1、§ 1第一類曲線積分的計算設函數f x,y,z在光滑曲線I上有定義且連續，I的方程為xx tyy ttot Tzz tTx, y,z dstox t , y t , z t、x'2 t y'2 tz'2 t dt。特別地，如果曲線I為一條光滑的平面曲線，它的方程為yx ， a x b，那么有f (x, y)ds f x ,(x)1'2(x)dx。Ia例：設 I 是半圓周 x a cost, y a sin t, 0 t 。求(x2 y2)ds。例：設I是曲線y2 4x上從點0(0,0)到點A(1,2)的一段，計算第一類曲線積分yds。2 2 2 2 2

2、例：計算積分|Xds，其中I是球面x y z a被平面x y z 0截得的圓周。例：求I | x y ds，此處I為連接三點0 0,0 , A 1,0，B 1,1的直線段。§ 2第一類曲面積分的計算-曲面的面積(1)設有一曲面塊S，它的方程為z f x, y 。f x, y具有對x和y的連續偏導數，即此曲面是光滑的，且其在XY平面上的投影xy為可求面積的。曲面塊的面積為S.1 fx2 fy2dxdy。xy則該(2)若曲面的方程為x x u,v y y u,v z z u,v令E2 2XuYuZ：，FXuXvYu YvZuZv，G2Xv2Yv2 Zv，則該曲面塊的面積為S.EGF2du

3、dv。例:求球面x22 2y za2含在柱面2 x2yax a0內部的面積。例:2求球面x2 2y z2a含在柱面2 x2 yax a0內部的面積。二化第一類曲面積分為二重積分(1)設函數 x, y, z為定義在曲面S上的連續函數。曲面S的方程為z f x, y 。 f x, y具有對x和y的連續偏導數，即此曲面是光滑的，且其在XY平面上的投影xy為可求面積的。則x, y,z dSx, y,xyx,y 1 fx2 f：dxdy。(2)設函數x, y, z為定義在曲面S上的連續函數。若曲面的方程為XX u,vyy u,vzz u,v令E2 2XuYu2Zu，FXuXvYu YvZuZv2 2，G

4、 XvYv2Zv，則x, y,zdSX u,v , Y u,v , zu, vEGF 2dudv。S例:計算x yz dS， S是球面x22 2 2Y z a，z 0。S例：計算 zdS，其中S為螺旋面的一部分:Sx u cosvy u sinv 0 u a, 0 v 2。z v注：第一類曲面積分通過一個二重積分來定義，這就是為什么在第一類曲面積分中用“二重積分符“的原因。例：1=x2y2dS，S是球面，球心在原點，半徑為 R。S§ 3第二類曲線積分一變力做功和第二類曲線積分的定義1. 力場F(x,y) P(x, y) , Q(x,y)沿平面曲線L從點A到點B所作的功。先用微元法，再

5、用定義積分的方 法討論這一問題，得ir uuW ? F ds。Ab2. 第二型曲線積分的定義定義1設L是一條光滑或逐段光滑曲線，且設f x,y,z是定義在L上的有界函數，將 L沿確定方向從起點A開始用分點A xi, yi, z分成n個有向弧段AjA 1，直至終點B。且設xxj 1A。在每一弧段Aa上任取一點R j,j, j ，作和式：nf Rj 1nXfX 。j17171jj 1其中A %,為起點A，A 1 xn 1 , yn 1, zn1為終點B。設max A A 1，這里AjAj 1表示有向線段AAi ,的長度。若當0時，和 有極限1，且它與L的分法無關，也與點R的選擇無關，則稱1為f x

6、, y, z dx沿曲線L按所述方向的第二類曲線積分，記作I L f x,y,z dx 或 I Ab f x, y,zdx。注:如果向量f x, y, z P x, y,z ,Q x, y, z , R x, y,z ，則向量沿曲線L按一定方向的第二類曲線積分為I l P x,y,z dx Q x, y,z dy R x,y, z dz。注：第二類曲線積分是與沿曲線的方向有關的。這是第二類曲線積分的一個很重要性質，也是它區別于第一類曲線積分的一個特征。注：在平面情況下，若一人立在平面上沿閉路循一方向作環行時，如閉路所圍成的區域靠近這人的部分總在他的左方，則這個方向就算作正向，否則就算作負向。這

7、時只要方向不變，曲線積分的值是與起點的位置無關的。二 第二類曲線積分的計算設曲線Ab自身不相交，其參數方程為:xxt,yyt,zztt0tT。且設Ab是光滑的。設當參數t從to調地增加到T時，曲線從點 A按一定方向連續地變到點B。設函數P x, y, z定義在曲線 Ab 上，且設它在 Ab 上連續。則ToP x, y,z dx Pxt,yt,zt x'tdt °( *)Lto注：(*)積分下限必須對應積分所沿曲線的起點，上限必須對應終點。注:如果向量f x, y, z P x, y,z ,Q x, y, z , R x, y,z ，則向量沿曲線L按一定方向的第二類曲線積分為l

8、 P x, y,z dx Q x, y, z dy R x, y,z dzTo P x t , y t , z t x' t Q x t ,y t , z t y' t R x t ,y t , z t z' t dtto例：計算積分l xydx (y x)dy, L的兩個端點為 A( 1, 1), B( 2,3 ).積分從點A到點B或閉合，路徑為(1) 直線段AB ；(2) 拋物線 y 2(x1)21 ；(3) 折線閉合路徑 A( 1, 1 ) D( 2,1 ) B( 2,3 )A( 1, 1 )。.例：計算積分l xdy ydx,這里L :(1) 沿拋物線y 2x2

9、從點O( o , o ) 到點B( 1 , 2 )；(2) 沿直線y 2x從點O o , o ) 到點B( 1 , 2 )；(3 )沿折線封閉路徑 Qo,o) A(1,o )B(1,2 )O(o,o).例：計算第二型曲線積分I = l xydx (x y)dy x2d z,其中L是螺旋線x acost，y asi nt, z bt， 從t o到t的一段。三兩類曲線積分的聯系第一類曲線積分與第二類曲線積分的定義是不同的，由于都是沿曲線的積分，兩者之間又有密切聯系。兩者之間的聯系式為P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dzAbP x, y,z cos t, xQ

10、 x, y, z cos t, y R x, y, z cos t,z ds例：證明：對于曲線積分的估計式為Pdx Qdy LM ,式中L為曲線段的長度M max . P2 Q2 。x,y l利用這個不等式估計：Iydx xdy1 R(yX y2 R2 2廠x xy y并證明lim |R 0。RS的公式例：設平面區域 D有一條連續閉曲線 L所圍成，區域 D的面積設為S，推導用曲線積分計算面積 為：?xdy ydx。§ 4第二類曲面積分一 曲面的側的概念1 單側曲面與雙側曲面在實際生活中碰到的都是雙側曲面，至于單側曲面也是存在的，牟彼烏斯帶就是這類曲面的一個典型例子。2 .曲面的上側和

11、下側，外側和內側雙側曲面的定向：曲面的上、下側，左、右側，前、后側.設法向量為n (cos , cos , cos ),則上側法線方向對應第三個分量0,即選“+”號時，應有cos 0，亦即法線方向與 Z軸正向成銳角.類似確定其余各側的法線方向.圭寸閉曲面分內側和外側.二第二類曲面積分的定義先討論由顯式方程z z x,y表示的無重點的光滑曲面 S,并設S在XY平面上的投影為邊界由逐段光滑曲線T所圍成的區域xy。設選定了曲面的一側，從而也確定了它的定向。現在將有向曲面 S以任何方法分割為 n小塊Si i 1,2 L , n。設Gi為Si在XY平面上的投影，從而也得到區域 Xy的一個相應分割。如果取

12、的是上側，這時所有Gi算作正的。如取下側，這時所有Gi算作負的。 設有界函數f x, y,z定義在S上，在每一小塊 Sj任取一點P i, i, i，作和式nf i , i , i Dii 1其中Di表示Gi的面積。由上述所見，Di是帶有符號的，它們的符號是由所選的側來決定的。 設di為S的致 敬，記 max di 。若當 0時， 有確定的極限I，且I與曲面分割的方法無關，也點 R的選擇無i關，則稱I為f x, y, z dxdy沿曲面S的所選定的一側上的第二類曲面積分，記為I f (x, y,z)dxdy。S注：有時也會碰到幾個積分連在一起的情形，例如:P x, y, z dydz Q x,

13、y, z dzdx R x, y,z dxdy。S注：如果沿曲面的另一側積分，則所得的值應當變號。三兩類曲面積分的聯系及第二類曲面積分的計算 第二型曲面積分與第一型曲面積分的關系 設n為曲面S的指定法向，則P(x,y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y, z)dxdySP(x, y, z) cos(n, x) Q(x, y, z) cos(n, y) R(x, y, z) cos(n, z) dS .S定理1 設R(x, y, z)是定義在光滑曲面 S : z z(x, y),(x, y)Dxy上的連續函數，以S的上側為正側(即 cos(n,z) 0),貝V有R(x, y,

14、z)dxdy R x, y,z(x, y) dxdy .SDxy類似地,對光滑曲面S : x x( y, z),(y,z) Dyz,在其前側上的積分P(x, y, z)dydz PSDyzx(y,z), y , z dydz.對光滑曲面S : y y(z, x),(z,x)Dzx,在其右側上的積分Q(x, y, z)dzdx Q x, y(z, x), z dzdx.SD yz計算積分 s Pdydz Qdzdx Rdxdy時，通常分開來計算三個積分SPdydz,SQdzdx,sRdxdy.推論曲面為此,分別把曲面S投影到YZ平面，ZX平面和XY平面上化為二重積分進行計算 投影域的側由曲面 S

15、的定向 決定設P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)是定義在光滑曲面 S : z z(x, y), (x, y)上的連續函數，則P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdySS P(x, y, z) cos(n, x) Q(x, y, z) cos(n, y) R(x, y, z) cos(n, z) dSP(x, y, z(x, y)zx(x, y) Q(x, y,z(x, y)zy(x, y) R(x, y, z(x, y)dxdy.DXYS的方向為上側，則等式前取“ + ”號；曲面S的方向為下側，則等式前取“一”號

16、例:計算積分 s xyzdxdy,其中S是球面x2y2 z21在x 0, y 0部分取外側。例:計算積分：(x y)dydz (y z)dzdx2(z 3x)dxdy，為球面 x2 2z R取外側解:對積分 o (x y)dydz,分別用前和后記前半球面和后半球面的外側則有D yz前：x . R2 y2z2,后： x Jr2 y2 z2,(x y)dydz =對積分一.R2 y2 z2 y dydz、R2 y2 z2 dydzDyzz2R2(y(yy rcos , z rsinDyz: y2Dyz :z2R2 .z2dydz2do.R2 r2 rdr032 2 R r 234r3z) dzdx ,分別用右和yR2z2x2,yR2z2z)dydzUR2 z2 x2 z dzdxDzx2x2 z2 R2.R2 z2 x2 dzdx對積分匸，(z左