解題方法，引導學生進行發散式思維，使思維具有多向性3限制解題方法，引導學生靈活地運用知識，使思維具有靈活性4限制解題方法，引導學生質疑問難，使思維具有探索性12s 24s 38s abc、 、12sab24sac38sbc2222 4 88vabca b cab b

39、c ac長方體的三個側面積分別為，不求出每條棱的長，你能算出長方體的體積嗎?解：設長方體的三棱長分別為長方體的體積是：。主張21：每日一題 如果說“每課一趣”旨在讓課堂充滿活力、讓學生感到“數學原來如此有趣”的話，那么“每日一題”就是課后張貼在班級數學園地里的供學有余力的學生選做的具有挑戰性的征解題。 征解題可以是課本問題的拔高，可以是身邊的精彩數學問題，可以是切合時宜的數學趣題。多數學生對每日一題很感興趣，哪天沒給出征解題，學生就“若有所失”。征解題也可以由學生先提供給我，我簡單評判或修改后署上學生名字公布。因式分解 44x2222244)2()2(4444xxxxxx1數學課本問題的“拔高

40、”2身邊的精彩數學問題3切合時宜的數學趣題4數學競賽題的弱化5學生提供的數學問題主張22：作業再生 “數學再生作業”就是教師在批改作業的過程中，發現錯誤并不直接修改，而是通過符號、提示、質疑、重做、“還原”、強化、借鑒、另解、引申、論文等方法，暗示其錯誤或錯誤的性質，或給出探索方向，由學生自己動腦動手，找到正確的答案，總結解題規律和解決新的問題。 1111112222一個猜想及“推證”（課堂內外初中版）一個猜想及推證 （課堂內外高中版），111111111111111111111111111111111111）（222-nn主張23：學生命題 傳統的考試方法，一般是教師根據教材和學生的知識水平

41、，出幾道題，然后根據學生書面答案的質量，評給一個分數。這種以閉卷筆試的考試形式，容易使學生產生對考試的焦慮和神秘感，產生反感心理。作為考試改革的一種方法，我在所教的班級中進行讓學生參與編擬數學試題的嘗試。這種命題方式，破除了考試的神秘感及其引起的焦慮，體現尊重、相信學生的原則，學生命題的過程，也是一次學習、實踐和進一步明確、掌握難點、重點，發展思維能力的過程，這就大大地調動了學生學習數學的積極性。1試卷的編擬 將全班52名學生分成13個小組(前后座位)，每組4人(注意學習成績上、中、下學生搭配)。每次編試卷要求每組提供選擇題4道，填空題4道，小綜合題4道，大綜合題1道。對每組要求選擇、填空、小

42、綜合題有2道是指定內容的，另2道不限，大綜合題內容不限。各類試題應有基礎題、中等題和提高題。學生所給考題均應給出正確解答(如有多種解法，也盡量寫出。)并給出評分標準。全班共收選擇、填空、小綜合題各52道。大綜合題13道。教師最后綜合各組試題編試卷時，學生編題占70，教師可以作一定的改變(如數字改變、圖形改變、維數變換等)，教師編題占30。 2評分 評分與閉卷考試的評分基本相同，只有下面兩點不同。 對入選題的供題組的每個學生酌情獎勵23分，以鼓勵學生編選好試題。 學生的供題或解答，如有錯誤，應酌情扣23分。在考試時，供題組的學生若答錯其所供的試題，則除扣除本題分之外，還須再扣所獎分的兩倍，以防止

43、學生亂供題和加強考察學生對供題及其變式的適應能力。3試卷講評 師生共同講評。教師先講一下考試總的情況。具體講解某題時，可請供題組學生代表上臺講評，由學生教育學生。教師自己的供題一般由教師講評，學生可以給予評價。這種師生共同講評的方法，學生很感興趣，課堂氣氛活躍，效果很好。4效果與體會（1）讓學生參與命題，提高了學生學習數學的積極性。他們上課比以前更認真了，并能在學好課本知識的基礎上，積極閱讀相關的課外讀物，擴大知識視野，提高供題水平。（2）由于學生的供題，教師可適當加以改變，這樣就促使學生在解題時，注意一題多變、一題多思、一題多用，提高分析問題、解決問題的能力。（3）讓學生參與命題，把一個原來

44、枯燥、單調、乏味的活動，變成了有趣的、自覺的、創造性的、競賽性的活動。學生樂此不疲，自然就會有效果。（4）讓學生參與命題，打破了考試的神秘感，在一定程度上消除學生對考試的焦慮、反感心理，是考試改革的一個方向。（5）讓學生參與命題，僅在我所教的兩個班平時單元考試中進行。年級統一的半期考、期考，由于涉及面廣，還不能由學生命題。我想這種考試，這樣做也是可以的。因為只有學生參與命題與教師命題相結合，才能較全面地考察學生知識、能力的掌握情況。5學生命題應把握的幾個原則（1）科學性與人文性相結合的原則。（2）穩定性與創新型相結合的原則。（3）全面性與開放性相結合的原則。（4）規范性和靈活性相結合的原則。主

45、張24：生考教師 假期里，我讓學生出數學試卷考我。全班學生各個露出神秘的表情，他們從來都是“被考試”，哪有可能出題考老師 “生考教師”，是我在教學中的一個創意，也是我的數學教學主張。凡事倒過來想一想，也許眼界大開。1適當教給學生數學命題的原則和方法2適當鼓勵學生適當改編原始問題3允許幾位學生聯合命題4支持學生“私下交流”5教師應給學生編擬的試卷以積極的評價6學生試卷作為師生珍貴的教與學的資源主張25：統計到位 適當的統計，對數學教學是很有意義的，數學教師要舍得在這方面花時間，同時要科學分析統計數據，采取相應的積極而有效的教學手段，促進教學質量的提高。 每次單元小測或考試，對學生的錯題進行統計，設計一個表格，橫向為各題題