1、第4章大氣折射大氣折射是一個重要的傳播現象。大氣是個不均勻介質，無線電波在大氣屮傳播時，射線路徑不是直 線，而是一條曲線或折線；傳播的速度也不再等于真空中的光速，短波傳播的速度變慢了，或者說，與真 空比較，無線電波在大氣中傳播時產生了額外的時延。由于大氣折射指數隨時間和空間作規則的和隨機的 復雜變化，產生多種多樣的大氣折射現象。在衛星通信、無線電定位、地面微波和超短波通信屮，無線電 波的大氣折射效應都是個必須處理的重要問題。4.1準均勻介質與射線準均勻介質是指這樣的介質：在與波長相當的空間范圍內，折射指數隨空間坐標的變化遠遠小于折射 指數本身。這種定義可以用嚴格的數學語言來表達，即滿足以下關系

2、的傳播介質被稱為準均勻介質：x/1 « 1(4.1)其中，"為在介質屮某空間點上的折射指數，久為在該介質屮傳播的無線電波的波長，d/是在該點上取的 距離元，如是在該距離元上的折射率變化。式（4.1）也被稱為兒何光學近似條件。在準均勻介質屮，無線電波的等相位面可以表示為4：cot 一 k(p(x, y, z) = c(4.2)其中，e為無線電波的角頻率，/為時間，比為真空中的波數，c則為常數，而°&,y,z）為空間坐標九y,z的任意連續函數，事實上，它代表空間中的等相位面，我們稱之為相函數。在同一時刻，c取不同的值， 在空間上可以得到一系列相互平行的等相位面

3、，它們組成空間曲面簇。對上式進行微分，并經過簡單的換算，可以得到：y, z)(4.3)此式的物理意義是，空間上任意一點的相函數的梯度，數值上應等于該點的折射指數。接著，我們再來討論相函數梯度的方向。首先研究射線的定義。如果有這樣一些曲線，在這些曲線上每一點的切線都垂直于通過該點的等相位 面，也即這些曲線上的每一點的切線都與該點的相函數的梯度方向一致，那么，稱這些曲線為射線。因此, 射線表達了等相面的移動方向，也即波的移動方向。射線清楚地描述了波傳播的軌道，故又稱為射線軌道。運用射線的概念，顯然，（4.3）可以寫成向量形式:(p = l0 n(4.4)其中，v。是相位梯度，切是沿射線的單位矢量。

4、顧名思義，無線電波本質上是波，但是，在準均勻介質屮，可以用所謂的射線概念來研究無線電波的 傳播，并能畫出明晰的射線的兒何圖像來表達無線電波的傳播情況，正如用光線的兒何圖形來表達光波的 傳播情況，稱為幾何光學。用幾何光學的方法研究波的傳播，可使波傳播問題變得明晰、可視、簡單和容 易求解。但是，兒何光學方法主要被用于求解波的相位、波速、空間距離、波的傳播方向、角度以及波的 極化等有關無線電波的兒何參數。而求解無線電波的幅度，還是主要依靠以麥克斯韋方程為基礎的波動方 法。只是在無損耗的介質中，可以借助于以射線為基礎的幾何光學來求解波的幅度。4.2無線電波在球面分層大氣中的折射123,4,54.2.1

5、球面分層大氣中的斯奈爾定律由上節可知，在準均勻介質中，等相位面是相互平行的空間曲面簇，所以，無線電射線（無線電波傳播方向）應是連續的曲線簇，射線是連續的曲線。同樣，根據式（4.4）,在均勻介質中，相函數梯度為常 矢量，也就是說，射線是一條直線。平均而言，地球大氣的折射指數的空間分布，可以近似地認為是球血分層均勻的，也就是說，在相同 的海拔高度上，折射指數相等，而與地面水平坐標無關，另外，大氣作為傳播介質，通常也滿足兒何光學 近似條件。在局部空間范圍內，這些假定是成立的?？梢宰C明，在球面分層大氣屮，我們有4,nr cos 0 = % cos &（）（4.5）這就是對于球面分層大氣的斯奈爾

6、定律，如圖4所示，其中，倉=。+ %為射線出發點t到地心的距離,d為地球半徑，屁為射線出發點t的海拔高度，為丁點的折射指數，0（）為射線出發點的視在仰角，即 t點射線切線的仰角；而廠，n和&則分別為射線上觀察點q到地心的距離，折射指數和射線仰角， 廠=倉+力，力為觀察點q離射線出發點t的高度。4.2.2射線描跡為了清楚地描述射線的軌道，如圖4所示，在己知，%和的情況下，可用射線tq在地面上的 投彫距離d和觀察點q的海拔高度力之間的函數關系來代表射線的軌跡方程，一組d和h的數據，唯-哋 確定射線上對應點的空間位置?，F在來求解這個函數關系。圖4.1球面分層大氣中的射線描跡由圖4可以看出,d

7、d - r() d0(4.6)dr = dh = tan&x rd（j）所以，(4.7)d = p-cotodh jo （）其屮，為射線出發點t的海拔高度，勺為最終觀察點的海拔高度，cote 二cos&0-11/2-cos2 &o(4.8)423射線彎曲射線的彎曲程度可以用射線彎曲角來衡量。所謂的射線彎曲角是指射線上指定兩點上的切線之間的夾 角。如圖所示，射線出發點t與射線上q點之間的彎曲角是廠，彎曲角其實就是，從射線出發點t到射 線上觀察點q,射線切線偏轉的角度。根據圖4.1的幾何關系，我們容易導出，dt =-cotox（4.9）n2 t；g備cot（4.10）其中，

8、心為射線出發點t的海拔高度，勺為最終觀察點的海拔高度，d/d/2為大氣折射指數沿高度的梯 度。式中的負號意味著，射線軌道向上凸起時，如圖4.1所示，彎曲角7為正值，與此相應的折射指數梯 度如/d/2v0,即折射指數隨高度而降低；相反，射線軌道下凹，彎曲角7為負值，相應于折射指數梯度 dn/dh>0f即折射指數隨高度而增加。射線彎曲的程度與折射指數梯度的絕對值成正比。當dn/dh = 0 時，即在均勻大氣中，r = 0,此時射線軌道是一條直線，射線沒有彎曲。4.2.4波速、時延、無線電距離在非色散介質中傳播吋，無線電波的相速與群速（波包或能量傳播的速度）是相等的。如前所述，無 線電波在對流

9、層介質中的實際的傳播速度為n其中，c為真空中的光速，大約為3xl05公里。所以，如圖4所示，無線電波沿射線經歷c這段弧長所費的時間，即時延差，應為：fdl1八”dt = xncscdh（41）c! n c那么，從出發點t沿著射線軌道到達終點（高度為勺）的吋延應為:ncscodh（42）以下，我們要注意區分無線電距離（視在距離）、兒何距離、射線距離等三個不同的距離概念。因此，從出發點t沿著射線軌道到達終點（高度為人）的無線電距離定義為:（4.13）ncscodh無線電距離心也稱為視在距離，它是無線電定位設備（如雷達）所感受到的距離，光學上稱為光學距離。無線電距離包含了傳播介質對波傳播速度的減慢以

10、及傳播介質對射線軌道的彎曲等兩種影響。再者，從射線起始點t到終點的兒何距離（真實距離）/?0,如圖4.1所示，應是：屁=彳+ （% +勺尸一2的+勺）cos0（44）（4 j 5）（46）rocos/?幾何距離/?o是從射線出發點到射線終點的貢線幾何距離，是不包含任何折射影響的真實距離。另外，從射線起始點t沿著射線軌道到終點的射線距離（射線幾何距離）應該是，件二匸心 j'csco 必（4.17）射線距離包含了傳播介質對射線軌道折射彎曲的影響，但是不包含無線電波速度減慢的影響，所以,通常，無線電距離、射線距離和兒何距離三者z間有以下關系：4.2.5多普勒頻移誤差當以速度v運動的發射機向地

11、血接收機，或地血發射機向以速度為v運動的接收機發射頻率為辦的 無線電波時，接收機所感受到的頻率力并不等t/o；依據運動和速度的方向不同，力可以小于、等于或 大于辦。這種現象被稱為多普勒頻移現象。多普勒頻移/定義為：v = a-/o對于非均勻的切隨時間而變得傳播介質而言，多普勒頻移問題就比較復朵9,12。但是，對于不隨時間而變的穩定介質，可以證明，多普勒頻移可以表示為4：af_ ”辦叭/ = nt_c at其屮，比丁為移動目標所在位置的人氣折射指數，c為光速，/?&為移動目標與地面站z間無線電波射線路 徑的幾何距離，drjdt為射線幾何距離的變化率，即移動口標的速度向量在射線軌跡力向的分

12、速度。在真空屮，折射指數等于1,射線為直線，我們有r, =r°,其中a。是收、發信機之間的直線幾何距 離。因此，真空中的多普勒頻移為c dt其屮，dr（/dt是目標的速度向量在收、發信機之間連線方向上的分速度。因此，非均勻大氣的折射引起 的多普勒頻移誤差為：紂環7學-孕、 c i dt dt ）顯然，這種誤差是由于大氣折射效應引起的，因為射線的方向和射線的幾何距離都與大氣折射有關。4.3大氣折射的近似計算對于超短波以上頻率的無線電波，30公里高度的大氣層，其空氣密度已非常稀薄，折射率只有45n 單位，折射指數梯度已接近于零，所以在30公里高度以上的大氣層屮，折射不再發生，彎曲角已達到

13、飽 和，射線已不再彎曲而成為直線。當射線的一個端點處于離地面30公里以上高度的位置且地面的視在仰角0 > 10°時，我們可以用所 謂的天文折射公式準確預測彎曲角了 13,14,t = nsxlo6 cot0,弧度（4.18）其屮，為地面折射率，以n單位計。該近似公式的誤差通常不會大約20角秒。謝益溪6利用彎曲角在大約30公里高度上達到飽和以及在這樣的高度上大氣非常穩定的經驗事實， 證明，當射線的一個端點處于離地面30公里以上高度的位置，且地面的視在仰角滿足5° <0 <10°時, 可以用以下公式準確預測彎曲角t ,t =（ns -25）xlo_6

14、cot0,弧度（4.19）該近似公式的誤差通常不會大約20角秒。謝益溪7$還證明，當射線的一個端點處于離地面30公里以上高度的位置，且地而的視在仰角滿 足1° <（） <10°時，可以用以下公式準確預測彎曲角(4.20)(4.21)t = nsxio6 cot x ）,弧度x .10_31-1.1363exp（-17.79sin %）丿=1rtt；sin &（）該近似公式的誤差通常不會大約20角秒?？傊斏渚€的一個端點處于離地面30公里以上高度的位置時，可以用以下公式準確預測大氣折射的彎曲角,nvxl0-6 cot x b(), 1° <

15、;<5°t = j(nv-25)x10-6 cot(), 5° <<10° ,弧度(4.22)n$xl0“cot&o，>10°其中,101 一 1.1363 exp(-17.79 sin &()sin2 %以上公式的優點是，第一，只需要地面折射率而不必知道折射率沿髙度分布的知識，就可預測計算折 射的彎曲角，而地面折射率的全國分布已經有成熟的統計數據；第二，計算十分簡便；第三，近似程度也 較高，20角秒的誤差已經能夠滿足無線電通信設計計算和一般無線電定位的精度要求。彎曲角萬既是衡量射線彎曲程度的獨立參數，也是計算其它

16、射線參數的中間參數。例如，通過彎曲角 2可以計算仰角折射誤差£：t 一 arctan一 cos r-sinr tan &() n17tan + sin r 一 cos r tann(4.23)通過彎曲角t可以計算地心角0 :(4.24)并且通過彎曲角t述可以計算距離折射誤差4,7,8 o另外，正如下節所示，射線曲率的討論將引申出兩種等效方法，它們為無線電通信工程設計計算和電 磁場理論研究都帶來極大的方便。4.4球面分層大氣中的射線曲率和曲率半徑按微分兒何的定義，在射線軌跡上某點的射線曲率7為:dr(y = dl(4.26)其屮，m射線路徑元，dr為射線元兩端點上的射線切線z間

17、的夾角，即射線路徑元的彎曲角。所以，射線曲率是單位弧長所對應的射線切線的彎轉角。顯然（7就是前面討論個的彎曲角的微分，根據式（4.9）,并作一些近似，我們可以得到（j1 dn 八dncos&()n dhdh(4.27)在上式后面的近似中，應用了料=1和等兩個條件，在地面無線電通信中，大多數情況下這些近似都是滿足的。 射線的曲率半徑。與曲率7互為倒數，所以,(4.28)1dndh注意到，曲率和曲率半徑表達式前面的負號，它是由彎曲角的定義引入的，其意義與彎曲角的情況一 樣。折射指數隨高度的遞降，產生正的曲率和曲率半徑，對應于射線向上凸起；折射指數隨高度增加，產 生負的曲率和曲率半徑，這對應

18、于射線下凹。折射指數梯度為零時，曲率為零，曲率半徑為無窮大，射線為直線。必須著重指出的是，在折射指數梯度為常數的線性大氣中，由式(4.27)和式(4.28)可以看出，由于如/d/2 為常數，所以射線上每點的曲率和曲率半徑都是一樣的，射線軌道是個圓弧；而在折射指數梯度不等于常 數的非線性大氣中，射線軌道整體上不會是圓弧。4.5等效球面地球及其應用限制4本節討論等效地球半徑、等效地球半徑因子和等效地球的問題，它們在無線電通信工程實踐中用得很 多，為工程設計計算帶來很大的方便性。本節將討論它們的來源、適用范圍和局限性。4.5.1球面分層均勻線性大氣dndh(4.25)大多數情況下，在以上各節的討論屮

19、，我們假設大氣是球面分層均勻的，只要求英折射指數梯度滿足幾何光學近似， 至于該梯度隨高度如何變化，并未作任何限制。在這一節和下一節我們將研究一種特殊情況，即假定大氣 仍然是球面分層均勻的，但折射指數是高度力的線性函數，也就是說，大氣折射指數梯度其中,g為常數。我們把這種大氣稱為球面分層均勻的線性大氣。在地面無線電通信中,無線電波只限于在1公里厚的貼地低層大氣中傳播，實踐證明，在如此薄的大氣層中，線性大氣的假定是 成立的。4.5.2等效地球半徑和等效地球半徑因子均勻大氣(折射指數為常數)中的斯奈爾定律可以表示為:cos% = rcosoh cos % = 1 cos 0(4.29)i其屮，金=。

20、+力0，廠=必+力，佩為射線出發點的海拔高度，g為地球半徑，力為射線軌道上的觀察點 的海拔高度。在均勻大氣中，射線是一條直線，上述方程是個直線方程。另一方面，對于球面分層均勻(在每一球面上折射指數是相同的，但對于不同的球面，折射指數是不 相等的)線性大氣而言，其折射指數和折射率可以分別表示為：n = /?0 + gh(4.30)n = n°+gh(4.31)其中，, no和分別為射線出發點的折射指數，折射率和海拔高度；g為折射率梯度，以n/km計, 折射指數梯度g和折射率梯度g均為常數，g = 10&g, n/km(4.32)并進一步考慮到，在低層大氣屮，/?«/o

21、,則式(4.5)所示的球面分層均勻線性大氣屮的斯奈爾定律可以改寫為：其中,1 +"丄+工h/cos& =u «0>cos 0(-re = "j = ©«)z0 %k -"一 &14- xag%(4.34)(4.35)以上兩式中，仏被稱為等效地球半徑，心被稱為等效地球半徑因子。対于地面折射率n = 33 n單位、折射率梯度g = 39n/km的標準大氣而言，心二4/3, /; =8475km,這種情況常常被認為是標準的平均 的大氣情況。對比式（4.33）與式（4.29）,可以看出，它們在形式上是完全類似的。若使用q

22、代替地球的真實半徑倉后，射線在這種以乙為半徑的等效地球上均勻大氣屮的傳播，便等價于射線在真實地球上折射指數球面 分層均勻線性大氣中的傳播。這種等效，在實際應用中具有重要的方便性，因為在等效地球的情況下，不 必考慮射線的彎曲，射線是直線，所有幾何光學參數的計算都變得十分簡便。r如圖4.2所示，令s（）為真實地球，so'為等效地球，在真實地球中的射線（圓弧曲線）為tp,在等效 地球中的射線（直線）為tp', p點在真實地球中的高度為力、仰角為&, p點在等效地球中的高度h'=h.ct圖4.2對于真實地球和等效球面地球的射線仰角0 = 0o所以，在這兩種情況屮，在各自

23、的射線上，若射線出發點和初始仰角相同，則在兩射線的対應點上，各自的高度和各自的仰角應彼此相等。通常，把這種以0為半徑的假想地球稱為等效地球。 我們知道，在均勻大氣中，射線軌道是直線。在等效地球上空，大氣是均勻的，所以射線是直線，射線的曲率為零，所以射線描跡以及射線兒何參數的計算都變得非常簡單，這就是引入等效地球的關鍵好處?？梢宰C明，等效地球上均勻大氣情況下的地面（等效地球表面）曲率與射線（直線）曲率之差，以及 真實地球上球面分層均勻線性大氣情況下的地面（真實地球表面）曲率與射線（圓?。┣手?，兩者是 相等的。4.5.3等效球面地球的應用限制等效球面地球方法把真實地球大氣屮的復雜的彎曲射線變成

24、了直線，使得射線參數的計算變得非常簡 單、直觀，所以，在工程實踐中有非常廣泛的用途。參考文獻己經詳細地研究了等效地球方法的適用范圍及其限制。這里不再重復敘述這些研究。其總的結論是，在貼近地面的線性大氣中，可以用等效球面地球法計算 近地面大氣中射線的角度、角度差、射線距離、兒何距離、距離差、地面距離、高度、高度差等射線參數。 但是，真實射線的彎曲角、曲率、曲率半徑，地心角和無線電距離等射線參數是不能用等效球面地球法來 計算的。在等效球面地球法中，大氣已被虛擬為均勻大氣，射線己變成直線，其曲率和曲率半徑自然與真 實射線不同；在真實地球的情況中，射線的地心張角0 = &-&。+萬，其

25、屮&為射線彎曲角，而在等效地球的情況屮，射線彎曲角為0,所以其射線的地心張角0二&-&（）,所以彼此自然不會相等；另外，在等 效球面地球中，我們并沒有定義該虛擬均勻大氣的折射指數是什么，所以，在此情況下的無線電距離已沒 有意義。4.6等效平面地球及其應用限制4等效平面地球是處理低層大氣中無線電波折射的另一個簡便方法，在討論大氣波導傳播和理論研究 中，有較多的應用。因為，理論研究中，處理平面問題比處理球面問題耍方便得多。本節將討論等效平而 地球的來源、適用范圍和局限性。461等效平面地球在平面分層均勻大氣屮，折射指數是平面地上高度z的函數，n = n（z）,此時，斯奈爾定

26、律為，72（）cos &（）二 h（z） cos 0（4.36）其中，和&0分別為射線出發點（z = 0）的折射指數和射線仰角，"（z）和&為射線上觀察點（z = z） 的折射指數和射線仰角。另一方面，在真實地球上折射指數球面分層大氣屮，折射指數舁是球面上高度力的函數,n =這種情況下的斯奈爾定律可以寫為，（h % cos % = n（/z） 1 + cos &（4.37）i ro丿可以看出，如果在上式屮令zm(z) = n(z) 14-一i roj其中，加(z)被稱為修正折射指數，顯然，m0 = m(0) = /?(0) = /10 ,那么，式(4.

27、37)就變成了類似于平 而分層均勻大氣中的斯奈爾定律(4.39)對比式(4.39)與式(4.36),我們可知，如果引入式(4.38)所示的修正折射指數加(z)的話，那么，射線在等效平面地球上修正折射指數平面分層的線性大氣中的傳播，便等效于射線在真實地球上折射指數 球面分層的線性大氣屮的傳播。圖4.3真實地球球面分層大氣與等效平面地球平面分層大氣中的射線如圖4.3所示，令真實地球地面為s,等效平面地球地面為9,射線初始出發點為t,初始仰角為, 那么，圓弧tr便是真實地球上折射指數球面分層均勻線性大氣中的射線軌跡，該軌跡上r點的射線仰角 為&、高度為力；與此相對應，圓弧tr，便是平面地球上

28、修正折射指數平面分層均勻線性大氣中的射線軌 跡，該軌跡上r，點的射線仰角為&'=&、高度為z = h。圓弧tr與圓弧tr，的圓心在垂直于圓弧切線te 的cc5±,它們可以具有不同的半徑。4.6.2等效平面地球的射線曲率和曲率半徑已經證明,如圖4.3所示，平面地球上修正折射指數平面分層均勻線性大氣中射線軌跡上r點的 彎曲角：(4.40)t 60圓弧tr，的曲率是,dmdh，1 dm(j =m dh在上式后面的近似屮，應用了 = i和&o=(r等兩個條件，在地面無線電通信屮，大多數情況下這些近似都是滿足的。此式與式(4.27)類似，只是將修正折射指數加)替

29、代折射指數h(/?) o這也說明加(力在等效平血地球上平血分層均勻大氣屮的意義等同于真實地球上球血分層均勻大氣屮折射指數斤(/?)。將式(4.38)代入式(4.41),并應用z = hyz/rg «1的條件，則等效射線的曲率又可以表示為1'1 dn'+ uo dh 丿cos& = f 1 dnn十uo dh)(4.42)所以等效射線的曲率半徑為,(4.43)11 dn 1 /q dh它與等效地球地面的曲率半徑互為相反數，即絕對值相等、符合相反。除超折射的情況外，通常，等效球 面地球是向上凸起的，即具有正的曲率半徑和正的曲率；而在平面地球上修正折射指數平面分層均

30、勻大氣 屮的等效射線的曲率與曲率半徑則為負值，這意味著該等效射線是下凹的，與圖4.3所示一樣。正如以上所述，在平面地球上修正折射指數平面分層均勻大氣中的等效射線的曲率和曲率半徑與等效 球面地球的曲率和曲率半徑互為相反數。這個事實是容易理解的，因為等效球面地球法是在保證相對曲率 不變的前提下，虛擬地改變地球的曲率以把射線拉成直線(曲率為零)；而等效平面地球法是保證相對曲 率不變的前提下，虛擬地改變射線的曲率以把地球表面變成平面(曲率為零)。4.6.3等效平面地球法的應用限制等效平面地球法把球面分層介質中的無線電波傳播問題變成了平面分層介質中的傳播問題，使問題得 到簡化和易于求解，在許多理論研究中

31、有廣泛的應用。參考文獻已經詳細地研究了等效平面地球法的適用范圍及其應用限制。這里不再重復敘述這些研究。其總的結論是，在低層近地面的線性大氣中，可以用等效平面地球法計 算近地血大氣中射線的角度、角度差、無線電距離、射線距離、幾何距離、距離差、地面距離、高度、高 度差等射線參數。但是，真實射線的彎曲角、曲率、曲率半徑和地心角等射線參數是不能用等效平面地球 法來計算的。在等效平面地球法中，真實的球面地球已被虛擬為平面地球，為了適應相對曲率不變的原則, 在此情況下的射線曲率自然發生了變化，不同于真實射線的曲率；在等效平而地球法川，地而已被虛擬成 平面，在此情況下，地心角已沒有意義。4.7不同大氣狀態下

32、的射線與等效地面正如上節所述，在貼近地面的低層大氣層內，折射指數梯度可以認為是個常數。更清楚地說，這是指, 在一定的時間范圍內，在近地面大氣層內，不同高度上的折射指數梯度都相等。但是，隨著天氣的變化， 折射指數梯度是會隨時間變化的，變化范闔可以是很寬的，折射率梯度g可以從正值變化到遠小于一157n 單位。在這種情況下，在真實地球真實大氣中的射線、等效球面地球的半徑、等效平面地球中的射線將會如 何變化呢？4.7.1真實地球上球面分層線性大氣中的射線在真實地球與真實大氣的情況下，地面是固定的，地球的曲率半徑d和射線的曲率半徑p分別為：a = 6370 kmi106p = (4.44)尸 dn/dh

33、 dn/dh在線性大氣中，折射率梯度等于常數，由上式可以看出，此時，在射線軌道上的任何點上射線的曲率半徑 都是一樣的，所以射線是個圓弧，圓的屮心就在射線出發點和終點連線的垂直線上，圓的半徑由式(4.44) 確定。因此，線性大氣中的射線描跡是輕而易舉的?，F在，我們定義以下典型的大氣折射情況： 負折射射線曲率半徑p<0,射線為曲線，下凹；這對應于dn/dh>0,即折射率隨高度而 增大。 無折射射線曲率半徑p = g,射線為直線；這對應于dn1dh = 0,即折射率是個常數。也 就是說，在均勻大氣中，沒有折射，射線自然是條直線。 標準折射射線曲率半徑p = 4a,射線為曲線，上凸；這對應

34、于必= -39n/km,折射 率隨高度而降低。 臨界折射射線曲率半徑p = a,射線為曲線，與地面平行；這對應于dn/dh = -157 n/km, 折射率隨高度而降低。 超折射一一射線曲率半徑p<a,射線為曲線，上凸；這對應于dw/c加v-157n/km,即折射 率隨高度而降低。與上述五種典型的大氣折射類型相對應的射線軌跡如圖4.4所示，相關的射線參數如表4.1所示。此 外，在無折射與標準折射之間，還存在一種次折射狀態，此時射線曲率小于標準折射時的曲率；在標準折 射與臨界折射之間，還存在一種過折射狀態，此時射線的曲率大于標準折射時的曲率，但是仍小于地球的 曲率。射線圖4.4真實地球上球

35、面分層均勻線性大氣中的射線1:負折射；2：無折射；3：標準折射；4：臨界折射；5：超折射表41真實地球時射線與折射率梯度序號大乞折射率梯度折射類型射線曲率半徑射線屬性地球半徑n/kma = 6370 km1dn/dh>0負折射p < 0下凹恒定2dn/dh = o無折射p = oo直線恒定-39< j/v/j/z<0次折射4a < p <oo上凸恒定3dn 1 dh = 39標準折射p = 4a上凸恒定-51<dn/dh<-39過折射a < p<4a上凸恒定4dn/dh = -57臨界折射p- a平行地而恒定5n/d/y157趨折射p

36、 <a上凸恒定4.7.2等效球面地球上均勻大氣中的射線正如式（4.5）節所述，應用等效球面地球的概念之后，等效地球上的大氣就變成了均勻介質，射線成 為一條不變的直線（射線起點與終點的直接連線），真實大氣折射率梯度的變化在等效地球半徑中體現。在現在的情況中，等效地球半徑乙是可變的，而不是射線的曲率（t或曲率半徑，一°一八(4.45) _ l + axl0“xdn/d/7f(7 = 0p = 8其中，f 1lr (4.46)1 + dxlo" xn/必稱為等效地球半徑因子。等效球面地球及其射線如圖4.5所示。圖屮t和r分別是射線的起點和終點，具有陰影的2號等效地 球表面是

37、真實地球地面，而f和&是t和r在真實地面的投影。等效地球的球面可由通過f和r，的一系 列圓弧來表示，其圓心在t，和r，的中垂線上，半徑如式（4.45）所示。圖4.5中的第一到第五號射線分別對應于負折射、無折射、標準折射、臨界折射和超折射。負折射時 等效地球凸得最高，無折射時等效地球的曲率與真實地球相等，臨界折射吋等效地球表面為平血，而超折 射時等效地球表面則為凹面了。負折射時，射線最靠近地面；無折射時與真實地球時的情況一樣；臨界折 射時射線與地面平行；超折射時，射線離地面最遠，這些結論與真實地球的情況是一致的，這是由于保持 相對曲率不變的緣故，在等效地球上，射線與地面的距離應該與真實地

38、球時相等。等效球面地球的曲率半徑與折射率梯度的關系如表4.2所示。射線2地而圖4.5等效地球上均勻大氣中的射線1：負折射；2：無折射；3：標準折射；4：臨界折射；5：超折射表4.2等效球面地球與折射率梯度序號大乞折射率梯度折射類型等效地球半徑等效地球等效地球屬性n/km半徑因子1dn/dh>0負折射re < ake < 1上凸2dn/dh = o無折射re = ake = 1上凸-39<dn/dh<0次折射a < re <4a/31< <4/3上凸3dn/dh = -39標準折射re = 4g/3ke =4/3上凸-57<dn/dh&

39、lt;-39過折射4a/3<re < oo4/3 < ke v 8上凸4dn/d/? = -157臨界折射re =°°匕=8直線5dn/dh<-157超折射re<0ke<0下凹注：q為真實地球半徑4.7.3等效平面地球上平面分層線性大氣中的射線在這種情況下，如圖4.6所示，地而是固定的平面，而射線則是其曲率隨折射率梯度變化的圓弧，它 們的起始點是t、終點是r。射線圓弧的曲率半徑(4.47)11adm/dh io'6 xdm /dh 1 +axi06 xdn/dh其中，加為修正折射指數，m為修正折射率，m =(m-l)xl06o或者

40、，近似地，我們有106dn/d + 157km(4.48)射線圓弧的圓心在tr的中垂線上，所以，在等效平面地球上的射線描跡是很容易的。射線地面圖46等效平面地球上平面分層線性大乞中的射線1:負折射；2：無折射；3：標準折射；4：臨界折射；5：超折射在等效平面地球的情況下，如圖4.6所示，當c/n/必= -157n/km （臨界折射）時，射線圓弧的曲率 半徑為無窮大，射線是一條直線，它與等效平面地球表面平行；當大氣折射率梯度dn/dh>-l51 n/km 時，射線圓弧的曲率半徑為負值，射線是下凹的圓弧；當dn/dh<-l57 n/km時，射線圓弧的曲率半徑 為正值，射線是上凸的圓弧。

41、當dn/dh = owkm時，射線圓弧的曲率半徑為負值，射線是下凹的圓弧， 絕對值等于地球半徑。在等效平面地球的情況下，也是負折射時射線最靠近地面，超折射時離得最遠。在這種情況下的射線 參數與折射率梯度的關系如表4.3所示。表43等效平面地球時射線與折射率梯度序號大氣折射率梯度折射類型修正折射率梯度射線曲率半徑射線屬性n/kmdm / dhp'1dn/clh>0負折射dm/dh>l57-p'< a下凹2dn/clh = 0無折射dm/dh = 51-p'= a下凹39vdn/dv0次折射s<dm/dh<57a < -p'< 4cd3下凹3dn / dh = -39標準折射dm !dh = p'=4al3下凹一 157vdn/d/7v-39過折射0<dm/dh<s4g/3 v -p'< 00下凹4dn/dh = -151臨界折射dm/dh=0p'= 00直線5dn/clh<-5