1、相似基本模型三等角型相似三角形典型例題【例1】如圖，等邊 ABC中，邊長為6, D是BC上動點，/ EDF=60（1）求證： BDE CFD5(2) 當 BD=1 , FC =3 時，求 BE。(_)3【例2】嘉定區(qū)2009年一模（1）在厶ABC中，AB二AC = 5 , BC = 8，點P、Q分別在射線CB、AAC上（點P不與點C、點B重合），且保持 APQ二 ABC . 若點P在線段CB上（如圖10）,且BP=6，求線段CQ的長； 若BP = x , CQ二y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域;備用圖解：（1）ZAPQ+ZCFZB+ZBAP. ZaF/ABCj NEAP二也匚

2、QF* （1分）AZB=ZC. （1分）.CFQs 色 BAF* 門分）.CQ_CP門分）2-5一-CQ百*-吩/I%若點F在線伽上，由卻詐壽TEFnt, BC=Ef ACF=EC-EF=3-x, yvCQ=yj AE=5, 迸更F，即尸一詁亠管梵.故所求的函數(shù)關系式為尸-|sMx, 3w）.（吩 若點F在線段的延長線上，如圏.ZAPQ=ZAFBfZCFQ,ZABC=ZAPB+ZFAB» zafq=zabc*/. ZCPQ=ZFA£.又Y Z*EP=1BO° -ZABC, ZPCQISO -ZACE, ZABC=ZACB, AZAEP=ZFCQ. AA9CF

3、71;AFBA.二焉二誥* （1 分） VBF=s,匚F=BC+BP=S+x* AB=5,匚匸護 Ay84x 5 即尸害（»>Q） , （1S）（2）正方形ABCD的邊長為5 （如圖12）,點P、Q分別在直線CB、DC上（點P不與點C、圖12點B重合），且保持.APQ =90 .當CQ =1時，寫出線段BP的長（不需要計算過程，請直接寫出結果）< 2 >當點P在線段眈上BP=5,或BP=, （2分） 當尊在線段肌的延長線上，則點Q在線刪C的延長線上，EP二琴匡' 當直F在線段叨的延長線上，則點Q在線段DC的延長線上，BP=孚至.【例3】如圖，已知邊長為3的等

4、邊ABC，點F在邊BC上，CF = 1，點E是射線BA上一動點,以線段EF為邊向右側作等邊 EFG，直線EG,FG交直線AC于點M , N ,(1) 寫出圖八中與BEF相似的三角形；(2) 證明其中一對三角形相似；(3) 設BE =x,MN二y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍;(4) 若AE =1，試求GMN的面積.答：(1) BEFAME CFN GMN ;解:(3)B = Z A = 60° ,/ AEM+ / AME=120/ GEF = 60 °，/ AEM+ / BEF =120 °/ BEF = Z AME BEF AME(i)當點

5、E在線段AB上，點M、N在線段AC上時，如圖八,/ BEFAME , BE : AM = BF : AE ,-x2 3x 即: x : AM = 2 : (3-x) , AM =2同理可證 BEFCFN ; BE : CF= BF : CN ,2 即: x : 1 = 2 : CN , CN =-x-X2 +3x2/ AC=AM+MN+CN , 3=+ y +_xM口 圖x3 _3x2 +6x _4-y 二2x(ii)當點E在線段 AB上，點2 -(1 乞 3)G在厶ABC內時，如備用圖一,-x2 3x2同上可得：AM =, CN =2x-x2 3x 2 / AC=AM + CN- MN ,二

6、 3=+ y2x-N1分+1分cx3 -3x2 6x - 4(iii)當點E在線段 x2 -3x AM =22xBA的延長線上時，如備用圖二,CN =-x(0 ： x -1)1分+1 分/ AC= MN + CN AM , 3= y2+x2小x -3xx3 _3x2 +6x_4y 二(x>3)綜上所述：y2xx3"2 6x4(0 迫汨)1分+1分2x證：(2)在厶BEF與厶AME中,rx3 3x? +6x 4或二 y(x > 1)；2x(4) (i)當AE = 1時，.：GMN是邊長為1等邊三角形,1 、3、. 3S gmn二一 1 ;2 24(ii)當AE = 1時，.

7、GMN是有一個角為 y=9,NGQ2 2S.gmn9X：227. 38【例4】(2011年徐匯區(qū)一模25)如圖，在梯形ABCD中，AD / BC , AD =3 點M為邊BC的 中點，以M為頂點作 EMF = . B，射線ME交腰AB于點E，射線MF交腰CD于點F，聯(lián)結 EF (1) 求證： MEF BEM ;(2) 若厶BEM是以BM為腰的等腰三角形，求 EF的長；(BM=E附，EF=6;BM=BE時，EF=4.5)(3) 若 EF _CD，求 BE 的長.()川DBM C強化訓練: 1.如圖，在 ABC中，AB=AC=8 , BC =10 , D是BC邊上的一個動點，點 E在AC邊上,且.

8、ADE =/C 求證： ABDDCE ;如果BD =x， AE =y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量 x的定義域;當點D是BC的中點時，試說明厶 ADE是什么三角形，并說明理由.ACABC2.已知：如圖，在 ABC中，AB=AC=5，BC =6，點D在邊AB 上，DE _ AB，點E在邊BC上.又點F在邊AC上，且.DEF B 求證： FCEEBD ;(2)當點D在線段AB上運動時，是否有可能使 S fce =4S ebd 如果有可能，那么求出 BD的長.如果不可能請說明理由.3. 如圖，在 ABC中，AB=AC=5 , BC=6, P是BC上的一個動點(與B、C不重合)，PE丄AB與E,

9、PF 丄 BC 交 AC 與 F，設 PC=x，記 PE= yi, PF= y , PEF 的面積為 y(1) 分別求y1、y、y與x的函數(shù)關系式，并寫出 x的取值范圍； PEF能為直角三角形嗎？若能，求出CP的長，若不能，請說明理由。(3)若厶PEF為等腰三角形，求 PC的長。4、已知在等腰三角形 ABC中，AB二BC =4, AC =6 , D是AC的中點，E是BC上的動點（不與B、C重合），連結DE，過點D作射線DF，使.EDF二.A，射線DF交射線EB于點F , 交射線AB于點H （1）求證：CED s . ：ADH ;（2）設 EC 二 x, BF 二 y . 用含x的代數(shù)式表示BH

10、 ； 求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出 x的定義域.A1分1分1分(2)/ CED sADH蠱鳴 D是AC的中點,AC = 6 ,. AD = CD = 3，又/ C = x, AB = 4當H點在線段AB的延長線上時,x _334 BH '當H點在線段x 33 一4 -BH '.BH-4xAB上時， BH =4-9x過點D作DG LI AB ,交BC于點G.DG _CG _ CD "AB _ BC _當H點在線段1DG =2,BG =2AC 2AB的延長線上時，BH _ BF GD GF，9-4x_二22 - y解： AB 二 BC,. A - C : CDE EDF

11、 = A H - 又 EDF - A, . CDE = H CED s ：ADH 八Uo汰泡9-2x4當H點在線段AB上時,BHBF49x yGDGF ,'2y 28x -18(9yx : 49 -2x 42001年上海中考4.已知在梯形 ABCD 中，AD/ BC, AD v BC,且 AD = 5, AB= DC = 2.(1)如圖8, P為AD上的一點，滿足/ BPC=/ A. 求證； ABPs DPC 求AP的長.(2)如果點P在AD邊上移動(點P與點A、D不重合)，且滿足/ BPE=Z A, PE交直線BC于點E,同時交直線DC于點Q,那么當點Q在線段DC的延長線上時，設 A

12、P= x, CQ= y,求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出 函數(shù)的定義域；當CE= 1時，寫出AP的長(不必寫出解題過程)AD鏘：(1) AECD是梯形,AE=DC.V ZAEP+ZAPB+ZA-180 , ZArB+ZDPC+ZBPC=180c , ZBPC=ZAazkbf=Zbfc>/.AABPtoABFC.AP_AB 酊 AF_ 2 "CD-PD!即2 -5-AP解得：AFP或AFX(2) 由(1)可知：AABFcoADFQ.AP AB Br x 2"DQ=PDf即；獰祐？/ y=-IgH E (1 <x <4 ),當時，曲芒或3-岳.5. 已知在梯形

13、ABCD 中，AD / BC, AD V BC,且 BC =6, AB=DC=4，點 E 是 AB 的中點.（1）如圖，P為BC上的一點，且 BP=2 .求證： BEPs CPD ;（2）如果點 P在BC邊上移動（點 P與點B、C不重合），且滿足/ EPF = / C, PF交直線 CD 于點F，同時交直線 AD于點M，那么 當點F在線段CD的延長線上時，設 BP=X , DF=y，求y關于X的函數(shù)解析式，并寫出函 數(shù)的定義域；9 當S.dmf =；S.bep時，求BP的長.（第 25題圖）（備用圖）6、(2008年崇明一模)如圖，已知在厶 ABC中， AB=AC=6, BC=5 , D是AB上一點，BD=2 , E是BC上一動點，聯(lián)結 DE，并作.DEF二/B，射線EF交線段AC于F .(1) 求證： DBE ECF ;(2) 當F是線段AC中點時，求線段 BE的長；(2或3)25(3) 聯(lián)結 DF，如果 DEF與厶DBE相似，求FC的長.(2或 )8B E C7、等腰 ABC , AB=AC= 8,Z BAC=12