1、1rddcbaodrd=rrd圖1rrd圖 2rrd圖 3rrd圖 4rrd圖 5rrd圓的總結一 集合：圓：圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合二 軌跡：1、到定點的距離等于定長的點的軌跡是：以定點為圓心，定長為半徑的圓；2、到線段兩端點距離相等的點的軌跡是：線段的中垂線；3、到角兩邊距離相等的點的軌跡是：角的平分線；4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一

2、條直線三 位置關系：1 點與圓的位置關系:點在圓內 dr 點 a在圓外2 直線與圓的位置關系:直線與圓相離 dr 無交點直線與圓相切 d=r 有一個交點直線與圓相交 dr+r外切（圖 2）有一個交點 d=r+r相交（圖 3）有兩個交點 r-rdr+r內切（圖 4）有一個交點 d=r-r內含（圖 5）無交點 dr-r精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 10 頁 - - - - - -

3、 - - -2ocdaboedcbafedcbaocbaodcbaocbaocbao四 垂徑定理 :垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧推論 1：（ 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共 4 個定理，簡稱2 推 3 定理：此定理中共5 個結論中，只要知道其中2 個即可推出其它3 個結論，即：ab是直徑ab cdce=de推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在o中，ab cd五 圓心角定理六 圓周角定理圓周角定理：同一條弧所對的

4、圓周角等于它所對的圓心的角的一半即： aob和acb是所對的圓心角和圓周角aob=2 acb圓周角定理的推論：推論 1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧即：在o中， c、d都是所對的圓周角c= d推論 2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑即：在o中， ab 是直徑或 c=90 c=90 ab是直徑推論 3：三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形?bcbd?acad圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等此定理也稱1 推 3 定理，即上述四個結論中，只要知道其中的

5、1 個相等，則可以推出其它的3 個結論也即：aob= doe ab=de oc=of ?baed精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -3pbaonmao即：在 abc中， oc=oa=obabc是直角三角形或 c=90 注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。七 圓內接四邊形圓的內接四邊形定

6、理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角。即：在o中，四邊形abcd 是內接四邊形c+ bad=180 b+d=180 dae= c八 切線的性質與判定定理（1）判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即： mn oa 且 mn 過半徑 oa外端mn是o 的切線（2）性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論 1：過圓心垂直于切線的直線必過切點推論 2：過切點垂直于切線的直線必過圓心以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心過切點垂直切線中知道其中兩個條件推出最后一個條件mn是切線mn oa切線長定理 : 從圓外一點引圓的兩條切線，

7、它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即： pa 、 pb是的兩條切線pa=pb po平分 bpa九 圓內正多邊形的計算（1）正三角形在o 中abc是正三角形，有關計算在rtbod中進行， od:bd:ob=1:3:2精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -4dcbaoecbadobaoslbao（2）正四邊形同理，四邊形的有

8、關計算在rtoae中進行， oe :ae:oa=（3）正六邊形同理，六邊形的有關計算在rtoab中進行， ab:ob:oa=十、圓的有關概念 1 、三角形的外接圓、外心。用到：線段的垂直平分線及性質 2 、三角形的內切圓、內心。用到：角的平分線及性質 3 、圓的對稱性。中心對稱軸對稱十一、圓的有關線的長和面積。 1 、圓的周長、弧長 c=2r, l=r 2 、圓的面積、扇形面積、圓錐的側面積和全面積s圓=r2， s扇形=s圓錐= lr21母線底面圓lr2+ r底面圓 3 、求面積的方法直接法由面積公式直接得到間接法即：割補法（和差法）進行等量代換十二、側面展開圖：圓柱側面展開圖是形, 它的長是

9、底面的 ,高是這個圓柱的；圓錐側面展開圖是形，它的半徑是這個圓錐的，它的弧長是這個圓錐的底面的。十三、正多邊形計算的解題思路：1:1:21:3 : 2精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -5正多邊形等腰三角形直角三角形。連 oab轉化od作垂線轉化可將正多邊形的中心與一邊組成等腰三角形，再用解直角三角形的知識進行求解。圓一、精心選一選，相信

10、自己的判斷！(每小題 4 分，共 40 分)1. 如圖，把自行車的兩個車輪看成同一平面內的兩個圓，則它們的位置關系是（）a. 外離b. 外切c. 相交d. 內切2. 如圖，在 o中， abc=50 ，則 aoc等于（）a50b80c90d1003. 如圖， ab 是 o 的直徑， abc=30 ，則 bac =（）a90 b60 c45 d30 （）4.如圖， o 的直徑 cdab， aoc=50，則 cdb 大小為( )a25b30c40d505.已知 o 的直徑為12cm，圓心到直線l 的距離為6cm，則直線l 與 o 的公共點的個數為（）a2b1c0d不確定6. 已知 o1與 o2的半徑

11、分別為3cm 和 7cm，兩圓的圓心距o1o2=10cm，則兩圓的位置關系是（）a外切b內切c相交d相離7. 下列命題錯誤的是（）a經過不在同一直線上的三個點一定可以作圓b三角形的外心到三角形各頂點的距離相等c平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧d經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心8. 在平面直角坐標系中，以點（2，3）為圓心， 2 為半徑的圓必定（）a與 x 軸相離、與y 軸相切b與 x 軸、 y 軸都相離c與 x 軸相切、與y 軸相離d與 x 軸、 y 軸都相切9 已知兩圓的半徑r 、r 分別為方程0652xx的兩根，兩圓的圓心距為1，兩圓的位置關系是 ( ) a 外離 b內切

12、c相交d外切10. 同圓的內接正方形和外切正方形的周長之比為（）a1b21c12d12211. 在 rtabc 中， c=90 ，ac=12，bc= 5，將 abc 繞邊 ac 所在直線旋轉一周得到圓錐，則該圓錐的側面積是（）a25b65c90d13012. 如圖， rtabc 中， acb=90 ， cab=30 ，bc=2，o、h 分別為邊 ab、ac 的中點，將 abc 繞點 b 順時針旋轉120到 a1bc1的位置，則整個旋轉過程中線段oh第 1 題圖aboc第 2 題圖第 3 題圖12ahboc1o1h1a1c第 4 題abocd精品學習資料 可選擇p d f - - - - - -

13、 - - - - - - - - 第 5 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -6所掃過部分的面積（即陰影部分面積）為（）a b +cd +7378 34378 3433二、細心填一填，試自己的身手！（本大 題共 6小 題，每小題 4 分，共 24 分）13.如圖，pa、pb分別切o于點a、b，點e是o上一點，且o60aeb，則p_ _度14.在 o 中，弦 ab 的長為 8 厘米，圓心o 到 ab 的距離為3 厘米，則 o 的半徑為

14、_ .15. 已知在 o 中，半徑 r=13，弦 abcd，且 ab= 24，cd=10，則 ab 與 cd 的距離為_.16. 一個定滑輪起重裝置的滑輪的半徑是10cm，當重物上升10cm 時，滑輪的一條半徑oa繞軸心 o 按逆時針方向旋轉的角度為_ (假設繩索與滑輪之間沒有滑動) 17. 如圖，在邊長為3cm 的正方形中，p 與 q 相外切，且p 分別與 da、dc 邊相切， q 分別與 ba、bc 邊相切，則圓心距pq 為_18. 如圖， o 的半徑為3cm，b 為 o 外一點， ob 交 o 于點 a，ab=oa，動點 p 從點a 出發，以 cm/s 的速度在 o 上按逆時針方向運動一

15、周回到點a立即停止當點p 運動的時間為 _s 時， bp 與 o 相切三、用心做一做，顯顯自己的能力！（本大 題共 7 小題， 滿分 66 分）19. （本題滿分8 分）如圖，圓柱形水管內原有積水的水平面寬cd= 20cm，水深 gf= 2cm.若水面上升2cm（ eg=2cm） ，則此時水面寬ab 為多少？edcfobag20. （本題滿分8 分）如圖， pa，pb 是 o 的切線，點a，b 為切點， ac 是 o 的直徑， acb=70 求 p 的度數baop第 13 題圖17 題圖第 18題圖cbadqpopcba精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -

16、 - - - 第 6 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -7oadbch21. （本題滿分8 分）如圖，線段ab 經過圓心o，交 o 于點 a、c，點 d 在 o 上，連接 ad、bd，a=b=30 ，bd 是 o 的切線嗎？請說明理由22.? o的一條弦，垂足為，交 ? o于點，點在? oodabcde上（，求的度數；odeb（2）若，求的長 (10 分)3oc5oaab23. 如圖，、是? o的兩條弦，延長、交于點，連結、交于點

17、abcdabcdpadbc，求的度數 (8 分 )e30po50abcoa24.(12 分) 如圖，在 abc 中， ab=ac，d 是 bc 中點， ae 平分 bad 交 bc 于點 e，點o 是 ab 上一點， o 過 a、e 兩點 , 交 ad 于點 g，交 ab 于點 f（1）求證： bc 與 o 相切；（2）當 bac=120 時，求 efg 的度數25. （本題滿分12 分）已知：如圖abc 內接于o，ohac 于 h，過 a 點的切線與oc 的延長線交于點d， b=30 ， oh= 5請求出：3（1） aoc 的度數；（2）劣弧 ac 的長（結果保留 ） ；（3）線段 ad 的

18、長（結果保留根號）.ebdcaoabpdcoebacdegof第 24 題圖精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -826. （本題滿分12 分）如圖，在平面直角坐標系中，m 與 x 軸交于 a、b 兩點， ac 是m 的直徑，過點c 的直線交x 軸于點 d，連接bc，已知點m 的坐標為（ 0， ） ，直線 cd 的函數解3析式為 y= x5

19、33求點 d 的坐標和 bc 的長；求點 c 的坐標和 m 的半徑；求證： cd 是 m 的切線初中數學圓知識點總結1、圓是定點的距離等于定長的點的集合2、圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合3、圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合4、同圓或等圓的半徑相等5、到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓6、和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線7、到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線8、到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線9、定理不在同一直線上的三點確定一個圓。10、垂徑定理垂直于弦

20、的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧11、推論 1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧12、推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等13、圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形14、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等15、推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等16、定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半amobcdyx精品學習資料 可選擇p

21、d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -917、推論： 1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等18、推論： 2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90 的圓周角所對的弦是直徑19、推論： 3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形20、定理：圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角21、直

22、線l 和o 相交dr直線 l 和o 相切 d=r直線 l 和o 相離dr22、切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線23、切線的性質定理圓的切線垂直于經過切點的半徑24、推論 1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點25、推論 2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心26、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角27、圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等28、弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角29、推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等30、相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等31、推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項32、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項33、推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等34、如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上35、兩圓外離dr+r兩圓外切 d=r+r兩圓