1、上海市浦東新區 2021 屆高三二模數學試卷2021.04一. 填空題（本大題共12 題， 1-6 每題 4 分， 7-12 每題 5 分，共 54 分）1. lim 2n1nn1x2. 不等式x10 的解集為3. 已知 an 是等比數列，它的前n 項和為sn ，且a34 ， a48 ，就 s54. 已知 f1 x 是函數f xlog 2 x1的反函數，就f1 25. x1 9 二項綻開式中的常數項為xx2cos6. 橢圓（為參數）的右焦點坐標為y3sinx2 y42 xy37. 滿意約束條件的目標函數f3x2 y 的最大值為8. 函數x 0y 0f xcos2 x3 sin 2 x ， x2

2、r 的單調遞增區間為9. 已知拋物線型拱橋的頂點距水面2 米時，量得水面寬為8 米，當水面下降1 米后，水面的寬為米10. 一個四周體的頂點在空間直角坐標系0,1,1、 1,1,0，就該四周體的體積為oxyz 中的坐標分別是0,0,0、 1,0,1、11. 已知f x 是定義在r 上的偶函數，且f x 在 0, 上是增函數，假如對于任意x1,2 ，f ax1f x3 恒成立，就實數a 的取值范疇是12. 已知函數f xx25x7 ，如對于任意的正整數n ，在區間1,n5 上存在 m1個 n實數 a0 、 a1 、a2 、 am ，使得f a0 f a1 f a2 f am 成立，就m 的最大值

3、為二. 挑選題（本大題共4 題，每題5 分，共 20 分）213. 已知方程xpx10 的兩虛根為x1 、x2 ，如 | x1x2 |1 ，就實數p 的值為（）a. 3b. 5c.3 ，5d.3 ，514. 在復數運算中以下三個式子是正確的：（1） | z1z2 | | z1 | z2 | ；（ 2）| z1z2 | | z1 | | z2|；（ 3） z1z2 z3z1 z2z3 ，相應的在向量運算中，以下式子：rrrrrrrrrrrrrr（1） | ab | | a | b | ；（ 2） | a b | | a | | b | ；（ 3） abca b c ，正確的個數是（）a. 0b.

4、 1c. 2d. 315. 唐代詩人杜牧的七絕唐詩中有兩句詩為：“今來海上上升望，不到蓬萊不成仙；” 其中后一句中 “ 成仙 ”是“ 到蓬萊 ” 的（）a.充分條件b.必要條件c.充要條件d.既非充分又非必要條件16. 設p 、 q 是 r 上的兩個非空子集，假如存在一個從p 到 q 的函數yf x 滿意：（1） q f x | xp；（ 2）對任意x1 , x2p ，當 x1x2 時，恒有f x1 f x2 ，那么稱這兩個集合構成“ pq 恒等態射 ” ，以下集合可以構成“ pq 恒等態射 ” 的是（）a. rzb. zqc.1,20,1d. 1,2r三. 解答題（本大題共5 題，共 14+

5、14+14+16+18=76分）17. 已知圓錐ao 的底面半徑為2，母線長為210，點 c 為圓錐底面圓周上的一點，o 為圓心，d 是 ab 的中點，且boc.2（1）求圓錐的全面積；（2）求直線cd 與平面aob 所成角的大小 .（結果用反三角函數值表示）18. 在abc 中，邊a 、 b 、 c 分別為角a 、 b 、 c 所對應的邊 .（1）如12c2basin b 2 absin a2absin a sin c0 ，求角c 的大小；（2）如sin a4 ， c52 ， c33 ，求abc的面積 .19. 已知雙曲線c : xy1.22（1）求以右焦點為圓心，與雙曲線c 的漸近線相切的

6、圓的方程；（2）如經過點p0,1 的直線與雙曲線c 的右支交于不同兩點m 、 n ，求線段mn 的中垂線 l 在y 軸上截距t 的取值范疇 .20. 已知函數yf x 定義域為r，對于任意xr 恒有f 2 x2 f x .（1）如f 13 ，求f 16 的值；（2）如 x1,2 時，f xx22 x2 ，求函數yf x ， x1,8 的解析式及值域；（3）如 x最小值 .1,2 時，f x| x3 | ，求2yf x 在區間1,2n ， nn *上的最大值與21. 已知數列 an 中 a11，前n 項和為sn ，如對任意的nn，均有snan kk（ k 是常數，且kn *）成立，就稱數列 an

7、 為“ h k 數列 ”.（1）如數列 an 為“ h 1數列 ”，求數列 an 的前 n 項和sn ；（2）如數列 an 為“ h 2 數列 ”，且a2 為整數，試問：是否存在數列 an ，使得| a 2aa|40 對一切 n2 ， nn *恒成立？假如存在，求出這樣數列 a 的 a 的 所nn 1 n 1n2有可能值，假如不存在，請說明理由；（3）如數列 a 為“ h k 數列 ”，且aaa1，證明： a11n k .*n12kn 2 k2k 1上海市浦東新區 2021 屆高三二模數學試卷2021.04一. 填空題（本大題共12 題， 1-6 每題 4 分， 7-12 每題 5 分，共 5

8、4 分）1. lim 2n1nn1【解析】 2x2. 不等式x10 的解集為【解析】xx10x0,13. 已知 an 是等比數列，它的前n 項和為sn ，且a34 ， a48 ，就 s51【解析】s51248161114. 已知 f x 是函數f xlog 2 x1的反函數，就f2【解析】log 2 x12f1 235. x1 9 二項綻開式中的常數項為x【解析】384c9x2cos6. 橢圓（為參數）的右焦點坐標為y2【解析】x3siny21 ，右焦點為1,043x2 y47. 滿意約束條件2 xy3的目標函數f3x2 y 的最大值為【解析】 交點x y 2 , 5 3 300代入最大，f3

9、x2 y163238. 函數f xcos xsin 2 x ， x2r 的單調遞增區間為【解析】f xsin2x1 ，單調遞增區間為x k, k ， kz62369. 已知拋物線型拱橋的頂點距水面2 米時，量得水面寬為8 米，當水面下降1 米后，水面的寬為米2【解析】 設46y ax ，代入4,2 ， a1 ，381 x28x26 ，所以寬為10. 一個四周體的頂點在空間直角坐標系0,1,1、 1,1,0，就該四周體的體積為oxyz 中的坐標分別是0,0,0、 1,0,1、【解析】 是一個邊長為2 的正四周體，體積為14116311. 已知f x 是定義在r 上的偶函數，且f x 在 0, 上

10、是增函數，假如對于任意x1,2 ，f ax1f x3 恒成立，就實數a 的取值范疇是【解析】| ax1|3x 在 x1,2 恒成立， | a1|2 且 | 2a1|1 ，解得 a1,012. 已知函數f xx25x7 ，如對于任意的正整數n ，在區間1,n5 上存在 m1個 n實數 a0 、 a1 、a2 、 am ，使得f a0 f a1 f a2 f am 成立，就m 的最大值為【解析】 n5 minn9 ，在區間21,9 2上最大值為f 9 19 ，最小值為24f 5 3 ，2419361 ，即 m 的最大值為6444二. 挑選題（本大題共4 題，每題5 分，共 20 分）13. 已知方

11、程x2px10 的兩虛根為x1 、x2 ，如 | x1x2 |1 ，就實數p 的值為（）a. 3b. 5c.3 ，5d.3 ，5【解析】 由0 ，排除 b 、c、 d，選 a14. 在復數運算中以下三個式子是正確的：（1） | z1z2 | | z1 | z2 | ；（ 2）| z1z2 | | z1 | | z2|；（ 3） z1z2 z3z1 z2z3 ，相應的在向量運算中，以下式子：rrrrrrrrrrrrrr（1） | ab | | a | b | ；（ 2） | a b | | a | | b | ；（ 3） abca b c ，正確的個數是（）a. 0b. 1c. 2d. 3【解析

12、】 正確，錯誤，選b15. 唐代詩人杜牧的七絕唐詩中有兩句詩為：“今來海上上升望，不到蓬萊不成仙；” 其中后一句中 “ 成仙 ”是“ 到蓬萊 ” 的（）a.充分條件b.必要條件c.充要條件d.既非充分又非必要條件【解析】 不到蓬萊不成仙，成仙到蓬萊，選a16. 設p 、 q 是 r 上的兩個非空子集，假如存在一個從p 到 q 的函數yf x 滿意：（1） q f x | xp；（ 2）對任意x1 , x2p ，當 x1x2 時，恒有f x1 f x2 ，那么稱這兩個集合構成“ pq 恒等態射 ” ，以下集合可以構成“ pq 恒等態射 ” 的是（）a. rzb. zqc.1,20,1d. 1,2

13、r【解析】 依據題意，定義域為p，單調遞增，值域為q，由此判定， d 符合，應選d三. 解答題（本大題共5 題，共 14+14+14+16+18=76分）17. 已知圓錐ao 的底面半徑為2，母線長為210，點 c 為圓錐底面圓周上的一點，o 為圓心，d 是 ab 的中點，且boc.2（1）求圓錐的全面積；（2）求直線cd 與平面aob 所成角的大小 .（結果用反三角函數值表示）【解析】 （1）圓錐的底面積2s1r43 分圓錐的側面積s2rl4 103 分圓錐的全面積ss1s241101 分（2） qboc2ocob且 ocoa ， oc平面 aob2 分cdo是直線cd 與平面aob 所成角

14、1 分在 rtv cdo 中， oc2 , od10 ,1分tancdo10 ,5cdoarctan102 分5所以，直線cd 與平面aob 所成角的為arctan101 分518. 在abc 中，邊a 、 b 、 c 分別為角a 、 b 、 c 所對應的邊 .（1）如12c2basin b 2 absin a2absin a sin c0 ，求角c 的大小；（2）如sin a4 ， c52 ， c33 ，求abc的面積 .【解析】 （1）由題意，2c sin c2absin a2basin b ；2 分由正弦定理得a 22c2b22ab a2ba b ， c2c21a2b2ab ，2 分 c

15、osc2ab， c2；2 分3（2）由sin a4 ， c3 ，且ac， a8 ；2 分5sin asin c5由 acac2，3cos a3 ,2 分5 sin bsinacsin a cosccos a sin c334 ；2 分10 s abc1 ca sin b18832 分22519. 已知雙曲線c : x2y21.（1）求以右焦點為圓心，與雙曲線c 的漸近線相切的圓的方程；（2）如經過點p0,1 的直線與雙曲線c 的右支交于不同兩點m 、 n ，求線段mn 的中垂線 l 在y 軸上截距t 的取值范疇 .【解析】 （1） f2 2,01 分漸近線xy01 分r 12 分 x2 2y2

16、12 分（2）設經過點b 的直線方程為ykx1,交點為m x1 , y1, n x2 , y2 1 分x2y21k 21,0ykx11k 2 x22kx201分就x1x201kx1x2022分mn 的中點為 k,1 ，1分得中垂線l : y11 xk11k21k 2分1k 2k1 k2令 x0 得截距 t2222 分1k2k 21即線段mn 的中垂線l 在 y 軸上截距t 的取值范疇是2, .20. 已知函數yf x 定義域為r，對于任意xr 恒有f 2 x2 f x .（1）如f 13 ，求f 16 的值；n*（2）如 x1,2 時，f xx22 x2 ，求函數yf x ， x1,8 的解析

17、式及值域；（3）如 x最 小值 .1,2 時，f x| x3 | ，求2yf x 在區間1,2 ， nn上的最大值與【解析】 （1） qf 13且f 2 x2 f xf 23 21 分f 2 2 3 221 分f 2 3 3 231 分f 16f 2 4 3 24481分（2） qf 2 x2 f xf x2 f x ，2x1,2 時，f xx22x2 x121， f x1,21 分x2, 4 時，f x2 f x 2 x211 x222 ，1 分1f x4,22221 分x4,8 時，f xx1x212，1 分2 f 222 x222444f x4,81 分 x121,x1,2得： f x1

18、 x21 x42 2422, x4, x2, 4 ，值域為4,84,2 u（1，2 u 4,81 分（3） qf 2 x2 f xf x2 f3 x 22x當 x1,2 時，f xx得：當 x22, 2 時，f x2 f x31 分2n 1nx當 x2, 2 時，11,2 ，2nf xx2xn 1xn 1x3nn 22 f 2n2f 2 2l 2f n21 22n 121x3 2當 x2n2 分1 , 2n ，n 為奇數時，f xn 2x3 22,0n1n當 x2, 2 ，n 為偶數時，f xx3 2 n 24n0, 2 4綜上： n1 時，f x 在 1,2 上最大值為0，最小值為11 分2

19、nnn2 ， n 為偶數時，n3 ， n 為奇數時，f x 在 1,2n 上最大值為f x 在 1,2n 上最大值為2，最小值為21 分nn482，最小值為21 分*8421. 已知數列 an 中 a11，前n 項和為sn ，如對任意的nn，均有snan kk（ k 是常數，且kn *）成立，就稱數列 an 為“ h k 數列 ”.（1）如數列 an 為“ h 1數列 ”，求數列 an 的前 n 項和sn ；（2）如數列 an 為“ h 2 數列 ”，且a2 為整數，試問：是否存在數列 an ，使得| a 2aa|40 對一切 n2 ， nn *恒成立？假如存在，求出這樣數列 a 的 a 的

20、所nn 1 n 1n2有可能值，假如不存在，請說明理由；（3）如數列 a 為“ h k 數列 ”，且aaa1，證明： a11n k .2n12kn 2 kk 1【解析】 （1）數列an為“h1 數列 ”，就 snan 11，故sn 1an 21，兩式相減得：an 22an1 ，1 分又 n1時， a1a21，所以 a222a1 ，1 分故 an 12an對任意的 nn* 恒成立，即an 12 （常數）， an故數列an為等比數列，其通項公式為a2n1 ,nn *；1 分nns 2n1,nn *1 分sn（2）an 22an 1an 3an 2an 3an 2an 1 nn* sn 1an 32an 2an 1an n2, nn* 1 分當 n2, nn *