1、1 / 10 直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律及追及問題一 、 例題例題 1. 一物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻速度大小為4m/s，1s 后速度的大小變?yōu)?0m/s，在這1s 內(nèi)該物體的（）a. 位移的大小可能小于4m b. 位移的大小可能大于10m c. 加速度的大小可能小于4m/s d. 加速度的大小可能大于10m/s 析：同向時(shí)2201/6/1410smsmtvvatmmtvvst712104201反向時(shí)2202/14/1410smsmtvvatmmtvvst312104202式中負(fù)號(hào)表示方向跟規(guī)定正方向相反答案： a、d 例題2：兩木塊自左向右運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)用高速攝影機(jī)在同一底片上多次曝光，記錄下木快每次曝光時(shí)的

2、位置，如圖所示，連續(xù)兩次曝光的時(shí)間間隔是相等的，由圖可知（）a 在時(shí)刻 t2以及時(shí)刻t5兩木塊速度相同b 在時(shí)刻 t1 兩木塊速度相同c 在時(shí)刻 t3和時(shí)刻 t4之間某瞬間兩木塊速度相同d 在時(shí)刻 t4和時(shí)刻 t5之間某瞬間兩木塊速度相同解析：首先由圖看出：上邊那個(gè)物體相鄰相等時(shí)間內(nèi)的位移之差為恒量，可以判定其做勻變速直線運(yùn)動(dòng)；下邊那個(gè)物體很明顯地是做勻速直線運(yùn)動(dòng)。由于t2及 t3時(shí)刻兩物體位置相同，說明這段時(shí)間內(nèi)它們的位移相等，因此其中間時(shí)刻的即時(shí)速度相等，這個(gè)中間時(shí)刻顯然在t3、t4之間答案： c 例題 3 一跳水運(yùn)動(dòng)員從離水面10m高的平臺(tái)上躍起， 舉雙臂直立身體離開臺(tái)面，此時(shí)中心位于從

3、手到腳全長(zhǎng)的中點(diǎn)，躍起后重心升高0.45m達(dá)到最高點(diǎn)，落水時(shí)身體豎直，手先入水（在此過程中運(yùn)動(dòng)員水平方向的運(yùn)動(dòng)忽略不計(jì)）從離開跳臺(tái)到手觸水面，他可用于完成空中動(dòng)作的時(shí)間是多少？（g 取 10m/s2結(jié)果保留兩位數(shù)字）解析：根據(jù)題意計(jì)算時(shí)，可以把運(yùn)動(dòng)員的全部質(zhì)量集中在重心的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，且忽略其水平方向t1t2t3t4t5t6t7t1t2t3t4t5t6t72 / 10 的 運(yùn) 動(dòng) ， 因 此 運(yùn) 動(dòng) 員 做 的 是 豎 直 上 拋 運(yùn) 動(dòng) ， 由gvh220可 求 出 剛 離 開 臺(tái) 面 時(shí) 的 速 度smghv/320， 由 題 意 知 整 個(gè) 過 程 運(yùn) 動(dòng) 員 的 位 移 為 10m（ 以

4、向 上 為 正 方 向 ） ， 由2021attvs得：10=3t 5t2解得： t 1.7s 思考：把整個(gè)過程分為上升階段和下降階段來解，可以嗎？例題 4. 如圖所示，有若干相同的小鋼球，從斜面上的某一位置每隔 0.1s 釋放一顆， 在連續(xù)釋放若干顆鋼球后對(duì)斜面上正在滾動(dòng)的若干小球攝下照片如圖，測(cè)得ab=15cm ，bc=20cm ，試求：（1）拍照時(shí) b球的速度；（2）a球上面還有幾顆正在滾動(dòng)的鋼球解析：拍攝得到的小球的照片中，a、b、c、d各小球的位置，正是首先釋放的某球每隔0.1s 所在的位置 . 這樣就把本題轉(zhuǎn)換成一個(gè)物體在斜面上做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)的問題了。求拍攝時(shí)b球的速度就

5、是求首先釋放的那個(gè)球運(yùn)動(dòng)到b 處的速度；求a 球上面還有幾個(gè)正在滾動(dòng)的小球變換為首先釋放的那個(gè)小球運(yùn)動(dòng)到a處經(jīng)過了幾個(gè)時(shí)間間隔（0.1s ）（1）a、b 、c、d四個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相差t=0.1s vb=tssabbc2=2.035.0m/s=1.75m/s （ 2）由 s=at2得：a=2tsm/s2=21 .015.02 .0=5m/s2例 5：火車 a 以速度 v1勻速行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)正前方同一軌道上相距s 處有另一火車b 沿同方向以速度 v2（對(duì)地，且v2v1做勻速運(yùn)動(dòng)，a車司機(jī)立即以加速度（絕對(duì)值）a 緊急剎車，為使兩車不相撞， a 應(yīng)滿足什么條件？分析：后車剎車做勻減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)后車運(yùn)

6、動(dòng)到與前車車尾即將相遇時(shí)，如后車車速已降到等于甚至小于前車車速，則兩車就不會(huì)相撞，故取s后=s+s前和 v后v前求解解法一：取取上述分析過程的臨界狀態(tài)，則有v1t 21a0t2sv2t v1 a0t = v2a0 =svv2)(221b a c d 3 / 10 所以當(dāng) asvv2)(221時(shí)，兩車便不會(huì)相撞。法二：如果后車追上前車恰好發(fā)生相撞，則v1t 21at2 s v2t 上式整理后可寫成有關(guān)t 的一元二次方程，即21at2（ v2v1） t s 0 取判別式0，則 t 無實(shí)數(shù)解，即不存在發(fā)生兩車相撞時(shí)間t 。 0，則有（ v2v1）24（21a）s 得 asvv2)(212為避免兩車相

7、撞，故asvv2)(212法三：運(yùn)用v-t圖象進(jìn)行分析，設(shè)從某時(shí)刻起后車開始以絕對(duì)值為a 的加速度開始剎車， 取該時(shí)刻為t=0 ，則 a、b 兩車的v-t圖線如圖所示。圖中由v1、v2、c三點(diǎn)組成的三角形面積值即為a、b兩車位移之差（s后s前）=s，tan 即為后車a減速的加速度絕對(duì)值a0。因此有21（v1v2）tan)(21vv=s 所以 tan =a0=svv2)(221若兩車不相撞需a a0=svv2)(221v v1 v2 0 t t0 a c b （4 / 10 二、習(xí)題1、 下列關(guān)于所描述的運(yùn)動(dòng)中，可能的是（）a 速度變化很大，加速度很小b 速度變化的方向?yàn)檎铀俣确较驗(yàn)樨?fù)c 速

8、度變化越來越快，加速度越來越小d 速度越來越大，加速度越來越小解析：由a=v/ t 知，即使 v 很大，如果t 足夠長(zhǎng)， a 可以很小，故a正確。速度變化的方向即 v 的方向，與a 方向一定相同，故b 錯(cuò)。加速度是描述速度變化快慢的物理量，速度變化快，加速度一定大。故c 錯(cuò)。加速度的大小在數(shù)值上等于單位時(shí)間內(nèi)速度的改變量，與速度大小無關(guān)，故 d正確。答案： a、 d 2、 一個(gè)物體在做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，已知它在第一個(gè)t 時(shí)間內(nèi)的位移為s，若 t 未知，則可求出（）a 第一個(gè) t 時(shí)間內(nèi)的平均速度b 第 n 個(gè) t 時(shí)間內(nèi)的位移c nt 時(shí)間的位移d 物體的加速度解析：因v=ts，而

9、t未 知，所 以v不能 求出， 故a錯(cuò) .因),12(:5:3:1:nssssn有)12(:1:nssn，snsn)12(（2n-1 ）s，故 b正確；又 st2所以ssn=n2，所以 sn=n2s，故 c正確；因 a=2ts，盡管 s=sn-sn-1可求，但t 未知，所以a求不出， d錯(cuò). 答案： b、 c 3 、汽車原來以速度v 勻速行駛 , 剎車后加速度大小為a, 做勻減速運(yùn)動(dòng), 則 t秒后其位移為( ) a 221atvt b av22 c 221atvt d 無法確定解析 :汽車初速度為v，以加速度a 作勻減速運(yùn)動(dòng)。速度減到零后停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)其運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t，=av。當(dāng) tt，時(shí)，汽車的

10、位移為s=221atvt；如果 t t，汽車在t，時(shí)已停止運(yùn)動(dòng)，其位移只能用公式 v2=2as 計(jì)算， s=av225 / 10 答案： d 4、汽車甲沿著平直的公路以速度v0做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它路過某處的同時(shí)，該處有一輛汽車乙開始做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)去追趕甲車，根據(jù)上述的已知條件（）a.可求出乙車追上甲車時(shí)乙車的速度b.可求出乙車追上甲車時(shí)乙車所走的路程c.可求出乙車從開始起動(dòng)到追上甲車時(shí)所用的時(shí)間d.不能求出上述三者中任何一個(gè)分析：題中涉及到2 個(gè)相關(guān)物體運(yùn)動(dòng)問題，分析出 2 個(gè)物體各作什么運(yùn)動(dòng)，并盡力找到兩者相關(guān)的物理?xiàng)l件是解決這類問題的關(guān)鍵，通常可以從位移關(guān)系、速度關(guān)系或者時(shí)間關(guān)系

11、等方面去分析。解析：根據(jù)題意，從汽車乙開始追趕汽車甲直到追上，兩者運(yùn)動(dòng)距離相等，即s甲= =s乙=s，經(jīng)歷時(shí)間t甲=t乙=t. 那么，根據(jù)勻速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)甲應(yīng)有：tvs0根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)乙有：221ats，及atvt由前 2 式相除可得at=2v0，代入后式得vt=2v0，這就說明根據(jù)已知條件可求出乙車追上甲車時(shí)乙車的速度應(yīng)為2v0。因 a不知，無法求出路程和時(shí)間，如果我們采取作vt 圖線的方法，則上述結(jié)論就比較容易通過圖線看出。圖中當(dāng)乙車追上甲車時(shí)，路程應(yīng)相等，即從圖中圖線上看面積s甲和 s乙，顯然三角形高vt 等于長(zhǎng)方形高v0的 2 倍，由于加速度a 未知，乙圖斜率不定，a 越小

12、， t 越大， s 也越大，也就是追趕時(shí)間和路程就越大。答案： a 5 、在輕繩的兩端各栓一個(gè)小球，一人用手拿者上端的小球站在3 層樓陽(yáng)臺(tái)上，放手后讓小球自由下落，兩小球相繼落地的時(shí)間差為t，如果站在4 層樓的陽(yáng)臺(tái)上，同樣放手讓小球自由下落，則兩小球相繼落地時(shí)間差將（）a 不 變b 變 大c 變 小d 無法判斷解析：兩小球都是自由落體運(yùn)動(dòng)，可在一v-t圖象中作出速度隨時(shí)間的關(guān)系曲線，如圖所示，設(shè)人在3 樓陽(yáng)臺(tái)上釋放小球后，兩球落地時(shí)間差為t1，v vt v0 0 t 乙甲s甲s乙v v1 0 t t1 t2 v2 v1v21 1 ams2t/s 1 2 3 4 0 6 / 10 圖中陰影部分面

13、積為h，若人在4 樓陽(yáng)臺(tái)上釋放小球后，兩球落地時(shí)間差t2，要保證陰影部分面積也是 h；從圖中可以看出一定有t2 t1 答案： c 6、一物體在a、b 兩點(diǎn)的正中間由靜止開始運(yùn)動(dòng)（設(shè)不會(huì)超越a、b） ，其加速度隨時(shí)間變化如圖所示。設(shè)向a的加速度為為正方向，若從出發(fā)開始計(jì)時(shí)，則物體的運(yùn)動(dòng)情況是（）a 先向 a ，后向 b，再向 a，又向 b，4 秒末靜止在原處b 先向 a ，后向 b，再向 a，又向 b，4 秒末靜止在偏向a的某點(diǎn)c 先向 a ，后向 b，再向 a，又向 b， 4 秒末靜止在偏向b的某點(diǎn)d 一直向 a運(yùn)動(dòng)， 4 秒末靜止在偏向a的某點(diǎn)解析：根據(jù)a-t圖象作出其v-t圖象，如右圖所示

14、，由該圖可以看出物體的速度時(shí)大時(shí)小，但方向始終不變，一直向 a運(yùn)動(dòng)，又因v-t圖象與 t 軸所圍“面積”數(shù)值上等于物體在 t 時(shí)間內(nèi)的位移大小，所以4 秒末物體距a 點(diǎn)為 2米答案： d 7、天文觀測(cè)表明，幾乎所有遠(yuǎn)處的恒星（或星系）都在以各自的速度背離我們而運(yùn)動(dòng)，離我們?cè)竭h(yuǎn)的星體，背離我們運(yùn)動(dòng)的速度（稱為退行速度）越大；也就是說，宇宙在膨脹，不同星體的退行速度 v 和它們離我們的距離r 成正比，即v=hr。式中 h為一常量，稱為哈勃常數(shù)，已由天文觀察測(cè)定，為解釋上述現(xiàn)象，有人提供一種理論，認(rèn)為宇宙是從一個(gè)大爆炸的火球開始形成的，假設(shè)大爆炸后各星體即以不同的速度向外勻速運(yùn)動(dòng)，并設(shè)想我們就位于其

15、中心，則速度越大的星體現(xiàn)在離我們?cè)竭h(yuǎn)，這一結(jié)果與上述天文觀測(cè)一致。由上述理論和天文觀測(cè)結(jié)果，可估算宇宙年齡t，其計(jì)算式如何？根據(jù)近期觀測(cè)，哈勃常數(shù)h=310-2m/（s 光年） ，其中光年是光在一年中行進(jìn)的距離，由此估算宇宙的年齡約為多少年？解析：由題意可知，可以認(rèn)為宇宙中的所有星系均從同一點(diǎn)同時(shí)向外做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由于各自的速度不同，所以星系間的距離都在增大，以地球?yàn)閰⒖枷担行窍狄圆煌乃俣染趧蛩龠h(yuǎn)離。則由 s=vt 可得 r=vt，所以，宇宙年齡：t=vr=hrr=h1若哈勃常數(shù)h=310-2m/（s 光年）則 t=h1=1010年思考： 1 宇宙爆炸過程動(dòng)量守恒嗎？如果爆炸點(diǎn)位于宇

16、宙的“中心”，地球相對(duì)于這個(gè)“中心”做什么運(yùn)動(dòng)？其它星系相對(duì)于地球做什么運(yùn)動(dòng)？ 2 其它星系相對(duì)于地球的速度與相對(duì)于這個(gè)“中心”的速度相等嗎？8、摩托車在平直公路上從靜止開始起動(dòng)，a1=1.6m/s2 ，稍后勻速運(yùn)動(dòng)，然后減速，a2=6.4m/s2 ，直到停止，共歷時(shí)130s，行程 1600m。試求：（ 1）摩托車行駛的最大速度vm；v/ms110 t/s 23147 / 10 （ 2）若摩托車從靜止起動(dòng)，a1、a2不變，直到停止，行程不變，所需最短時(shí)間為多少？分析： （1）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程分三個(gè)階段：勻加速運(yùn)動(dòng)；勻速運(yùn)動(dòng)；勻減速運(yùn)動(dòng)。可借助v-t圖象表示。（ 2）首先要回答摩托車以什么樣的方式運(yùn)

17、動(dòng)可使得時(shí)間最短。借助v-t圖象可以證明：當(dāng)摩托車以 a1勻加速運(yùn)動(dòng)， 當(dāng)速度達(dá)到v/m時(shí)，緊接著以a2勻減速運(yùn)動(dòng)直到停止時(shí)，行程不變， 而時(shí)間最短解： （1）如圖所示，利用推論vt2-v02=2as 有：122avm+（130-21avavmm）vm+222avm=1600.其中a1=1.6m/s2,a2=6.4m/s2. 解得： vm=12.8m/s （另一解舍去） . (2) 路程不變，則圖象中面積不變，當(dāng)v 越大則t越小，如圖所示. 設(shè)最短時(shí)間為tmin，則tmin=2/1/avavmm22/12/22avavmm=1600 其中 a1=1.6m/s2,a2=6.4m/s2. 由式解得

18、vm=64m/s，故tmin=sss504. 6646. 164. 既最短時(shí)間為50s. 答案： （1）12.8m/s （ 2）50s 9 一平直的傳送以速率v=2m/s 勻速行駛，傳送帶把a(bǔ)處的工件送到b處，a、b兩處相距l(xiāng)=10m ，從 a處把工件無初速度地放到傳送帶上，經(jīng)時(shí)間t=6s 能傳送到b處，欲使工件用最短時(shí)間從a處傳送到 b處，求傳送帶的運(yùn)行速度至少應(yīng)多大？解析：物體在傳送帶上先作勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到v=2m/s 后與傳送帶保持相對(duì)靜止，作勻速運(yùn)動(dòng) .設(shè)加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，加速度為a，則勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（6-t ）s，則：v=at s1=21at2s2=v(6-t) s1+s2=

19、10 聯(lián)列以上四式，解得t=2s,a=1m/s2 物體運(yùn)動(dòng)到b處時(shí)速度即為皮帶的最小速度由 v2=2as 得 v=522asm/s 傳送帶給物體的滑動(dòng)摩擦力提供加速度，即,gamamg此加速度為物體運(yùn)動(dòng)的最大加速度.要使物體傳送時(shí)間最短，應(yīng)讓物體始終作勻加速運(yùn)動(dòng)v/ms1vm 0 t/s 130a1a2v/ms1vm0 t/s 130a1a2tmin 8 / 10 10、一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s 的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車。試求：（ 1）汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？（

20、 2）什么時(shí)候汽車追上自行車，此時(shí)汽車的速度是多少？解析：解法一：汽車開動(dòng)后速度由零逐漸增大，而自行車的速度是定值。當(dāng)汽車的速度還小于自行車速度時(shí)，兩者的距離將越來越大，而一旦汽車速度增加到超過自行車速度時(shí)，兩車距離就將縮小。因此兩者速度相等時(shí)兩車相距最大，有自汽vatv，所以，savt2自mattvs622自解法二：用數(shù)學(xué)求極值方法來求解（ 1）設(shè)汽車在追上自行車之前經(jīng)過t 時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)，因?yàn)?212attvsss自所以2362tts，由二次函數(shù)求極值條件知，sabt22時(shí)，s最大即mttsm62232623622（ 2）汽車追上自行車時(shí)，二車位移相等，則22 atvt2362 tt ,

21、 st4smatv/12解法三：用相對(duì)運(yùn)動(dòng)求解更簡(jiǎn)捷選勻速運(yùn)動(dòng)的自行車為參考系，則從運(yùn)動(dòng)開始到相距最遠(yuǎn)這段時(shí)間內(nèi)，汽車相對(duì)此參考系的各個(gè)物理量為：初速度 v0 = v汽初v自=（ 06）m/s = 6m/s 末速度 vt = v汽末v自=（ 66）m/s = 0 加速度 a= a汽a自=（30）m/s2 = 3m/s2所以相距最遠(yuǎn) s=avvt2202 = 6m （負(fù)號(hào)表示汽車落后）解法四：用圖象求解（ 1）自行車和汽車的v-t圖如圖， 由于圖線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積表示位移的大小，所以由圖上可以看出：在相遇之前，在t 時(shí)刻兩車速度相等時(shí)，自行車的位移（矩形面積）與汽車的位移（三角形面積）之差

22、（即斜線部分）達(dá)最大，所以v/ms1v60 t/s ttv汽v自9 / 10 t=v自/a=36s=2s s= vt at2/2 = （ 62322/2 ）m= 6m （ 2）由圖可看出： 在 t 時(shí)刻以后， 由 v自或與 v汽線組成的三角形面積與標(biāo)有斜線的三角形面積相等時(shí)，兩車的位移相等（即相遇）。所以由圖得相遇時(shí)，t = 2t = 4s，v= 2v自=12m/s 答案（1）2s 6m （ 2）12m/s 11. （2007 高考全國(guó)理綜）甲乙兩運(yùn)動(dòng)員在訓(xùn)練交接棒的過程中發(fā)現(xiàn)：甲經(jīng)短距離加速后能保持9m s的速度跑完全程；乙從起跑后到接棒前的運(yùn)動(dòng)是勻加速的。為了確定乙起跑的時(shí)機(jī)，需在接力區(qū)前適當(dāng)?shù)奈恢迷O(shè)置標(biāo)記。在某次練習(xí)中， 甲在接力區(qū)前013.5sm處作了標(biāo)記， 并以9m s的速度跑到此標(biāo)記時(shí)向乙發(fā)出起跑口令。乙在接力區(qū)的前端聽口令時(shí)起跑，并恰好在速度達(dá)到與甲相同時(shí)被甲追上，完成交接棒。已知接力區(qū)的長(zhǎng)度為20lm。求：此次練習(xí)中乙在接棒前的加速度a。在完成交接棒時(shí)乙離接力區(qū)末端的距離。【解析】該題實(shí)質(zhì)上是追及、相遇問題，其物理情景同學(xué)們比較熟悉，對(duì)參加過接力賽的同學(xué)來說，大多都能正確畫出如下過程示意圖。依據(jù)甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)過程所作速度圖像如圖所示。由于追上時(shí)乙甲，由圖知