1、 1 §6.4 數列的遞推關系與通項 考情考向分析 由數列的遞推關系求通項是高考的熱點，考查學生的轉化能力和綜合應用能力，一般以解答題形式出現，中檔難度 1遞推數列 (1)概念：數列的連續若干項滿足的等量關系ankf(ank1，ank2，an)稱為數列的遞推關系由遞推關系及k個初始值確定的數列叫遞推數列 (2)求遞推數列通項公式的常用方法：構造法、累加(乘)法、歸納猜想法 2數列遞推關系的幾種常見類型 (1)形如anan1f(n)(nN*，且n2) 方法：累加法，即當nN*，n2時，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1. (2)形如anan 1f(n)(nN*且n2)

2、方法：累乘法，即當nN*，n2時，ananan 1·an1an 2··a2a 1·a1. 注意：n1不一定滿足上述形式，所以需要檢驗 (3)形如anpan1q(nN*且n2) 方法：化為anqp 1p?an1qp 1的形式令bnanqp 1，即得bnpbn1，bn為等比數列，從而求得數列an的通項公式 (4)形如anpan1f(n)(nN*且n2) 方法：兩邊同除pn，得anp nan1pn 1f?n?p n，令bnanp n，得bnbn1f?n?p n，轉化為利用累加法求bn?若f?n?p n為常數，則bn為等差數列，從而求得數列an的通項公式 概念方

3、法微思考 用構造法求數列通項一般構造什么樣的數列？這體現了何種數學思想方法？ 提示 構造等差或等比數列，體現了轉化與化歸思想 2 題組一 思考辨析 1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“×”) (1)在數列an中，a11，ann1 nan1(n2)，則an1n.( ) (2)在數列an中，a12，an1an3n2，則an32n2n2.( ) (3)已知在數列an中，a11，前n項和Snn2 3an，則ann?n1? 2.( ) (4)已知數列an的前n項和為Sn，且滿足log2(Sn1)n1，則an2n.( × ) 題組二 教材改編 2P52公式推導過程在數列an中，

4、已知a11，an1a nnn 1，那么an_. 答案 1n 3P41T13若數列an滿足a11，annan1(n2，nN*)，則數列an的通項公式為_ 答案 ann?n1? 2 4P68T14在數列an中，a11，an1an1na n，則an_. 答案 2n2n 2 解析 an1an1na n可化為1an 11a nn， 當n2時，1a 21a 11，1a 31a 22，1a 41a 33， 1a n1an 1n1. 累加得1a n1a 112(n1)， 1a nn?n1? 21a 1n2n2 2， 又a11也符合上式， an2n2n 2. 題組三 易錯自糾 5在斐波那契數列1,1,2,3,5

5、,8,13，中，an，an1，an2的關系是_ 3 答案 an2anan1 6已知數列an滿足a11，an13an2，則an_. 答案 2×3n11 解析 因為an13an2， 所以an113(an1)， 所以an11an 13， 所以數列an1為等比數列， 公比q3， 又a112，所以an12×3n1， 所以an2×3n1 1. 題型一 累加法、累乘法求數列的通項公式 1已知在數列an中，a10，an1an2n1，求an. 解 由已知得anan12n3， 當n2時，an(anan1) (an1an2)(a2a1)a1(2n3)(2n5)10(n1)2. 當n1時

6、，a10符合上式，所以an(n1)2，nN*. 2數列an滿足a112，anan11n2 n(n2，nN*)，求數列an的通項 解 由anan11n2 n(n2，nN*)且a112， anan11n2 n1n 11n an1an21n 21n 1， ， a2a111 2， 各式累加整理得an321n，n取1時，32112a1， 所以an321n(nN*) 3已知在數列an中，a12，且nan1(n2)an，求an. 4 解 由已知得an1a nn2 n，當n2時，ananan 1·an1an 2··a2a 1·a1n1n 1·nn 2·

7、;·31·2n(n1)， 當n1時，a12也符合上式，所以ann(n1)(nN*) 思維升華(1)求形如an1anf(n)數列的通項公式，此類題型一般可以利用累加法求其通項公式，即an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1，累加求得通項公式； (2)求形如an1a nf(n)數列的通項，此類題型一般可以利用累乘法求其通項公式，即ananan 1·an1an 2··a2a 1·a1，累乘求得其通項 題型二 構造等差數列求通項 例1(1)已知在正項數列an中，Sn表示前n項和且 2Snan1，則an_. 答案 2n1 解析 方法一

8、 由已知 2Snan1，得當n1時，a11； 當n2時，anSnSn1，代入已知得 2SnSnSn11，即Sn1 (Sn1)2. 又an>0 ，故Sn1 Sn1 或Sn11 Sn(舍)， 即Sn Sn11(n2)， 由定義得 Sn是以1為首項，1為公差的等差數列， Snn.故an2n1. 方法二 2Snan1，4Sn(an1)2， 當n2時，4Sn1(an11)2， 兩式相減，得4an(an1)2(an11)2， 化簡可得(anan1)(anan12)0， an>0，anan12， 2a1a11，a11. 數列an是以1為首項，2為公差的等差數列， an2n1. (2)已知在數列a

9、n中，a12，an12an3·2n，則an_. 答案 2n·?32n12，nN* 解析 在遞推關系an12an3·2n的兩邊同除以2n1，得an12n 1an2 n3 2， 令bn1an12n 1，則bn1bn32，b11， 5 所以bn是以1為首項，3 2為公差的等差數列 所以bn132(n1)32n12， 故an2n·?3n1 2，nN*. 思維升華 (1)形如an1panq·bn的遞推關系可構造等差數列 (2)對于含an，Sn混合型的遞推關系，可通過an? a1，n1，SnSn1，n2消去an或Sn. 跟蹤訓練1 (1)在數列an中，已知

10、a11，an12anan 2，則an_. 答案 2n 1，nN* 解析 由已知可知an0， 1an 11a n12，即1an 11a n12， 又1a 11， ?1a n是以1為首項，12為公差的等差數列，1a n1a 1(n1)×1 2n1 2，an2n 1，nN*. (2)已知在數列an中，a115，且當n2時，有an1an4anan10，則an_. 答案 14n 1(nN*) 解析 由題意知an0，將等式an1an4anan10兩邊同除以anan1得1a n1an 14，n2， 則數列?1a n為等差數列，且首項為1a 15，公差d4， 故1a n1a 1(n1)d54(n1)

11、4n1， an14n 1(nN*) 題型三 構造等比數列求通項公式 例2(1)已知數列an滿足a12，an12an2，求數列an的通項公式 解 an12an2， an122(an2)， 又a124， an2是以4為首項，2為公比的等比數列， 6 an24·2n1，an2n12(nN*) (2)已知數列an中，a11，an·an1?1 2n，記T2n為an的前2n項的和，bna2na2n1，nN*，求數列bn的通項公式 解 an·an1?12n，an1·an2?12n1， an2a n12，即an212an. bna2na2n1， bn1b na2n2a2

12、n1a2na2n 112a2n12a2n1a2na2n 11 2， a11，a1·a212，a212，b1a1a232. bn是首項為32，公比為12的等比數列 bn32×?12n132 n(nN*) 思維升華形如anpan1q(pq0)型的遞推關系，可構造等比數列求通項公式 跟蹤訓練2(1)已知數列an滿足an13an12，a11，求數列an的通項公式 解 設an13(an1)，解得3，則an313(an13)，令bnan3， 則數列bn是以b1a132為首項，1 3為公比的等比數列，所以bn23n 1，所以an323n 1(nN*) (2)(2018·蘇州、無

13、錫、常州、鎮江調研)已知n為正整數，數列an滿足an>0,4(n1)a2nna2n10，若a12，求an. 解 由已知可得a2n1n 14·a2n n， an>0， an 1n12·ann， 又a12， ?ann是以a12為首項，2為公比的等比數列， 7 ann 2n，ann·2n( n N*) 1已知a13，an13 n13n2an(n1，nN*)，則an_. 答案 63n1 解析 當n2時， an3?n1?13 ?n1?2·3?n2?13 ?n2? 2··3×213×22 ·3132a1

14、3 n43n1·3 n73n4··58·2 5·363n1. a13也符合上式，所以a n63n1. 2已知在數列an中，a112，an1an 14n21，則an_. 答案 4 n34n2(nN*) 解析 由已知可得 an1an 14n2112? ?12n 112n1， 令n1,2，(n1)，代入得(n1)個等式累加，即 (a2a1)(a3a2)(anan1) 12?113?1315? ?12n 312n1， ana112? 112n1，ana1121 2·12n1， 即an 114n24 n34n2(nN*)?經驗證a112也符合.

15、 3在數列an中，若a12，an1anln?11n，則an_. 答案 2lnn(nN*) 解析 當n2時，anan1ln? ?11n1an 1lnnn1， 8 an1an2lnn1n 2， an2an3lnn2n 3， ， a2a1ln2， 累加可得ana1ln?nn 1×n1n 2×n2n 3××2 a1lnn， an2lnn，nN*(經驗證a12也符合此式) 4已知各項均為正數的數列an的前n項和滿足Sn>1，且6Sn(an1)(an2)，nN*，則數列an的通項公式為_ 答案 an3n1 解析 由a1S116(a11)(a12)， 解得a11

16、或a12.由已知a1S1>1，得a12. 又由an1Sn1Sn 16(an11)(an12)16(an1)(an2)， 得an1an30或an1an. 因為an>0，故an1an不成立，舍去 因此an1an30，即an1an3， 從而an是公差為3，首項為2的等差數列，故an的通項公式為an3n1. 5已知在數列an中，a156，an113an?12n1，則an_. 答案 32 n23 n(nN*) 解析 在an113an?12n1的兩邊同乘以2n1得 2n1·an12 3·(2nan)1，令bn2nan. 則b153，bn123bn1， 于是可得bn1323(

17、bn3)， bn343×?23n12?2 3n， 9 bn32?2 3n， anbn2 n3?12n2?13n32 n23 n(nN*) 6(2018·江蘇省南通市啟東中學月考)設數列an的前n項和為Sn，且滿足Sn2an2，則a8a 6_. 答案 4 解析 Sn2an2， a12a12，解得a12， anSnSn1(2an2)(2an12)，n2， 整理，得anan 12， an是首項為2，公比為2的等比數列， a8a 6282 64. 7設數列an滿足a1a，an1can1c，cN*，其中a，c為實數，且c0，則數列an的通項公式為_ 答案 an(a1)cn11(nN*

18、) 解析 an11c(an1)， 當a1時， an 1是首項為a1，公比為c的等比數列， an1(a1)cn1，即an(a1)cn11. 當a1時，an1仍滿足上式 數列 an的通項公式為an(a1)cn11(nN*) 8已知數列an的前n項和為Sn，且anSnn，則數列an的通項公式為_ 答案 an1?12n(nN*) 解析 anSnn， an1Sn1n1. 得an1anan11， 2an1an1，2(an11)an1， 又a1a11，a1121， an11an 112. 10 設cnan1，首項c1a111 2. 數列cn是以12為首項，12為公比的等比數列 故cn?12·?12

19、n1?12n， ancn11?12n(nN*) 9已知數列an滿足an1an1an1an 1n(nN*)，且a26，則數列an的通項公式為_ 答案 ann(2n1)，nN* 解析 由an1an1an1an 1n，得(n1)an1(n1)an(n1)，當n2時，有an1n 1ann 11n 1， 所以an1n?n1 ?an?n1? n1n?n1 ?1n 11n， 由累加法，得當n3時，ann(2n1) 把n1，a26代入an1an1an1an 1n，得a11， 經驗證a11，a26均滿足ann(2n1) 綜上，ann(2n1)，nN*. 10已知數列an滿足a12，an11an1a n(nN*)

20、，則該數列的前2 019項的乘積a1·a2·a3··a2 019_. 答案 3 解析 由題意可得a21a11a 13，a31a21a 212，a41a31a 313，a51a41a 42a1， 數列an是以4為周期的數列，而20194×5043，a1a2a3a41， 前2019項的乘積為1504·a1a2a33. 11已知在數列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n2，q0) (1)設bnan1an(nN*)，證明bn是等比數列； (2)求數列an的通項公式 (1)證明 由題設an1(1q)anqan1(n2)，得a

21、n1anq(anan1)，即bnqbn1(n2) 又b1a2a11，q0， 所以bn是首項為1，公比為q的等比數列 11 (2)解 由(1)，知a2a11， a3a2q， ， anan1qn2(n2) 將以上各式相加，得ana11qqn2(n2) 所以當n2時， an? 11qn11 q，q1，n，q1. 上式對n1顯然成立 所以an? 2qn1q1 q，q1，n，q1(nN*) 12已知在數列an中，a11，且滿足遞推關系an12a2n3anman 1(nN*) (1)當m1時，求數列an的通項公式； (2)當nN*時，數列an滿足不等式an1an恒成立，求m的取值范圍 解 (1)因為m1，

22、由an12a2n3an1an 1(nN*)，得 an1?2an1?an1?an 12an1， 所以an112(an1)， 又a1120， 所以數列an1是以2為首項，2為公比的等比數列 于是an12×2n1，所以an2n1(nN*) (2)因為an1an，而a11，知an1， 所以2a2n3anman 1an，即ma2n2an， 由題意，得m(an1)21恒成立 因為an1，所以m2213，即滿足題意的m的取值范圍是3，) 13(2019·鹽城模擬)已知數列an滿足：a13，an2an13(1)n(n2)a1，ak2ak3成等差數列，k2，k3N*，k2<k3，則k3k2_. 答案 1 解析 根據題意，數列an滿足： 12 a13，an2an13(1)n(n2)， 則a22a132×333，a32a232×339， a42a332×9315，其中a1，a3，a4為等差數列的前3項， 又由akn是等差數列，且k11，則有k23，k34， 則k3k21. 14對于正項數列an，定義Hnna12a23a3na