1、 數(shù)學物理方法 課程教學大綱一、課程說明（一）課程名稱：數(shù)學物理方法所屬專業(yè)：物理、應用物理專業(yè)課程性質(zhì)：數(shù)學、物理學學 分：5（二）課程簡介、目標與任務 這門課主要講授物理中常用的數(shù)學方法，主要內(nèi)容包括線性空間和線性算符、復變函數(shù)、積分變換和-函數(shù)、數(shù)學物理方程和特殊函數(shù)等，適當介紹近年來的新發(fā)展、新應用。本門課程是物理系學生建立物理直觀的數(shù)學基礎，其中很多內(nèi)容是為后續(xù)物理課程如量子力學、電動力學等服務，是其必需的數(shù)學基礎。這門課中的一些數(shù)學手段將在今后的基礎研究和工程應用中發(fā)揮重要的作用，往往構(gòu)成了相應領域的數(shù)學基礎。一般來講，因為同樣的方程有同樣的解，掌握和運用這些數(shù)學方法所體現(xiàn)的物理內(nèi)

2、容將更深入，更本質(zhì)。（三）先修課程要求，與先修課與后續(xù)相關課程之間的邏輯關系和內(nèi)容銜接本課程以普通物理、高等數(shù)學和部分線性代數(shù)知識為基礎，為后繼的基礎課程和專業(yè)課程研究有關的數(shù)學問題作準備，也為今后工作中遇到的數(shù)學物理問題求解提供基礎。（四）教材：數(shù)學物理方法楊孔慶編參考書：1. 數(shù)學物理方法柯朗、希爾伯特著 2. 特殊函數(shù)概論王竹溪、郭敦仁編著 3. 物理中的數(shù)學方法李政道著 4. 數(shù)學物理方法梁昆淼編 5. 數(shù)學物理方法郭敦仁編 6. 數(shù)學物理方法吳崇試編二、課程內(nèi)容與安排第一部分 線性空間及線性算子第一章 R3 空間的向量分析第一節(jié) 向量的概念第二節(jié) R3 空間的向量代數(shù)第三節(jié) R3 空

3、間的向量分析第四節(jié) R3 空間的向量分析的一些重要公式第二章 R3 空間曲線坐標系中的向量分析第一節(jié) R3 空間中的曲線坐標系第二節(jié) 曲線坐標系中的度量第三節(jié) 曲線坐標系中標量場梯度的表達式第四節(jié) 曲線坐標系中向量場散度的表達式第五節(jié) 曲線坐標系中向量場旋度的表達式第六節(jié) 曲線坐標系中Laplace（拉普拉斯）算符2的表達式第三章 線性空間第一節(jié) 線性空間的定義第二節(jié) 線性空間的內(nèi)積第三節(jié) Hilbert（希爾伯特）空間第四節(jié) 線性算符第五節(jié) 線性算符的本征值和本征向量第二部分 復變函數(shù)第四章 復變函數(shù)的概念第一節(jié) 映射第二節(jié) 復數(shù)第三節(jié) 復變函數(shù)第五章 解析函數(shù)第一節(jié) 復變函數(shù)的導數(shù)第二節(jié)

4、復變函數(shù)的解析性第三節(jié) 復勢第四節(jié) 解析函數(shù)變換第六章 復變函數(shù)積分第一節(jié) 復變函數(shù)的積分第二節(jié) Cauchy（柯西）積分定理第三節(jié) Cauchy（柯西）積分公式第四節(jié) 解析函數(shù)高階導數(shù)的積分表達式第七章 復變函數(shù)的級數(shù)展開第一節(jié) 復變函數(shù)級數(shù)第二節(jié) 解析函數(shù)的Taylor（泰勒）展開第三節(jié) Taylor展開的理論應用第四節(jié) 解析函數(shù)的Laurent（洛朗）展開第八章 留數(shù)定理第一節(jié) 留數(shù)定理第二節(jié) 留數(shù)的一般求法第三節(jié) 解析函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)第四節(jié) 留數(shù)定理在定積分中的應用第五節(jié) Hilbert（希爾伯特）變換第三部分 積分變換與函數(shù)第九章 Fourier（傅里葉）變換第一節(jié) Fourie

5、r級數(shù)第二節(jié) Fourier變換第三節(jié) Fourier變換的基本性質(zhì)第十章 Laplace（拉普拉斯）變換第一節(jié) Laplace變換第二節(jié) Laplace變換基本性質(zhì)第三節(jié) Laplace變換的應用第四節(jié) 關于Laplace變換的反演第十一章 -函數(shù)第一節(jié) -函數(shù)的定義第二節(jié) -函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié) -函數(shù)的導數(shù)第四節(jié) 三維-函數(shù)第五節(jié) -函數(shù)的Fourier變換和Fourier級數(shù)展開第四部分 數(shù)學物理方程第十三章 波動方程、輸運方程、Poisson（泊松）方程及其定解問題第一節(jié) 二階線性偏微分方程的普遍形式第二節(jié) 波動方程及其定解條件第三節(jié) 輸運方程及其定解條件第四節(jié) Poisson方程及其定

6、解條件第五節(jié) Laplace方程和調(diào)和函數(shù)第六節(jié) 三類方程定解問題小結(jié)第十四章 分離變量法第一節(jié) 齊次方程齊次邊界條件下的分離變量法第二節(jié) SturmLiouville（斯特姆-劉維爾）本征值問題第三節(jié) 非齊次方程齊次邊界條件下的分離變量法第四節(jié) 非齊次邊界條件下的分離變量法第五節(jié) 分離變量法小結(jié)第十五章 曲線坐標系下方程的分離變量第一節(jié) 球坐標系下方程的分離變量第二節(jié) 柱坐標系下方程的分離變量第三節(jié) 二階線性常微分方程的級數(shù)解法第十六章 球函數(shù)第一節(jié) Legendre（勒讓德）多項式第二節(jié) Legendre多項式的性質(zhì)第三節(jié) 具有軸對稱的Laplace方程的求解第四節(jié) 連帶Legendre函

7、數(shù)第五節(jié) 球函數(shù)第十七章 柱函數(shù)第一節(jié) Bessel（貝塞爾）函數(shù)第二節(jié) Bessel函數(shù)的遞推關系第三節(jié) 柱函數(shù)的定義第四節(jié) 整數(shù)階Bessel函數(shù)Jn( x )的生成函數(shù)第五節(jié) Bessel方程的本征值問題第六節(jié) 球Bessel函數(shù)*第十八章 Green（格林）函數(shù)法第一節(jié) 微分算子的基本解和Green函數(shù)的定義第二節(jié) Laplace算子的基本解第三節(jié) Laplace算子的Green函數(shù)第四節(jié) Laplace算子的鏡像Green函數(shù)法第五節(jié) Helmhotz（霍姆赫茲）算子的基本解第六節(jié) 輸運算子的Green函數(shù)第七節(jié) 波動算子的基本解（一） 教學內(nèi)容與學時分配本課程講授90學時（不包括習

8、題課）。學時分配及進度表周次內(nèi)容講授學時第一周-第四周第一章 R3 空間的向量分析§1.1 向量的概念 §1.2 R3空間的向量代數(shù)§1.3 R3空間的向量分析 §1.4 R3空間的向量分析的一些重要公式第二章 R3 空間曲線坐標系中的向量分析§2.1 R3空間中的曲線坐標系§2.2 曲線坐標系中的度量§2.3 曲線坐標系中標量場梯度的表達式§2.4 曲線坐標系中向量場散度的表達式§2.5 曲線坐標系中向量場旋度的表達式§2.6 曲線坐標系中Laplace（拉普拉斯）算符2的表達式第三章 線性空

9、間§3.1 線性空間的定義§3.2 線性空間的內(nèi)積§3.3 Hilbert（希爾伯特）空間§3.4 線性算符§3.5 線性算符的本征值和本征向量20第五周-第六周第四章 復變函數(shù)的概念§4.1 映射§4.2 復數(shù)§4.3 復變函數(shù) 第五章 解析函數(shù)§5.1 復變函數(shù)的導數(shù)§5.2 復變函數(shù)的解析性§5.3 復勢§5.4 解析函數(shù)變換第六章 復變函數(shù)積分§6.1 復變函數(shù)的積分§6.2 Cauchy（柯西）積分定理§6.3 Cauchy（柯西）積分

10、公式§6.4 解析函數(shù)高階導數(shù)的積分表達式10第七周-第九周第七章 復變函數(shù)的級數(shù)展開§7.1 復變函數(shù)級數(shù)§7.2 解析函數(shù)的Taylor（泰勒）展開§7.3 Taylor展開的理論應用§7.4 解析函數(shù)的Laurent（洛朗）展開第八章 留數(shù)定理§8.1 留數(shù)定理§8.2 留數(shù)的一般求法§8.3 解析函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)§8.4 留數(shù)定理在定積分中的應用§8.5 Hilbert（希爾伯特）變換15第十周-第十二周第九章 Fourier（傅里葉）變換§9.1 Fourier級數(shù)

11、67;9.2 Fourier變換§9.3 Fourier變換的基本性質(zhì)第十章 Laplace（拉普拉斯）變換§10.1 Laplace變換§10.2 Laplace變換基本性質(zhì)§10.3 Laplace變換的應用§10.4 關于Laplace變換的反演第十一章 -函數(shù)§11.1 -函數(shù)的定義§11.2 -函數(shù)的性質(zhì)§11.3 -函數(shù)的導數(shù)§11.4 三維-函數(shù)§11.5 -函數(shù)的Fourier變換和Fourier級數(shù)展開15第十三周-第十五周第十三章 波動方程、輸運方程、Poisson（泊松）方

12、程及其定解問題§12.1 二階線性偏微分方程的普遍形式§12.2 波動方程及其定解條件§12.3 輸運方程及其定解條件§12.4 Poisson方程及其定解條件§12.5 Laplace方程和調(diào)和函數(shù)§12.6 三類方程定解問題小結(jié)第十四章 分離變量法§13.1 齊次方程齊次邊界條件下的分離變量法§13.2 SturmLiouville（斯特姆-劉維爾）本征值問題§13.3 非齊次方程齊次邊界條件下的分離變量法§13.4 非齊次邊界條件下的分離變量法§13.5 分離變量法小結(jié)第十五章

13、曲線坐標系下方程的分離變量§14.1 球坐標系下方程的分離變量§14.2 柱坐標系下方程的分離變量§14.3 二階線性常微分方程的級數(shù)解法15第十六周-第十八周第十六章 球函數(shù)§15.1 Legendre（勒讓德）多項式§15.2 Legendre多項式的性質(zhì)§15.3 具有軸對稱的Laplace方程的求解§15.4 連帶Legendre函數(shù)§15.5 球函數(shù)第十七章 柱函數(shù)§16.1 Bessel（貝塞爾）函數(shù)§16.2 Bessel函數(shù)的遞推關系§16.3 柱函數(shù)的定義§

14、16.4 整數(shù)階Bessel函數(shù)Jn( x )的生成函數(shù)§16.5 Bessel方程的本征值問題§16.6 球Bessel函數(shù)*第十八章 Green（格林）函數(shù)法§18.1 微分算子的基本解和Green函數(shù)的定義§18.2 Laplace算子的基本解§18.5 Helmhotz（霍姆赫茲）算子的基本解§18.6 輸運算子的Green函數(shù)§18.7 波動算子的基本解15（二） 內(nèi)容及基本要求第一章R3空間的向量分析主要內(nèi)容：1. R3空間中的向量分析（§1.1） 2. R3空間中的向量代數(shù)與分析（§1.2、

15、§1.3） 3. R3空間中的向量分析的一些重要公式（§1.4） 【掌握】 1.向量的概念及運算規(guī)則；2.Einstein求和約定、Kronecker delta符號ij及Levicivita符號ijk的用法；3.標量場、向量場的定義及“del”算符的定義；4.R3空間中向量分析的一些基本運算公式及其推導方法； 【了解】 標量場的梯度、向量場的散度和旋度的定義。第二章R3空間曲線坐標系中的向量分析主要內(nèi)容：1.R3空間中的曲線坐標系及其度量（§2.1）（§2.2） 2.曲線坐標系中標量場的梯度（§2.3） 3.曲線坐標系中向量場的散度、旋度（&

16、#167;2.4）（§2.5） 4.曲線坐標系中Laplace算符2（§2.6） 【掌握】 1.R3空間曲線坐標系度量的概念及含義；2.曲線坐標系中標量場梯度的表達式；3.曲線坐標系中向量場散度的表達式；4.曲線坐標系中向量場旋度的表達式；5.曲線坐標系中Laplace算符2的表達式。 【了解】梯度、散度、旋度及Laplace算符2在正交曲線坐標系中表達式的推導過程，并能由此推出在直角坐標系、球坐標系及柱坐標系中的表達式。第三章線性空間主要內(nèi)容：1.線性空間的定義及其內(nèi)積（§3.1）（§3.2） 2.Hilbert空間的定義（§3.3） 3.常

17、見線性算符（§3.4） 4.線性算符的本征值與本征向量（§3.5） 【掌握】 1.線性空間的定義以及內(nèi)積和內(nèi)積空間的定義；2.Hilbert（希爾伯特）空間的定義；3.向量空間中線性算符及線性變換的定義，幾種簡單的線性算符的形式；4.線性算符的本征值及本征向量的定義及物理意義；5.本征值與本征向量的求解。 【了解】 1.施密特正交歸一化方法；2.幾種線性算符的證明過程。第四章復變函數(shù)的概念主要內(nèi)容：1.映射的概念（§4.1） 2.復數(shù)與復變函數(shù)（§4.2）（§4.3） 【掌握】： 1.映射的定義，掌握復變數(shù)、復變函數(shù)及區(qū)域的概念； 2.無窮運點

18、的定義； 3.幾種常見的初等函數(shù)的定義及性質(zhì)； 4.復數(shù)的幾何表示及其他表達式。【了解】： 1.復數(shù)的定義及其運算法則； 2.函數(shù)的多值性及處理辦法； 3.復球面的概念。第五章解析函數(shù)主要內(nèi)容：1.復變函數(shù)導數(shù)與解析性和復勢的概念（§5.1、§5.2、§5.3） 2.解析函數(shù)變換（§5.4） 【掌握】1.復變函數(shù)的極限及連續(xù)性的定義，導數(shù)的定義及求導的基本公式和規(guī)則；2.解析函數(shù)的定義、條件及解析函數(shù)實虛部的關系；【了解】1.復勢的概念； 2.保角（共型）變換的概念；第六章復變函數(shù)積分主要內(nèi)容：1.復變函數(shù)的積分（§6.1）（§6.2

19、） 2.Cauchy（柯西）積分定理及其公式（§6.3） 3.解析函數(shù)高階導數(shù)的積分表達式（§6.4） 【掌握】：1.復變函數(shù)積分的定義； 2. 利用Cauchy積分定理求解某些回路積分。【了解】： 1.復變函數(shù)積分的某些性質(zhì)；2.柯西積分公式的推導； 3.多連通區(qū)域柯西積分定理的推導。第七章復變函數(shù)的級數(shù)展開主要內(nèi)容：1.復變函數(shù)的級數(shù)（§7.1） 2.解析函數(shù)的Taylor（泰勒）展開（§7.2） 3.Taylor展開的理論應用（§7.3） 4.解析函數(shù)的Laurent（洛朗）展開（§7.4） 【掌握】1.冪級數(shù)的定義及收斂的概念

20、，2.解析函數(shù)的Taylor展開及Laurent展開的概念和展開方法； 3.函數(shù)孤立奇點的定義、奇點的類型、階數(shù)和特點； 4.復數(shù)級數(shù)的定義及收斂性的概念，收斂判據(jù)及收斂性質(zhì)，掌握函數(shù)項級數(shù)一致收斂的性質(zhì)。 【了解】 1.最大模定理；2.Liouville定理。第八章留數(shù)定理主要內(nèi)容：1.留數(shù)定理及其一般求法（§8.1、§8.2） 2.留數(shù)定理在實積分中的應用（§8.4） 3.希爾伯特變換（§8.5） ， 【掌握】1.留數(shù)定理的概念；2.極點的留數(shù)計算方法； 3.型積分、型積分、型積分、實軸上有單極點的函數(shù)積分的特點及計算方法。【了解】1.利用留數(shù)定理計

21、算某些其他類型積分的方法；2.解析函數(shù)在無窮遠點除的留數(shù)； 3.希爾伯特變換。第九章Fourier變換主要內(nèi)容：1.Fourier級數(shù)與變換（§9.1、§9.2） 2.Fourier變換的基本性質(zhì)（§9.3） 【掌握】有理分式的反演方法、延遲定理、位移定理、卷積定理。 【了解】延遲定理、位移定理及卷積定理。第十章Laplace變換主要內(nèi)容：1.Laplace變換與其基本性質(zhì)（§10.1、§10.2） 2.Laplace變換的反演（§10.3） 3.Laplace變換的應用（§10.4） 【掌握】延遲定理、位移定理及卷積定理。

22、 【了解】普遍反演公式。第十一章函數(shù)主要內(nèi)容：1.函數(shù)的定義與性質(zhì)（§11.1、§11.2） 2.函數(shù)的導數(shù)和三維函數(shù)（§11.3、§11.4） 3.函數(shù)的Fourier變換及Laplace變換（§11.5） 【掌握】1.-函數(shù)的定義及性質(zhì)；2.-函數(shù)的意義； 【了解】1.-函數(shù)的導數(shù)；2.普遍反演公式； 3.-函數(shù)的其他表達式。第十三章波動方程、輸運方程、泊松方程及其定解問題主要內(nèi)容：1.二階線性偏微分方程的普遍形式（§12.1） 2.波動方程及其定解條件（§12.2） 3.輸運方程及其定解條件（§12.3） 4

23、.泊松方程及其定解條件（§12.4） 5.三類方程定解問題小結(jié)（§12.6） 【掌握】1.比較簡單的幾類定解條件的形式及意義，問題適定性的意義；2.將某物理問題通過建立模型，利用物理規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)學物理方程的基本方法。【了解】數(shù)學物理方程(如弦的橫振動方程、桿的縱振動方程、熱傳導方程、膜的橫振動方程、電磁場的波動方程等)的推導過程。第十四章分離變量法主要內(nèi)容：1.直角坐標系中利用分離變量法求解方程（§13.1）（1.5學時） 2.Sturm-Liouville型方程的本征值問題（§13.2）（1.5學時） 3.不同邊界條件下的分離變量法（§13.

24、3、§13.4） 【掌握】1.通過求解有界空間的定解問題掌握分離變量（Fourier級數(shù)）法的基本要點；2.非齊次方程齊次邊界條件下的分離變量法；3.非齊次邊界條件下的分離變量法；4.利用Fourier積分法求解無界空間的定解問題。【了解】Sturm-Liouville型方程的本征值問題第十五章 曲線坐標系下方程的分離變量法主要內(nèi)容：1.Laplace方程在球坐標系下的分離變量（§14.1） 2.球坐標系下的分離變量（§14.1） 3.自Helmhotz方程導出Bessel方程（§14.2） 4.二階線性常微分方程的級數(shù)解法（§14.3） 【掌

25、握】 1.球坐標系下Laplace方程得出徑向方程與球函數(shù)方程的過程；2.柱坐標系下的分離變量過程；3.方程正常點與奇點的概念和含義；4.指數(shù)方程的概念和含義。 【了解】 Helmhotz方程在球坐標下的分離變量。第十六章 球函數(shù)主要內(nèi)容：1.Legendre多項式的定義、來源與主要性質(zhì)（§15.1、§15.2） 2.具有軸對稱的Laplace方程的求解（§15.3） 3.連帶Legendre函數(shù)的定義與性質(zhì)（§15.4） 4.一般球函數(shù)的性質(zhì)（§15.5） 【掌握】 1.Legendre多項式的來源；2.Legendre多項式一般形式；3.Legendre多項式的微分表達式和生成函數(shù)；4.Legendre多項式的遞推公式；5.